Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ в задачах и упражнениях

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

y ln sin x,

2.21. а) x

3 2

2 ,

в) 0 125

2.22. а) y ln 7 ln x,
		3 x 8
		2 ,
в) 0				12
				5
2.23. а)	y		1 (ex e x ) 3,
2.23. а)			2
	0 x 1
		4 ,
в) 0				3
				4
		y 1 arcsin x			1 x2 ,
2.24. а) 0 x				3
		3 ,		4
		3 ,
в)		0		3 .
		0		4
				4
		y ln cos x 2,
2.25. а) 0 x
				6

x (t2 2)sin t 2t cost, б) y (2 t2 ) cost 2t sin t,

0 t 2

x et (cost sin t),

y et (cost sin t),

б)

0 t 3

x 2(t sin t),

б) y 2(1 cos t), 0 t

x 4(2cos t cos 2t), б) y 4(2sin t sin 2t),

0 t

x 2(cost t sin t), б) y 2(sin t t cos t),

0 t

121

elib.pstu.ru

5 ,

в) 0

y e

26,

x (t

2)sin t

2.26. а)

(2 t2 ) cost

б) y

8 x ln

t 3

2cos ,

в) 0

2cos

e2 x e 2 x

2.27. а)

y 2sin3 t,

б)

0 x 2

t 4

8cos ,

в) 0

y arccos

x x2

x 2(cost

2(sin t

2.28. а) 0 x 1

б)

0 t

6cos ,

в) 0

2)sin t

y e

x (t

2.29. а)

(2 t2 ) cost

б) y

3 x ln

2sin ,

в) 0

2t cost,

2t sin t,

t sin t),

t cos t),

2t cost,

2t sin t,

122

elib.pstu.ru

										t	(cost sin t),
		1							x e		(cost sin t),
	y	1	(1	e	x	e	x	),		t
2.30. а)	y	2	(1	e		e		),	y e (cost sin t),
2.30. а)		2							б)
	0 x 3
	0 x 3								6	t 4
									6	t 4

8sin ,

в) 0

Задание 3. Вычислить объемы тел: а) по поперечному сечению, используя формулу площади эллипса cd, где c и d – по-

луоси эллипса; б) полученных вращением фигур вокруг некоторой оси.

3.1. а)		x2					y2		z2					1
	16
					4
3.2. а)		x2				y2			z2					1
					25

3.3. а)		x2					y2						z2	1
	9				4								9

3.4. а)		x2		y2								z2		1
	4
													4
3.5. а)		x2				y2						z2		1

					9								4
3.6. а)		x2		y2								z2		1
	4
													9
3.7. а)		x2				y2						z2		1

					4								4
3.8. а)		x2					y2						z2	1
	16				4								9

3.9. а)		x2 y2									z2			1

									25
3.10. а)			x2					y2		z2 1

	4				4

б) y sin x, y 0,					0 x , оси OX
б) y	6 , x 0, y 1, y 6, оси OY
	x
б) y	1 x2		,	x 4,	y 0, оси OX
	4
б) y	x2	,		y 4,	оси OY
б) y	4	,		y 4,	оси OY
	4
б) y 4x2 ,				x 2,	y 0, оси OX

б) y x3 , y 4x, x 0, оси OY

б) y 5x ; y x 6, оси OX

б) x2 y2 1, оси OY

б)	y 9x2 , x 3,	y 0,	оси OX
б)	y x3 , y 9x,	x 0,	оси OY

123

elib.pstu.ru

3.11.а)

3.12.а)

3.13.а)

3.14.а)

3.15.а)

3.16.а)

3.17.а)

3.18.а)

3.19.а)

3.20.а)

3.21.а)

3.22.а)

3.23.а)

3.24.а)

3.25.а)

3.26.а)

