Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ в задачах и упражнениях

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Нетрудно показать, что этот ряд является рядом Лейбница (удовлетворяет условиям теоремы Лейбница). Согласно теореме Лейбница погрешность, допускаемая при отбрасывании членов ряда, по абсолютной величине не превышает мо-

дуля первого отброшенного члена. Поскольку 2 10 0,0015, то для достижения требуемой точности достаточно взять первые два члена ряда

367 = 4 1 16 4,065.

Пример 37. Вычислить ln 2 с точностью до 10 4.

Решение. Для вычисления логарифмов чисел можно пользоваться рядом

1 x

2 x

x2n 1

1 x

2n 1

Ошибка, получаемая при замене суммы ряда суммой его первых n членов, может быть оценена с помощью формулы

				Rn					2x2n 1					.
									2x2n 1
							2n		1 1			x2
							2n		1 1			x2

Положим	1 x		2 , тогда x								1 и, следовательно,
Положим			2 , тогда x								1 и, следовательно,
	1 x									3
	ln 2 2 1							1			1		1	.
	ln 2 2 1							3			5		7	.
				3				3 3		3 5		3 7
Заданную точность обеспечивают четыре члена, так как для
оценки погрешности выполняется неравенство ( n 4 и															x	1 )
																3
			R			2 9				1		0,0001.
						2 9				1

		4			39 9 8					39 4						151
		4			39 9 8					39 4

elib.pstu.ru

Таким образом, с точностью до 10 4

ln 2	2		1	1	1	0,6931.
		1
	3		27	405	5103

Пример 38. Найти с точностью 10 3 определенный инте-

грал 1 3 x sin xdx.

Решение. Первообразная функции 3 x sin x не выражается

в элементарных функциях, поэтому нельзя применить формулу Ньютона – Лейбница. Вычислим данный интеграл приближенно с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Умножим обе части разложения

n 1

2n 1

sin x x

2n 1 !

3! 5!

n 1

на 3 x , получим

6n 2

x 3

3 x sin x = x3

1 n 1

2n 1 !

n 1

Проинтегрируем полученный ряд в указанных пределах:

1						7						13		19
												13		19
	3			3					3		x	3	3	x 3
		x sin xdx			x3
		x sin xdx		7	x3			13			3!		19	5!
0				7				13			3!		19	5!

		3	1				1					1	.
		7	26			760				42 000			.
		7	26			760				42 000

Полученный ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Поскольку 5-й член по абсолютной величине не превышает

10 3 , то для получения указанной точности берем первые 4 члена ряда:

1 3 x sin xdx 0,3914 .

152

elib.pstu.ru

Пример 39. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения

y x2 y2 1 , удовлетворяющегоначальному условию y 0 1.

Решение. Будем искать решение уравнения в виде ряда Маклорена

y x y 0	y 0	x	y 0	y n 0	,
	1!		2!	n!

предполагая при этом, что этот ряд сходится на всей числовой оси и его можно дифференцировать в любой точке. Первый коэффици-

ент найдем из начального условия y 0 1. Значение y 0 находим, подставив y 0 =1 и x 0 в исходноеуравнение:

y 0 0 y 0 2 1.

Получим y 0 1.

Следующие коэффициенты найдем последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой x 0:

2xy

yy ;

y 2 y2

2xyy 2x2 y 2

yy ;

y 0 2 .

Искомое решение имеет вид

y x 1 x 3!2 x3 .

153

elib.pstu.ru

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 6

Задание 1. Исследовать сходимость ряда по признаку сравнения.

