Прикладная теория колебаний

Колебания, имеющие место в системе при этих условиях, называются параметрическими, они могут быть затухающими и нарастающими со временем. Главный интерес при изучении этих колебаний представляют нарастающие колебания и определение условий их возникновения. Явление возникновения нарастающих колебаний при параметрическом воздейст-

вии обычно называют параметрическим возбуждением коле-

баний (или параметрическим резонансом).

Простейшим примером параметрического возбуждения колебаний является раскачивание качелей. Качели в данном случае можно представить в виде маятника (математического) с переменной длиной (рис. 1.10).

Рис. 1.10. Колебания маятника: а – изменение длины маятника; б – движение груза

Пусть длина l маятника изменяется по гармоническому закону, точка А совершает колебания с частотой р и амплитудой а.

Тогда уравнение вращения около оси, проходящей через точку О, можно записать так:

dtd (ml2ϕ) = −mgl sin ϕ

21

или так:

где t – время; m – масса маятника; g – ускорение силы тяжести; ϕ – угол поворота; ϕ, ϕ – скорость и ускорение качания.

Положим, что

где l0 – средняя длина маятника.

Будем рассматривать задачу о колебаниях маятника при следующих предположениях: a/l0 << 1, т.е. длина маятника мало изменяется по сравнению со средней длиной маятника l0; амплитуды колебаний маятника малы, т.е. sin ϕ ≈ ϕ. Тогда уравнение движения (1.1) можно записать в таком виде:

где ψ(t) = g . l0 + a cos pt

Уравнение (1.4) представляет собой уравнение колебаний почти гармонической системы, частота которых явно зависит от времени. Это и есть простейший вид уравнения системы, в которой могут возникнуть нарастающие параметрические колебания.

О решении уравнения (1.3) скажем далее, а теперь простыми способами проанализируем явления, которые могут иметь место при периодическом изменении длины маятника.

Допустим, что по какой-то внешней причине (от случайного толчка) маятник совершает собственные колебания с частотой

22

В это же время изменяется и длина маятника. Пусть частота изменений длины маятника в два раза больше частоты собственных колебаний и фаза такова, как показано на рис. 1.11.

Груз т совершает движение так: от точки 1 до точки 2 груз поднимается, от точки 2 до точки 4 опускается и т.д., как обозначено стрелками на рис. 1.10, б.

Рис. 1.11. Зависимости перемещения точки подвеса у и угла поворота ϕ маятника от времени

Можно заметить, что, когда маятник имеет малую скорость (находится близко к крайнему положению), груз опускается, а когда маятник имеет наибольшую скорость колебаний (проходит около положения равновесия), груз поднимается. Отсюда можно заключить, что натяжение нити при

поднимании груза больше, чем при опускании. А это значит:

внешняя система, которая изменяет длину маятника, совершает положительную работу, передает энергию маятнику. Амплитуда колебаний маятника в этом случае должна возрастать, если нет трения при движении маятника. Если трение есть и работа внешней системы больше потерь энергии на трение при колебаниях, то амплитуда колебаний будет также возрас-

тать. Это явление называется параметрическим резонансом.

Таким способом раскачиваются на качелях, приседая и поднимаясь в такт с качаниями качелей.

23

1.3.2. Схематический расчет параметрических колебаний

Рассмотрим схематическую модель системы, совершающей параметрические колебания, в которой длина маятника изменяется скачком. Как и ранее, положим, что период изменения длины l в два раза меньше периода собственных колебаний маятника, а фаза изменения такова, что подъем происходит в тот момент, когда маятник проходит через равновесное положение (рис. 1.12). Работа внешней силы при подъеме массы m будет равна

где v – скорость маятника в среднем положении, v = l0ϕ0ω0; а – величина подъема груза; φ0 – амплитуда колебаний маятника.

Рис. 1.12. Колебания маятника при скачкообразном изменении его длины

К силе тяжести прибавляется еще центробежная сила mv2/l0. Работа (1.5) совершается извне внешней системой при поднимании груза маятника т.

При опускании маятника в крайней точке, где скорость равна нулю (v = 0), работа, совершенная маятником над внешней системой, равна

mga cosϕ0

24

или, при малом φ0,

Это – энергия, отданная маятником внешней системе при опускании груза т. Таким образом, за период колебаний Т ма-

ятник получит энергию

можно приближенно считать:

mv2 2 ≈ 12 mgl0ϕ02.

Тогда

∆E ≈ 6 a mv2 . l0 2

Обозначая полную энергию колебаний E ≈ mv2 2 , можно запи-

сать:

Через период энергия колебаний увеличивается на величину, пропорциональную всей энергии колебаний. В этом случае энергия колебаний возрастает по показательному закону, а именно: если в некоторое время энергия колебаний была Е0, то через п периодов она будет равна

где

Важно, что с увеличением времени прирост энергии будет увеличиваться, амплитуда колебаний будет быстрей нарастать.

Если в системе есть трение, то нарастание колебаний имеет место только в том случае, когда работа внешних сил больше потерь энергии на трение за период. Потери на трение можно приближенно определить следующим образом. Пусть коэффициент трения равен h, тогда, при условии, что φ ≈ φ0sin ω0t, работа момента сил трения hϕ за период

Убыль энергии за период вследствие трения при почти синусоидальных колебаниях пропорциональна энергии колебаний.

