Прикладная теория колебаний

копания и ее составляющие Рг и Рв периодически изменяются во времени из-за разрушения элементов грунта перед зубом. В момент скола усилие копания снижается на 30…50 % по сравнению с максимальным значением [1]. Для расчетов на усталость основную нагрузку (рис. 2.2, а) заменяют эквивалентной синусоидальной нагрузкой (рис. 2.2, б), коэффициент асимметрии которой

Г= Ргmin .

Pгmax

Рис. 2.2. Реальная (основная) (а) и расчетная (б) нагрузка усилия копания

Колебания конструкции могут возникнуть при движении машины из-за неровностей поверхности. Динамическая модель системы при таком воздействии показана на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Подрессованная динамическая система в продольной плоскости: сш – жесткость шин; G – вес машины; ц.т. – центр тяжести

41

Для СДМ характерны следующие виды колебаний: 1) по виду деформаций конструкций:

–балочные колебания (периодически деформируется ось балки), бывают как продольные, так и поперечные;

–оболочечные колебания (периодически деформируется контур оболочки без деформации ее оси), бывают осесимметричные и неосесимметричные;

2) по характеру возникновения и протекания:

–свободные (собственные);

–вынужденные;

–параметрические;

–автоколебания (самовозбуждающие колебания). Свободные колебания представляют собой затухающие

низкочастотные колебания, которые могут возникнуть от случайных возмущений.

Вынужденные колебания возникают при работе силовых агрегатов СДМ, например дизеля, динамическая модель которого приведена на рис. 2.4 (здесь хi, ci, mi – соответственно перемещения, жесткости и массы элементов; Р0 – амплитуда вынуж-

дающей силы).

В отличие от свободных колебаний вынужденные колебания возникают под действием переменных внешних возмущающих сил.

При проектировании металлоконструкций необходимо, чтобы частота вынужденных колебаний была меньше частоты свободных колебаний. Когда эти частоты приближаются к одному и тому же значению, коэффициент динамичности при вынужденных колебаниях сильно возрастает. Когда часто-

42

та вынужденных колебаний совпадает с частотой свободных колебаний, наблюдается явление резонанса, при котором коэффициент динамичности теоретически обращается в бесконечность (без учета потерь) и конструкция разрушается.

Параметрические колебания в отличие от вынужденных возникают не от внешней заданной силы, а вследствие периодического изменения параметров упругой системы (момента инерции, продольной жесткости системы и т.д.). Опасность таких колебаний в том, что они возбуждаются при изменении параметра через один, два, три и т.д. такта отклонения системы, т.е. когда

Ωω =1, 2, 3, ...,

где Ω – частота изменения параметра; ω – частота собственных колебаний системы.

Явление параметрического резонанса в этом смысле опаснее «обычного» резонанса, который наступает лишь при точном совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой.

При автоколебаниях возбуждающая сила создается и регулируется самим колебанием. Как только движение прекращается, возбуждающая сила перестает действовать. Например, продольные автоколебания конструкции могут возникнуть в результате пульсации давления в гидроцилиндрах, а это приводит к продольным колебаниям конструкции. Изгибные автоколебания могут возникнуть в результате чувствительности гидропривода к изгибным колебаниям, а это, в свою очередь, вызовет периодические отклонения органов управления, которые усилят изгибные колебания.

Для оценки возможности возникновения тех или иных колебаний важно и необходимо знать частоты собственных колебаний машин. Кроме того, знание частот собственных колебаний позволяет судить о возможных резонансных режимах, о величине динамических перемещений и напряжений от дей-

43

ствия динамических сил и принимать конструктивные меры для защиты корпуса от разрушений, для устранения автоколебаний (путем изменения частотных характеристик конструкции или постановки специальных фильтров в систему управления СДМ).

2.2. Нагрузки на элементы конструкции СДМ

Нагрузки на элементы конструкции СДМ – динамические нагрузки, в результате действия которых появляются инерционные силы, вызывающие колебания машин.

Нагрузки классифицируют по характеру отклика: нагрузки, вызывающие собственные затухающие колебания, гармонические, полигармонические, стационарные, нестационарные, детерминированные, случайные, импульсные, вынужденные колебания (периодические и непериодические колебания), параметрические, автоколебания, продольные, поперечные, крутильные.