	1					3n
1.1. sin			1.13.
1.1. sin	n	2	1.13.		2	n	n
	n					n
n 1				n 1
1.2. ln3n			1.14.				1

		n																	2
n 1		n								n 1			n 1 n						2
	1 cos n												n 1 n
	1 cos n
1.3.			n	2	1				1.15. tg
n 1			n		1				1.15. tg					2n
				1						n 1				2n
1.4.				1									n3 1
1.4.													n3 1
n 1			n2 n						1.16.
n 1			n2 n						1.16.			n2					2
										n 1		n2
1.5.		n														n
1.5.			n								1				2	n
n 1		2							1.17.		1				2
					1				1.17.				2n 1
					1					n 1			2n 1
1.6.															1
1.6.			n3 n 1
n 1			n3 n 1						1.18.
					1				1.18.		n					n 1
1.7.					1					n 1	n					n 1
														1
		n2 1					3
n 1							2		1.19.
							2		1.19.				n2 1
					n					n 1			n2 1
1.8.		3 2												n2 1
1.8.			n											n2 1
n 1		2 3							1.20.
n 1		2 3							1.20.		n		2	n 1
					1					n 1	n			n 1
1.9.					1								2n 1 n
1.9.		n	2	n 1									2n 1 n
n 1									1.21.
n 1									1.21.			3n 2
					n					n 1		3n 2
1.10.					n									n e				n
1.10.							3											n
n 1 n						1			1.22.
n 1 n						1			1.22.		(n			2
			nln n							n 1	(n				3n 1)n
1.11.			nln n										2n 3
1.11.			7										2n 3
n 1				n		1			1.23.
n 1				n		1			1.23.		n		2	n 1
					n 1					n 1	n			n 1
1.12.					n 1						sin 6n
1.12.								3			sin 6n
									1.24.	n						n
n 1					n 1				1.24.	n 1	2			3
					n 1

154

elib.pstu.ru

	1			1		cos n
	1			1		cos n
1.25.					e
1.25.			n	2	e
n 1	n 3	1	n	2
		1
1.26.
1.26.	n 2	n 3
n 1	n 2	n 3
		1
1.27.
1.27.	2n 1 2n 1
n 1	2n 1 2n 1

				1
1.28.				1
1.28.	n			n 1
n 1	n			n 1
		3n 1			n
		3n 1
1.29.
1.29.		4n 3
n 1		4n 3
		4	n
1.30.		4
1.30.	5	n
n 1	5	n

Задание 2. Исследовать сходимость ряда.

2.1. nn!

n 1 2

	n	n2

2.2.
	2n 1
n 1

22n 1

2.3. en

n 1

2.4. n2

n 1 en

2.5. 1

n 1 n 1 ln n

2.6. 3n n2

n 1 n!

2.7. n sin 1 2n n 1 n

2.8. arctgn

n 1 n2 1

2.9. 3n 1 n 1 n 1 2n 3

2.10. 2n n! n 1 (2n)!

	n	2
2.11.	n
2.11.	n6 1
n 1	n6 1

2.12.

2n 1

n 1

2.13. n

n 1

2.14.

n(ln n)

n 1

n2 1

2.15.

n 1

2.16.

e2n 1

n 1

n3 1

2 n

2.17.

n 1

2n2

2.18.

2n 1

n 1

arcsin

2.19.

n 1

2.20. en2

n 1

3n 1

n 1

2.21.

n 1

155

elib.pstu.ru

2.22. n

2.27.

n 1 !

n 1

7n 1

2.23.

2.28.

2n 2

n 1

n 1 !

2.24.

2.29.

n 3 !

n 1

2.25.

2.30.

n 1

n 3

n 1

2.26.

3 !

n 1

Задание 3. Исследовать на абсолютную и условную сходи-

мость ряд.

( 1)

3.1. ( 1)n

3.9.

n 0

n 1 2

(n 1)

( 1)

n 10

3.2.

3.10. ( 1)n

n 2

n ln n

n 1

( 1)

3.3.

3.11. ( 1)n nn

ln(n 1)

n 1

3.4. ( 1)n

3.12. ( 1)n

ln n

n(2n 1)

n 1

3.5.

( 1)

3.13. ( 1)n

n 2

n ln

n 1

ln n

( 1)

3.6. ( 1)n

3.14.

n 2

ln ln n

n 1

n 3

3.7. ( 1)n

3.15. ( 1)n n2 sin

2n 3

n 1

( 1)

3.8.

3.16.

