Математический анализ в задачах и упражнениях

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

k 0, 1, 2, ....

Следовательно, один из лепестков описывается при измене-

и является симметричным относительно оси

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

1.389.						dx
1.389.															5
			1 x x2
1.390.		x2 9							dx
1.390.			x		3				dx
			x
1.391.				x2						dx
1.391.	x2			3					3	dx
	x2			3					2
1.392.		a2 x2								dx
1.392.					x					dx
					x
1.393.					dx
1.393.	x				2					2
	x			a		x
1.394.			x2dx
1.394.			2					2
		x			a
1.395.				dx
1.395.										3
			1 x2
1.396.					dx
1.396.		a2				x2						5
		a2				x2
1.397.				dx
1.397.	x	3		2			1
	x				x		1
1.398.				dx
1.398.	1		x			2		2

1.399.							dx
1.399.	x		2	16								9 x				2
	x			16								9 x
1.400.				x2 x 1												dx
1.400.		x	2							x		2		1		dx
		x				1				x				1
1.401.							dx
1.401.	x		2	2							x		2	1
	x			2							x			1

1.402.	4 x2 dx
1.403.				dx
1.403.	9 x2							3
	9 x2
1.404.	x2			4		dx
1.404.		x3				dx
		x3
1.405.		x2dx
1.405.	x2		5		3
	x2		5		2
1.406.				dx
1.406.			x x2							3
		1	x x2
				2
1.407.	1 x					dx
1.407.	2					dx
	2 x
1.408.				dx
1.408.	x	2	4					4x	2		1
	x		4					4x			1
1.409.	x2dx
1.409.	2
	x			2
1.410.		x3dx
1.410.			x2				3
		1	x2
1.411.		x5dx
1.411.			x2				3
		1	x2
1.412.	x2			9		dx
1.412.		x		2		dx
		x
1.413.	x2			1		dx
1.413.		x	4			dx
		x
1.414.	1 x2					dx
1.414.		x	2			dx
		x

elib.pstu.ru

1.415.					9 x2										3		dx
1.415.								x		6							dx
								x
1.416. x2							4 x2 dx
1.417.			5 x2										dx
1.417.						x							dx
						x
1.418.						dx
1.418.	x				9 x							2
	x				9 x
1.419.				x2dx
1.419.				2
			x						16
1.420.								dx
1.420.	x2												3
	x2						25 2
1.421.								dx
1.421.			3 x2											3
			3 x2
1.422.							dx
1.422.	x		3				2				4
	x							x			4
1.423.											dx
1.423.	x			2			9								16 x							2
	x						9								16 x
1.424.					x2 x 3																dx
1.424.		x		2											x	2					dx
																			1
										1									1
1.425.											dx
1.425.		4x					2									x			2	4
		4x									1					x				4
1.426.					x			2 4x												dx
1.426.					2				2x								2			dx
			x						2x								2
1.427.			x3						x 1											dx
1.427.			2						2x								2			dx
			x						2x								2
1.428.									x3									dx
1.428.			x			2			x 1									dx
			x						x 1
92

1.429.

1.430.

1.431.

1.432.

1.433.

1.434.

1.435.

1.436.

1.437.

1.438.

1.439.

1.440.

1.441.

1.442.

1.443.

x2 1					dx
x2 2x 2					dx
x3 1					dx
x2 4x 5					dx
x2 x 2					dx
x2	6x	5			dx
x2	6x	5
x3 x 1					dx
x2	2x	2			dx
x2	2x	2
1 x2					dx
2 2x x2					dx
x3 2x2 3x					4	dx
x2	2x				2	dx
x2	2x				2
x2 2x 3
		dx
		dx
4x x2
2 x x2 dx
2 x x2 dx
x3			dx
1 2x x2			dx
x3 6x2 11x 6							dx
x2 4x 3							dx
x2 4x 3
x4				dx
x2 4x 5				dx
3x3	8x	5			dx
x2	4x	7			dx
x2	4x	7
3x2 3x 1dx
x3 x 1					dx
x2	2x	2			dx
x2	2x	2

elib.pstu.ru

1.444.

1.445.

1.446.

1.447.

1.448.

1.449.

1.450.

1.451.

1.452.

1.453.

1.454.

1.455.

1.456.

1.457.

2x2 3x						dx
x2 2x	5					dx
x2 2x	5
1 4x x2			dx
			dx
1 4x x2
x3 1					dx
x2 4x 7					dx
x2 x 1							dx
							dx
3x2 3x 1
x3 3x 2						dx
x2 2x	3					dx
x2 2x	3
3 x x2		dx
2 x x2		dx
2 x x2
3x2 2x						dx
x2 2x	7					dx
x2 2x	7
1 4x x2				dx
x2 5x 6				dx
x4 1					dx
3 4x x2					dx
5x3 4x2 2							dx
x2 4x	1						dx
x2 4x	1
x3 3			dx
x2 3x 2			dx
x3 x 1			dx
			dx
1 2x x2
x3 x							dx
1 3x 2x2							dx