Таким образом, условие возрастания колебаний, или усло-

вие параметрического возбуждения колебаний, получим,

сравнивая (1.7) и (1.10) в следующем виде:

вать незатухающие колебания с любой амплитудой. Однако

26

режим колебаний, соответствующий точке 3a = ϑ, не может l0

физически осуществиться, так как при любом, даже очень небольшом, изменении параметров система перейдет или в область нарастающих, или в область затухающих колебаний.

Параметрический резонанс существенно отличается от обычного резонанса тем, что колебания теоретически должны бы нарастать до бесконечной амплитуды даже при наличии трения в системе. В действительности же наблюдаются периодические колебания при параметрическом резонансе, как, например, в случае раскачивания качелей, а изложенные рассуждения не объясняют существования таких колебаний. Фактически только при малых амплитудах, когда система линейна, происходит такое нарастание энергии, о котором шла речь в теории. С увеличением амплитуды колебаний существенную роль будут играть нелинейные члены уравнения, которые не учитывались, поэтому амплитуда колебаний будет ограниченной. Таким образом, вопрос о существовании устойчивых периодических движений в системе с периодическими коэффициентами относится к нелинейной теории колебаний.

Если же условия параметрического резонанса, например (1.11), не соблюдаются, то в системе будут иметь место после толчка в любой момент времени только затухающие параметрические колебания.

1.3.3. Области параметрического резонанса

Анализируя параметрический резонанс, мы считали, что период изменения параметра точно в два раза меньше периода собственных колебаний. Примерно такая же картина будет наблюдаться, если период изменения параметра будет близок по величине к половине собственного периода. Только здесь будет наблюдаться влияние сдвига фаз между колебаниями маятника и изменением длины и параметрические коле-

27

бания (затухающие и нарастающие) будут иметь характер бие-

ний [6].

Такое простое рассмотрение приводит к мысли, что параметрический резонанс возможен и при других соотношениях периодов изменения параметра и собственных колебаний. Например, возрастающие параметрические колебания возможны, если периоды совпадают, т.е. за полупериод собственных колебаний маятник также поднимается и опускается, как и ранее, а в следующий полупериод длина остается неизменной и т.д. (рис. 1.13, а).

а

б

Рис. 1.13. Возрастающие параметрические колебания:

а – при τ = Т; б – при τ = 32 T

28

В этом случае условие параметрического резонанса будет таким:

l0

так как только за полупериод энергия передается маятнику. При том же затухании для возбуждения колебаний нужна большая глубина модуляции параметра, чем в предыдущем случае (см. п. 1.2.2), когда период изменения параметра был равен половине периода собственных колебаний.

Возможно возбуждение колебаний и в том случае, если период изменения параметра τ равен 32 T , т.е. полутора перио-

дам собственных колебаний, например если поднимают и опускают груз маятника по одному разу за три полупериода собственных колебаний (рис. 1.13, б). В этом случае условие параметрического резонанса примет вид

Рассуждая так же, можно показать, что при определенном соотношении фаз возможен параметрический резонанс, если период изменения параметра τ удовлетворяет следующему равенству:

Как показывают более точные расчеты и опыты, явления параметрического резонанса будут иметь место, если условия выполняются приближенно, т.е. существуют определенные области по частоте модуляции параметра, в которых возможно наличие параметрического резонанса.

Изложенный анализ параметрических колебаний был слишком упрощен, поскольку были приняты скачкообразная

29

форма изменения параметра и определенная фаза по отношению к собственным колебаниям. Предположение о скачкообразном изменении параметра должно сказаться только на формулах для условий возбуждения и не должно иметь принципиального значения. Характер явления будет оставаться таким же

ипри плавном изменении параметра. Но фаза имеет принципиальное значение. Действительно, если переменить фазу модуляции относительно собственных колебаний, то можно получить не нарастание колебаний, а, наоборот, затухание их. Таким образом, для нарастающих колебаний при параметрическом резонансе необходима «правильная» фаза модуляции параметра относительно собственных колебаний.

Однако в действительности маленькие собственные колебания возникают в системе под действием случайных причин

имогут иметь место всевозможные начальные фазы собственных колебаний. Когда период модуляции и глубина ее будут удовлетворять условиям нарастающих колебаний, всегда будут иметь место нарастающие колебания, потому что среди случайно возникающих собственных колебаний всегда найдется такое, фаза которого «правильна», и оно будет нарастать.

Теперь посмотрим, чего следует ожидать, если частота модуляции параметра будет немного отлична от частоты параметрического резонанса (1.14).

В этом случае на некотором отрезке времени фаза колебаний параметра будет содействовать нарастанию колебаний в системе и колебания будут нарастать. Далее «расстройка» по фазе между колебаниями и модуляцией параметра будет увеличиваться и колебания перестанут нарастать, работа внешних сил будет равна нулю. Затем будет время, в течение которого фаза колебаний и модуляций параметра примет такие значения, при которых внешняя сила будет совершать вредную работу и колебания, уменьшаясь, затухнут. В системе возникнут колебания, похожие на биения. Но что будет преобладать: возрастание или затухание, таким простым рассуждением нельзя ус-

30