Основные параметры колебательной системы следующие:

намическое и статическое перемещения;

–силы демпфирования (сопротивления);

–частоты и формы колебаний;

–динамическая свобода (возможность перемещения с учетом имеющихся связей и характера деформаций элементов системы).

Если система плоская, то число степеней свободы равно удвоенному числу сосредоточенных масс (на плоскости две степени свободы).

Например, на рис. 2.5, а показана балка с двумя сосредо-

точенными массами m1, m2. В общем случае число степеней свободы этой системы равно 4. Если учитывать только дефор-

мации изгиба и считать продольную жесткость EF = ∞, то пе-

44

ремещения масс вдоль балки будут равны 0; таким образом, число степеней свободы nд = 2. На рис. 2.5, б показаны две возможные формы колебания этой системы. Если жесткость балки намного больше жесткости упругой опоры В и можно считать, что жесткость при изгибе EJ = EF = ∞, то nд = 1, так как положение балки в любой момент времени определяется одним параметром – углом φ (рис. 2.5, в).

в

Рис. 2.5. Динамические модели балки

Числом степеней свободы механической системы называют число параметров, полностью определяющих положение всех точек системы. В динамике число степеней свободы напрямую зависит от количества сосредоточенных масс системы и от количества независимых перемещений этих масс.

На рис. 2.6, а изображена система с одной степенью свободы, на рис. 2.6, б – система с тремя степенями свободы, на рис. 2.6, в – система с двумя степенями свободы. На рис. 2.6, г учитывается вращательное движение массы и система имеет три степени свободы.

Системы с бесконечным числом степеней свободы (рис. 2.6, д) можно приводить к системам с конечным числом степеней свободы. Например, балку с распределенной массой (рис. 2.7, а) можно привести к системе с одной (рис. 2.7, б, в), тремя (рис. 2.7, г, д) и т. д. степенями свободы. Вопрос о количестве масс решается в каждом случае отдельно. От этого в некоторой степени зависит точность динамического расчета.

45

Рис. 2.8. Динамическая модель рамы

46

В общем случае число степеней свободы определяется минимальным числом наложенных связей, устраняющих перемещение всех масс. Например, для системы на рис. 2.8 nд = 4.

2.3.Свободные колебания систем

2.3.1.Свободные колебания системы

содной степенью свободы

Если система имеет одну степень свободы (рис. 2.9), то динамическое уравнение равновесия этой системы имеет вид

где my – сила инерции; су –

где m – масса колеблющегося тела одномассовой системы; с – жесткость упругого элемента.

Решение уравнения колебаний в этом случае можно представить в виде

m

представить в другой форме:

47

y

стоянные интегрирования, С1 = у0, C2 = ω0 ); ϕ – начальная фа-

за, ϕ = arctg ω y0 . y0

T = 2π mδп , где δп – податливость, δп = 1c .

Для определения собственной частоты (энергетический подход) запишем:

Максимальная кинетическая энергия массы

Потенциальная энергия деформации пружины имеет максимальное значение Wmax при крайнем положении массы

(K = 0):

48

Следовательно,

Вреальных условиях колебания всегда происходят при наличии сил трения. Вследствие поглощения энергии силами трения свободные колебания постепенно затухают и прекращаются.

Механизм действия сил трения сложен, и многие способы выражения законов действия сил трения приводят к нелинейным задачам.

Впределах линейных задач затухающие колебания описываются уравнением

противления, пропорциональная скорости колебаний. Уравнение колебаний можно представить в форме

ω1 ≈ ω.

Решение уравнения колебаний запишем в следующем

2.3.2.Свободные колебания системы

сконечным числом степеней свободы

Для определения собственных частот колебаний системы с конечным числом степеней свободы используем метод сил. Пусть в многомассовой системе, модель которой представлена на рис. 2.10 [5], действует внешняя сила Pi и сила инерции Ji = −mi yi . В точке k перемещения под действием силы Pi = 1

обозначим δki, а под действием силы инерции yki, тогдаyki = δki (my). Отсюда

Рис. 2.10. Динамическая модель многомассовой системы

Для всех масс дифференциальные уравнения имеют вид:

y1 +m1δ11 y1 +m2δ12 y2 +... +mnδ1n yn = 0;

Перемещения задаем в следующей форме:

yn = An sin (ωt +ϕ).

50