Математический анализ в задачах и упражнениях

ISBN 978-5-398-00986-6

© ПНИПУ, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

1.

Пределы последовательностей и функций.................................

4

1.1. Предел последовательности................................................

4

1.2. Предел функции...................................................................

6

Контрольные задания к теме 1 ......................................................

14

2.

Исследование и построение графиков функций......................

38

Контрольные задания к теме 2 ......................................................

57

3.

Неопределенный интеграл.........................................................

65

Контрольные задания к теме 3 ......................................................

78

4.

Определенный интеграл ............................................................

95

4.1. Вычисление площадей плоских фигур............................

96

4.2. Вычисление длин дуг плоских кривых..........................

100

4.3. Вычисление объемов тел.................................................

102

4.4. Вычисление площади поверхности вращения..............

104

5.

Несобственные интегралы.......................................................

108

Контрольные задания к темам 4, 5..............................................

112

6.

Числовые и функциональные ряды........................................

128

6.1. Знакопостоянные ряды....................................................

128

6.2. Знакопеременные ряды....................................................

134

6.3. Функциональные ряды....................................................

140

6.4. Степенные ряды...............................................................

145

6.5. Приложения рядов...........................................................

150

Контрольные задания к теме 6 ....................................................

154

lim

n

1. Найти N .

n n 1

Решение. Обозначим

x

n

. Пусть задано

> 0, рас-

n

n 1

смотрим

неравенство

1 x

1

< . Оно

равносильно

n

1

n

n

1

. Следовательно, можно положить

1

,

1,

1

(1)

N

1.

1,

lim

n2

1.

Найти N( ) .

n 1

n n2

Решение. Воспользуемся неравенствами

1 y

n2

n2

n

x

0.

n

n2 n 1

n2 n

1 n

n

Получим

1 yn

1 xn

.

(2)

Пусть задано 0 . Найдем такое

N, чтобы при n N вы-

полнялось неравенство

1 xn

. Из решения примера 1 следу-

Пример 3. Найти lim

3

n2

n

;

.

n 2

n

Решение. Имеем неопределенность вида

. Выполним

следующие преобразования:

n

1

1

1

1

3

3

3

n2 n

n

n2

n

n2

lim

0 .

lim

= lim

n

n 2

n

2

n

2

n 1

1

n

n

1

1

1

1

Пример 4. Найти lim

2

22

2n

.

1

n

1

1

1

2

n

3

3

3

Решение. Применяя формулу для суммы n членов геомет-

рической прогрессии, находим

1

1

lim 1

2

1

2

2

2

n

1

1

4 .

2

n 1

lim

3

n

1

1

3

2

3

n

n

1

1

3

3

1

1

n 1

3

2

Пример 5. Найти lim

n a

n

;

.

n

Решение. Умножив числитель и знаменатель (знаменатель

равен 1) на

n a

n , находим

lim

n a

n

lim

n a n

n a n

n a

n

n

n

.

a lim

1

0.

n

a

n

n

5

Пример 6. Найти lim

n

cos n

.

1

n n

n

Решение. Предел lim

n

найден в примере 1. Второе сла-

n n 1

lim

n

cos n

lim

n

lim cos n

1.

n n 1

n

n n 1

n

n

1.2. Предел функции

Пример 7. Найти

2x 3 3 3x 2 2

lim

;

.

x

5

5

x

3 3

2 2

lim

2x 3 3 3x 2 2

= lim

2

x

3

x

2332

72 .

x5 5

5

1

x

x

1

x5

Пример 8. Найти lim

2x 3

;

.

3

x

x x

3

Решение. lim

2x 3

lim

2 x

2.

x x 3 x

x

1

3

1

x

2

Если P x и

Q x

– многочлены и P a Q a 0 , то при

отыскании

lim

P x

рекомендуется разделить один или не-

x a Q x

сколько раз числитель и знаменатель на x a .

Пример 9.

Доказать

(найти

)

равенство

x2

6x 8

0

lim

2 ;

.

x 2

x 2

0

Решение. Сократив числитель и знаменатель на x 2 , при-

ходим

к рассмотрению

предела

при x 2

функции

f x x 4 . Затем для 0 находим

f x 2

x 4 2

Пример 10. Найти lim

x2

x

;

0

.

x 1

x 1

0

Решение. Введем новую переменную y

x . Тогда

lim

x2

x

= lim

y y3 1

lim y

y2

y 1

3.

x 1

x

1

y 1

y

1

y 1

Пример 11. Найти lim

x h

x

, x

0

0 ;

.

h

0

h 0

Решение. lim

x h

x

= lim

h

1

.

h

h

x

h 0

h 0

x h

2 x

Этот предел удобно представить в виде lim sin v

1,

где v –

x a

v

7

Пример 12. Найти

lim

1 cos x

;

0

x

2

.

x 0

0

Решение. Учитывая формулу 1 cos x 2sin2

x

, находим

2

2 x

x 2

1 cos x

2sin

1

sin

1

lim

=

lim

2

lim

2

.

x2

x2

x

x 0

x 0

2 x 0

2

2

Пример 13. Найти

lim

arcsin 2x

0

5x

;

0

.

x 0

Решение. Введем новую переменную

z arcsin 2x . Тогда

sin z 2x ,

x

sin z

и

2

lim arcsin 2x

= lim

z

2

1

2 .

5 lim sin z

x 0

5x

z 0 5 sin z

5

2

z 0

z

Если

ищется

предел

функции

при x a, a 0 ,

то для

удобства можно перейти к новому аргументу

y x a ,

предел

которого равен нулю при x a .

Пример 14. Найти lim x

4

tg2x ; 0 .

x

4

Решение. Положим x

y , тогда

4

lim

2 y

x

tg2x lim ytg

2

x

4

y

0

4

lim y ctg2 y

1 lim

2 y

cos 2 y

y 0

2 y 0 sin 2 y

1 lim

2 y

lim cos 2 y

1 .

2 y 0 sin 2 y

y 0

2

1

1

v

lim 1 v v

e , где

v 0 при

x a ; или

lim 1

v

e , если

x a

x a

x 5

3x

Пример 15. Найти lim

;

x 1

1 .

x

x 5

3x

6 3x

lim

lim 1

x 1

x 1

x

x

x

x

3

ln

ln

x

2

lim

x 1

1

1

x 3

1

1

x 3

x

x

lim ln

ln lim

1 2

x

1 2

x

x

x

1 x

1 3

lim 1

x

1

e 1

ln

x

x

ln

ln e3

3.

2 x

e 2 1

2 3

lim 1

x

1

x

x

Здесь мы воспользовались тем положением, что если суще-

ствует и положителен

x a

f

x

, то

x a

ln f

x

ln

x a

x

.

lim

lim

lim f

9

Пример 17. Найти lim

2cos2 x 1

;

0

.

ln sin x

0

x

2

lim

loga 1 x

loga e;

lim ax 1

ln a.

x

x 0

x 0

x

2cos2 x 1

2y

1

lim

lim

2y 1

2lim

y

ln sin x

1 ln

ln 1

y

x 2

y 0

1 y

y 0

2

y

2y

1

2lim

y

2 ln 2 2ln 2.

y 0 ln

y

ln e

1

y

Пример 18. Найти lim

ex e x

;

0

sin x

0

.

x 0

Решение. lim

ex

e x

e2 x

1

lim

sin x

ex sin x

x 0

x 0

lim

e2 x 1