124

x2			y2	z2				1

	9
x2 y2							z2	1
	4				9

x2 z2							y2	1
	1				16

x2	y2						z2	1
9
					4
x2			y2				z2	1

	16				9
x2	y2						z2	1
25
					4
x2			y2			z2		1

	9				25
x2	y2					z2		1
16
					16
x2			y2			z2		1

	9				16
x2	y2					z2		1
9
					9
x2			y2			z2		1

	4				16
x2			y2	z2				1
4
	9
x2		y2				z2		1

	4				25
x2	y2					z2		1
9
					16
x2		y2				z2		1

	16				25
x2			y2	z2				1
9
	4

б) y x2 , y2 x, оси OX

б) 2x y2 , x 2, оси OY

б) y 3x ; y x 4, оси OX

б) y x3 ,	x 1, y 0, оси OY
б) y 1 x2	,	x 3,	y 0, оси OX
3
б) y2 5x,		x 5,	оси OY

б) xy 4, x y 5, оси OX

б) y x3 , x 2, y 0, оси OY

б) 2 y x2 , y2 2x, оси OX

б) y3 x,

x 1, оси OY

б) 3y x2 , y2 3x, оси OX

б) y 18 x3 , x 4, y 0, оси OY

б) xy 6, x y 7, оси OX

б) y3 2x, x 4, оси OY

б) 4 y x2 , y2 4x, оси OX

б) 3x y2 , x 3, оси OY

elib.pstu.ru

3.27. а)

б)

y 2

x y 3,

оси OX

3.28. а)

б)

y 3, y 3, оси OY

3.29. а)

б) 5y x2 ,

5x,

оси OX

3.30. а)

б) 4x y2 ,

x 4,

оси OY

5. Несобственные интегралы

Задание. Исследовать на сходимость (вычислить).

xdx

1.1. а)

б)

sin x

1.2. а)

б)

cos x

xdx

cos

1.3. а)

б)

(4x 1)

(1 x)

tgxdx

1.4. а)

б)

(1 x)

1 x

б) 2 ln sin xdx

1.5. а)

6х 10

sin xdx

3x2 2

1.6. а) e

б)

ln(x2 1)

x3 3

1.7. а)

б)

1.8. а)

б)

x x

4x x

125

elib.pstu.ru

	2	cos x dx
1.9. а)	2	cos x dx
1			x
	3		1
	3		arcsin
1.10. а)			x	dx
1.10. а)			1 x x	dx
	2		1 x x

1.11.а) arctgx dx

(x x 1)dx

1.12.а) 1 x2 2 5 x4 1

1.13. а)

х х 1 х 2

7 (3 2x2 )

1.14. а)

1.15. а)

1 cos

1.16. а)

ln e x (n 1) dx

1 4sin 2x

1.17. а)

1.18.а) x2 x 2

x2 1

1.19.а) 0 x4 1dx

x ln xdx

1.20.а) 1 x 1 x5 x10 dx

126

б)

2			2 xdx
0			2 x
3			x2dx
3			2
3			9 x
1			dx
0			dx
0	1 x3
2
				1			dx2
sin				1			dx2
0				x			x
1			exdx
1			1 cos x
0			1 cos x
1		sin x cos x
			5	1	x				3		dx
0				1	x
1				x				dx
1			1 x				4	dx
0			1 x
e			dx
e		x	3
0		x		ln x

2		dx
0		dx
0		cos x
2		ln( 4 x 1)								dx
			e	tgx		1				dx
0			e			1
1			dx
0			dx
0		1 sin x
1			cos x							dx
1		4	x sin x							dx
0			x sin x

elib.pstu.ru

1.21.а)

1.22.а)

1.23.а)

1.24.а)

1.25.а)

1.26.а)

1.27.а)

1.28.а)

1.29.а)

1.30.а)

	x ln x
					dx
	(1 x	2	)	2
0
	arctgx
						dx
	(1 x	2	)	3 2
0

	x2dx
	x2dx
	x4 x2 1
0
arctgax			dx
	x	n	dx
0	x
	xmarctgx
	xmarctgx			dx
	n			dx
0	2 x


sin2 x dx
0				x
				dx
				dx
				2
0			x x
				dx
				dx
	1 x4 sin2 x
0
				xdx
				xdx
		1 x2 sin x
0
	x			(x 2)
	x			(x 2)	dx
					dx
0				x 1

б) 2

(1 x

)

б)

1 x2

б) 1 cos

1 x (1 x)

б) 2

x ln x

б) 2

x ln x

б) 1

xndx

, n N

1 x

б)

2xdx

a2 3

б) 1

exdx

1 x

x2dx

б)

3 (1 x

)

