Прикладная теория колебаний

Подставляя решения (2.11) в дифференциальные уравнения, получим систему однородных уравнений:

(1−m1δ11ω2 ) A1 −m2δ12ω2 A2 −... −mnδ1nω2 An = 0;

2.3.3. Приближенные методы определения частот свободных колебаний

При большом числе степеней свободы решение системы (2.12) требует очень высокой точности из-за умножения больших чисел на малые, представляющие, в свою очередь, разность больших чисел.

Существуют различные приближенные методы определения частот свободных колебаний, дающие приемлемую точность, особенно для основной частоты, имеющей первостепенное значение в решении многих инженерных задач [7, 8]. Рассмотрим некоторые из них.

51

Энергетический метод (метод Рэлея)

В основе метода лежит закон сохранения энергии:

K (t) +W (t) = const,

где K(t) – кинетическая энергия; W (t) – потенциальная энергия.

Если амплитуда максимальна, то K = 0, а W = Wmax, и наоборот, в момент прохождения массы через положение равно-

весия K = Kmax, W = 0; при этом Kmax = Wmax.

Рассмотрим колебания балки длиной l с распределенной по длине балки массой µ(z). Предположим, что отклонение в произвольной точке соответствует уравнению

y(z,t) = y(z)sin(ωt +ϕ),

а скорость

y(z,t) = y(z)ωcos(ωt +ϕ).

Потенциальная энергия для балки с распределенной массой

Следовательно,

∫EJ [y(z)]2 dz

l

Функция y(z) неизвестна. Нужно задавать ее с учетом

граничных условий, чем точнее она выбрана, тем точнее будет решение. Если при этом функция задана с одним неопределенным параметром а, то этот параметр, входя в числитель и в знаменатель выражения (2.18), сокращается.

Пример. Определим круговую частоту колебаний балки

ляется параболой 4-й степени, то результат будет значительно точнее.

В случае сосредоточенных масс имеем:

Kmax = 0,5∑mi∆i2 ,

где ∆i – перемещение массы mi. Отсюда

∫EJ [y(z)]2 dz

ω2 = l ∑ .

mi∆i2

53

Метод Ритца

По методу Ритца упругая линия системы задается в следующем виде:

i=1

Параметры аi уже не сокращаются. Поэтому для решения задачи необходимо составить систему n уравнений типа

∂∂ai (Wmax − Kmax ) = 0.

Затем из нетривиального решения полученной системы однородных уравнений определяем спектр частот.

Если за параметры принимать неопределенные силы а (силовые параметры), то создаваемые ими прогибы будут автоматически удовлетворять граничным условиям и зависеть от изменения жесткости элементов системы. При использовании силовых параметров потенциальную энергию системы удобнее записывать через внутренние силы. Для плоских рам и балок

Пример. Определим круговую частоту колебаний невесомой балки, состоящей из трех масс (рис. 2.11). EJ = const.

Рис. 2.11. Балка, состоящая из трех масс: а – динамическая модель; б – эпюра изгибающих моментов

54

Решение. 1. Приложим в точках, где сосредоточены массы, неопределенные силы ai (a1, a2 , a3 ).

2. Построим эпюру моментов М (рис. 2.11, б):

Wmax = 6lEJ3 (a12 27 + a22 8 + a32 + 2a1a2 14 + 2a1a3 4 + 2a2a3 2,5).

3. GПриложим последовательно к узлам 1, 2, 3 единичные

силы P =1 и построим соответствующие единичные эпюры M. Определяем перемещения (по Мору):

∆1 = (a1 54 + a2 28 + a3 8)l3 ; 6EJ

∆2 = (a1 28 +a2 16 + a3 5)l3 ; 6EJ

∆3 = (a1 8 + a2 5 + a3 2)l3 .

6EJ

4.Определяем Kmax:

Kmax = (a12 3764 + a22 1065 + a32 93 + 2a1a2 2000 +

5. Определяем условия минимума отклонений энергий:

∂∂ai (Wmax − Kmax ) = 0.

Раскрываем определитель 3-го порядка: 676λ3 −1703λ2 + 468λ−3,25 = 0,

в котором

λi = mωi2l3 . 12EJ

55

Корни уравнения: λ1 = 7,129 10−3, λ2 = 0,3056, λ3 = 2,207.

ω2 = 0,0855EJ

Тогда частота 1-го тона 1 . ml3

6. Форма колебаний определяется через λi и решение относительно ai. Определив силы ai, определяем перемещения узлов.

Методы замены и приведения масс

Эти методы приближенные, поскольку распределенная масса µ заменяется сосредоточенными массами Мп (рис. 2.12, а); то-

а

б

Рис. 2.12. Динамическая модель балки на двух опорах с сосредоточенной массой: а – до переноса; б – после переноса

Метод переноса масс (см. рис. 2.12). Возьмем произволь-

Получаем заниженное значение частоты.

Метод приведения масс. Сосредоточенные и распределенные массы приводят в одну фиксированную точку, чаще всего в точку приложения динамической силы P(t). При этом приведенную массу Mп определяют из равенства кинетических энергий заданной и приведенной динамических систем:

K∑m = Km.

Принимая соотношения скоростей масс равными соотношениям перемещений во времени, запишем:

Mп yM2 = ∑mi yi2.

Чтобы определить перемещения уi масс, надо задать упругую линию y = y(x).

При действии единичной силы Р(t) = 1 и приведении масс к свободному концу консольной конструкции уравнение упругой линии консоли (рис. 2.13) имеет вид

57

Для определения коэффициентов δik рамы (рис. 2.14) приложим единичные силы в точке расположения массы m в вертикальном и горизонтальном направлениях и построим единичные эпюры изгибающих моментов. Применение метода сил (метода Мора) позволяет записать:

Рис. 2.14. Динамическая модель для определения частот и форм колебаний рамы

58

При m1 = m2 = m подставляем эти значения в уравне-

ния (2.12) и после решения квадратного уравнения относительно частоты получим:

ω1 = 0,807 mlEJ3 ; ω2 = 2,82 mlEJ3 .

Направления движения массы, отвечающие первой и второй частотам колебаний, определяем по соотношениям:

где A1′, A1′′, A2′, A2′′ – амплитуды колебаний массы по этим на-

правлениям с частотами ω1 и ω2.

Направления колебаний взаимно перпендикулярны: β1 −β2 = 90° (см. рис. 2.14), т.е. формы ортогональны.

Пример. Определим низшую круговую частоту колебаний двухшарнирной симметричной рамы (рис. 2.15). Жесткость EJ. Погонная масса m = const, l = h = 2 м. Gдетали = 100 кг.

Рис. 2.15. Динамическая модель рамы на двух опорах

59

Решение.

Рассмотрим обратно симметричный подход. Условие симметрии позволяет считать вертикальные перемещения центральной точки ригеля равными нулю [3] и δ1 = –δ2.

Масса m1 = mh имеет амплитуду горизонтальных колеба-

Определяем (согласно правилу перемножения эпюр):

60