3x2 5x dx

2x2 2x 2

1.458.	4x2 4x 172						dx
	5 x x
			2
1.459.	2 x x			dx
1.459.	2			dx
	1 x x
1.460.	2 2x x2					dx
1.460.	2					dx
	4 2x x
1.461.	9x22 6x2 2 dx
	x	4x 3
1.462.	2x2 3x 1				dx
1.462.	2				dx
	1 2x x
1.463.	4x2 9x 1					dx
1.463.	2					dx
	x 2x 2
1.464.	5 2x x2							dx
1.464.		2						dx
	5x		2x 1
1.465.	4x3 9x 1				dx
1.465.	2				dx
	x 2x 5
1.466.	12 9x2 22x dx
	5 2x x
1.467.	4x3 4x 3					dx
1.467.	2					dx
	7 2x x
1.468.	2x3 3x 1							dx
1.468.	2							dx
	18 6x x
1.469.	3x3	11x 2						dx
1.469.	2							dx
	x	6x 18
1.470.	x3 x 2							dx
1.470.	2							dx
	x	6x 18
1.471.	4x x2					dx
1.471.	5 4x x			2		dx
	5 4x x
1.472.	x2 2x 2					dx
1.472.	2					dx
	8 2x x

elib.pstu.ru

1.473.	x2 2x 3					dx
1.473.	1 x	2		4x		dx
	1 x			4x
1.474.	x3 x	2	2x 1				dx
1.474.	2						dx
	5x	2x 1
1.475.	x3 4					dx
1.475.	3 2x x				2	dx
	3 2x x
1.476.		dx
1.476.	x 1 2 x 1 2
1.477.		dx
1.477.	x 2 2 x 1 2
1.478.		dx
1.478.	x 2 2 x 3 2
1.479.		dx
1.479.	x 3 2 x 1 2
1.480.		dx
1.480.	x 2 2 x 4 2
1.481.		dx
1.481.	x 1 2 x 2 2
1.482.		dx
1.482.	x 3 2 x 4 2
1.483.		dx
1.483.	x 1 2 x 5 2
1.484.		dx
1.484.	x 7 2 x 6 2
1.485.		xdx
1.485.	x 3 2 x 5 2
1.486.	x 1 dx

	x 1 2		x 2 2
94

1.487.

1.488.

1.489.

1.490.

1.491.

1.492.

1.493.

1.494.

1.495.

1.496.

1.497.

1.498.

1.499.

1.500.

x 3 2 x 7 2

x 4 2 x 4 2

x 1 2 x 11 2

xdx

x 2 2 x 5 2

xdx

x 8 2 x 9 2

xdx

x 3 2 x 3 2

xdx

x 3 2 x 4 2

xdx

x 2 2 x 3 2

x 10dx 2 x2

x 1 2 x2

x 5 2 x2

x 3 2 x2

xdx

x 7 2 x 8 2

elib.pstu.ru

4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

										1			ctg			x 1
										3			ctg			x 1
Пример 1. Вычислить																		dx.
Пример 1. Вычислить													sin		2	x 1		dx.
											1		sin			x 1
										4	1
										4
Решение.
		1		ctg		x 1						1
		3		ctg		x 1						3
									dx			ctg x 1 d ctg x 1
					2	x		1	dx			ctg x 1 d ctg x 1
		1 sin				x		1					1
		4										4
	1							1		1								2	1 1		1
	1	ctg	2	x 1			3	1		1				2			ctg	2	1 1		1	.
		ctg		x 1							ctg						ctg			1		.
	2							1		2						3		4	2 3		3
	2						4	1		2						3		4	2 3		3
							4
										e			2
Пример 2. Вычислить ln 2 x dx I.
										1			x

Решение. Используем формулу интегрирования по частям

ln2 x u;

1 ln2

2 x dx

2 ln2x dx.

du 2ln x

;

v x

Применяем эту формулу еще раз. Пусть

		u ln x, dv				dx		, du		dx		, v		1 .
		u ln x, dv				x2		, du				, v		1 .
						x2					x					x
Тогда получим
I	1		1	ln x	e		e	dx			1		2		2		e	2	5	.
	1		1		e		e	dx			1		2		2		e		5
	e	2	x								e		e		x				e
	e		x				x2				e		e		x				e
					1		1										1
					1		1										1
									4					3x 5 dx
Пример 3. Вычислить интеграл																					.
Пример 3. Вычислить интеграл											4 3x			4		2					.
									1		4 3x			4				3 3x 4 1

elib.pstu.ru

Решение. Воспользуемся подстановкой 3x 4 t3 . Имеем

4	3x 5 dx						3x 4 t3

							dx t	2	dt
	3 3x 4	2	3	3x	4	1
1


2	t3		1 t2dt	2	t 1 t2dt	1 t4	2	1 t3	2
	t	2	t 1		t 1 t2dt	1 t4		1 t3
1				1		4	1	3	1
1				1		4	1	3	1

14 16 1 13 8 1 154 3 34 .

4.1.Вычисление площадей плоских фигур

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-

	2
ниями y x	2	4,
ниями y x		4,
x y 2 0.
Решение.		Площадь фигуры,		ограниченной	кривыми
y f1 x и y		f2 x ,	f1 x f2 x ,	и прямыми x a	и x b,

находим по формуле b f2 x f1 x dx .