127

elib.pstu.ru

6.ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

6.1.Знакопостоянные ряды

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

(n 1)3

n 1

Решение. Сравнивая общий член данного ряда с общим чле-

ном сходящейся геометрической прогрессии

, где знаме-

n 1

натель

геометрической

прогрессии

1 1 ,

замечаем, что

при всех n . Следовательно, исследуемый ряд схо-

(n 1)3

дится по признаку сравнения.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение. Замечаем, что

lim a

lim

0. Необхо-

n 2n2 1

димый признак сходимости не выполняется. Ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

n 2

ln n

Решение. Поскольку

для n 2 , а

– общий член

ln n

расходящегося гармонического ряда, то в силу признака сравнения данный ряд расходится.

			1
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд				.
			n ln n
		n 2
Решение. Сравнение с гармоническим рядом по признаку
сравнения здесь ничего не дает, так как	1		1 , и никакого
	n ln n
			n

заключения о сходимости данного ряда сделать нельзя. Воспользу-

128

elib.pstu.ru

емся признаком сравнения в предельной форме с тем же гармони-

ческимрядом. Имеем a	1	, b 1		, следовательно,

n	n ln n	n	n

		1
lim an	lim	n ln n	lim	1	1 0.
lim an	lim	1	lim	ln n	1 0.
n bn	n	1	n	ln n
		n		n 1

Получен конечный и отличный от нуля предел. Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, и так как гармонический ряд

расходится, то расходится и данный ряд.

2n2

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд ln

n 1

Решение. Поскольку

n4 2n2

2n2 1

ln 1

(знак ~

означает

эквивалентность

последовательностей

при

n ),

то данный ряд ведет себя (в смысле сходимости)

так

же, как ряд

. Последний сходится как обобщенный гармо-

n 1

нический

с показателем

p 2 1 .

Следовательно,

сходится

и данный ряд.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд 2n .

n 1 n!

Решение. Применим признак Даламбера. Здесь

2n 1

n 1

(n 1)!

l lim

lim

2n 1 n!

lim

2n (n 1)!

n n

следовательно, ряд сходится.

129

elib.pstu.ru

	n 1		n

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд		.
	3n 2
n 1

Решение. Общий член данного ряда представляет собой п-ю степень некоторого выражения, поэтому удобнее всего применение радикального признака Коши:

n 1

l lim n

lim

3n 2

n 3n 2

Поскольку l 1,

то данный ряд сходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

nln n

n 2

Решение. Применим интегральный признак Коши. Посколь-

ку f (n)

, то функцией,

принимающей в точках x n

n ln n

значения

f (n),

будет функция

f (x)

. Она непрерывна на

x ln x

промежутке 2 x и монотонно на нем убывает. Вычислим

			dx
несобственный интеграл			dx		:
несобственный интеграл			x ln x		:
		2	x ln x
dx	lim b d ln x lim					ln ln b ln ln 2 .

2 x ln x
2 x ln x	b	2 ln x		b

Интеграл f (x)dx		расходится. Из его расходимости следу-
2
ет расходимость данного ряда.
							(2n 1)!!
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд							n(2n)!!	.
						n 1	n(2n)!!
Решение. Если применить к данному ряду признак Далам-
бера, то, как нетрудно проверить,						l lim an 1 1.	Следователь-
						n a
						n
но, признак Даламбера ответа не дает. Но в							этом случае
130

elib.pstu.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.81 Mб43Математические модели движения транспортных средств..pdf
#
15.11.202214.26 Mб48Математические основы криптологии и криптографические методы и средс..pdf
#
15.11.2022932.24 Кб18Математические основы теории принятия решений..pdf
#
15.11.20221.51 Mб10Математические основы теории систем. Методы оптимизации.pdf
#
15.11.20224.41 Mб7Математические основы финансового обслуживания..pdf
#
15.11.20221.75 Mб15Математический анализ в задачах и упражнениях..pdf
#
15.11.202219.7 Mб18Математическое моделирование в естественных науках.-1.pdf
#
15.11.202224.26 Mб25Математическое моделирование в естественных науках..pdf
#
15.11.202211.81 Mб16Математическое моделирование в механике композиционных материалов и..pdf
#
15.11.20227.54 Mб24Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке..pdf
#
15.11.20222.39 Mб19Математическое моделирование и проектирование систем автоматики..pdf