Найдем абсциссы точек пересечения кривых

y x2 4,

y x 2;

x1 2;

x2 3.

Поскольку x 2 x2 4 при 2 x 3 , то

S 3 x 2 x2 4 dx 3 x2 x 6 dx

2				2
	x3	3	x2	3	3
		3		3
				6x
	3		2	6x	2
	3	2	2	2

13 27 8 12 9 4 6 3 2 1256 .

elib.pstu.ru

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной циклоидой

x 8 t sin t ,

y 8 1 cost ,

2 t 4 и осью OX.

3 3

Решение. Построим фигуру (рис. 13).

		Рис. 13. Фигура (пример 5)
Если	кривая	задана параметрическими уравнениями
x x t ,	y y t ,	то площадь криволинейной трапеции, огра-

ниченной этой кривой, прямыми x a, x b и отрезком оси

ОХ, находится по формуле S y t x t dt , где t1 , t2 находят-

ся из условий a x t1 , b x t2 , ( y t 0 при t1 t t2 ). Применяя эту формулу, получим

2						4
S 3	8 1 cost 8 1 cost dt 64 3						1 cost 2 dt
4						2
3						3
	4
	3		2cost	1	1
	64	1	2cost	2	1	cos 2t dt
	2			2
	3

elib.pstu.ru

			3			4					4			1			4
						4					4						4
	64			t		3		2sin t							sin 2t			3
						3					3							3
			2			2					2			4			2
						2					3						2
					3						3							3
					3													3
64	2			4			sin		2				1			8		sin		4
64	2	sin			3		sin						4	sin		3		sin		3
					3					3			4			3				3
									3
	64		2					3				64 144							3.
	64		2					3				64 144							3.
									4
									4

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями 2sin и 4sin .

Решение. Для вычисления площади фигуры, граница которой задана уравнением в полярных координатах, воспользуемся формулой

S 1 2 ( )d . 2

Построим окружности. Для этого запишем уравнения окружностей в каноническом виде, пользуясь формулами перехода

кдекартовым координатам

x cos ,

y sin .

Умножив обе части уравнения первой окружности на ,

получим 2 2 sin , т.е. x2 y2 2 y , откуда x2 y 1 2 1 –

окружность с центром в точке (0; 1), радиусом, равным 1. Аналогично для второй окружности получим

x2 y 2 2 22 – окружность с центром в точке (0; 2), радиу-

сом, равным 2.

Построим эту фигуру (рис. 14).

Таким образом, площадь фигуры равна разности площадей фигур, ограниченных первой и второй окружностями (заштрихованная часть плоскости):

elib.pstu.ru

	1
S	1		16sin2 4sin2 d 6 sin2					d
	2		0			0
						1 sin 2
3		1		cos 2 d 3				3 .


					0	2
	0						0

Рис. 14. Фигура (пример 6)

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кри-

вой 2a cos3 .

Решение. Функция 2a cos3 имеет период 23 , поэтому

при изменении от до радиус-вектор описывает три равных лепестка кривой. При этом допустимыми для являются те значения, при которых cos3 0, откуда

elib.pstu.ru

абсцисс. Остальные два лепестка получаются при изменении

от 2 до 56 и от 76 до 32 . Таким образом,

S 6 1

4a2 cos2 3 d 6a2 6 1 cos 6 d

1 sin 6

6a2

a2 .

4.2. Вычисление длин дуг плоских кривых

Пример 8. Вычислить длину дуги кривой

1 ex e x

от

x 0

до x 3 .

y f x ,

x a;

b , имеет

Решение. Если кривая

непре-

рывную производную		f x , то длина дуги этой кривой нахо-
дится по формуле
	L b			1 y 2 dx.
			a
В нашем случае
		y 12 ex e x ,
1 ó'2 1			å 2 õ 2 å2 õ			åõ å õ 2 .
1 ó'2 1						åõ å õ 2 .
				4				4
Таким образом,
L 3 ex e x		dx		1 ex	30 e x		30	e3 e 3 .
L 3 ex e x		dx		1 ex	30 e x		30	e3 e 3 .
0	2			2				2
100

elib.pstu.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.81 Mб43Математические модели движения транспортных средств..pdf
#
15.11.202214.26 Mб48Математические основы криптологии и криптографические методы и средс..pdf
#
15.11.2022932.24 Кб18Математические основы теории принятия решений..pdf
#
15.11.20221.51 Mб10Математические основы теории систем. Методы оптимизации.pdf
#
15.11.20224.41 Mб7Математические основы финансового обслуживания..pdf
#
15.11.20221.75 Mб15Математический анализ в задачах и упражнениях..pdf
#
15.11.202219.7 Mб18Математическое моделирование в естественных науках.-1.pdf
#
15.11.202224.26 Mб25Математическое моделирование в естественных науках..pdf
#
15.11.202211.81 Mб16Математическое моделирование в механике композиционных материалов и..pdf
#
15.11.20227.54 Mб24Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке..pdf
#
15.11.20222.39 Mб19Математическое моделирование и проектирование систем автоматики..pdf