4 n2 1

n ln n

n 1

n 2

156

elib.pstu.ru

					n
3.17. 1 n				2
3.17. 1 n				n
n 1				n3

3.18. ( 1)n sin
n 1						4
	( 1)		n
3.19.	( 1)
3.19.	n ln n
n 1	n ln n
						2
3.20. ( 1)n			1 n2
n 1			1 n
					n
3.21. ( 1)n					n
3.21. ( 1)n				n	2
n 1				n		1
							1
3.22. ( 1)n sin							1
3.22. ( 1)n sin							n
n 1						3
						1
3.23. ( 1)n						1
3.23. ( 1)n				3 (n 1)2
n 1				3 (n 1)2
		n		2 3n
3.24. ( 1)				3 2				n
n 1				3 2

3.25. ( 1)n n 1

n 1 n3n

	( 1)			n
3.26.	( 1)
3.26.	2				n
n 1	n ln				n
	( 1)					n 1
3.27.	( 1)
3.27.	(2n 1)n
n 1	(2n 1)n
	( 1)					n 1
3.28.	( 1)
3.28.	(2n 7)								n
n 1	(2n 7)
		( 1)					n		n
3.29.		( 1)						3
3.29.	n	2
n 1	n	2n 2
	( 1)		n			(n			3)
3.30.	( 1)					(n			3)
n 1				n4n

Задание 4. Исследовать сходимость (абсолютную и услов-

ную) ряда.

4.6. sin4

4.1. ( 1)n arctgn

n 1

4.2. ( 1)n arcctgn

4.7. cos3

n 1

n 1 (n 1)n

n 1

2 n

4.3. ( 1)

4.8.

cos

n 1

n cos

cos3 n

4.4. ln

4.9.

n 2

n 1

arctg n2 4

4.10. sin

4.5. ( 1)

n 4

n 1

( 1)

cos

n 1

4.11.

n 1

157

elib.pstu.ru

( 1)

sin

4.12.

n 1

(ln n)sin 2n

4.13.

n 1

(ln n)cos3n

4.14.

n 1

4.15.

cos n

n 1

5n 2

4.16.

sin n

n 1

(n 1)cos 2n

4.17.

ln n

n 1

n sin

4.18. ln

n 1

( 1)

cos

4.19.

n 1

4.20. cos n

n 1

ln n 5

( 1)

sin n

4.21.

n 1

n 5

n sin

4.22. ln

n 1

4.23. sin 3n

n 1

ln n 2

4.24. sin n arccos

n 1

sin

2 n

4.25.

n ln n

n 1

( 1)

4.26.

sin2 (n 1)

n 1

nln

4.27. sin 3n

n 1

2n sin 3n

4.28. cos n

n 1

n cos n

2n 1cos 2n

4.29.

n 1

4.30. ln n cos 4n

n 1

Задание 5. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.

	x 1cos nx
5.1.							,	[0; 2]
5.1.	3			5	1		,	[0; 2]
n 0				n	1
n 0
	n						3
5.2.	x		,			3 ;	3
5.2.		n	,			3 ;	2
n 1	n2					2	2
	n
5.3.	x	,		2; 2
5.3.	n	,		2; 2
n 1	n

	n	x			n			3		3
5.4.	n	x						3		3
						,			;
	n 1					,		2	;	2
n 1	n 1	2						2		2
5.5. xn!,		1 ;					1

n 1				2			2
5.6. x 3n			n	,		1;		6

n 1	n5

158

elib.pstu.ru

5.7.

(x 3)

( 1)n

[2; 4]

(2n 1)

n 1

n 0

( x)cos

nx ,

[0; ]

5.8.

n 0

4 n7 1

(x 1)n

1; 3

5.9.

n 1

n!(x 3)n

5; 1

5.10.

n 1

5.11.

n 1

(x 2)2n

1; 3

( 1)

(n 1)

ln(n 1)

n 1

3; 3

5.12.

n 1

5.13.

n 1

2n 1

;

(4n 3)

n 1

5.14.

2; 2

ln n

n 2

x 5 2n 1

7; 3

5.15.

n 1

(x n2)

3; 1

5.16.

n 1

5.17.

( 1)n

;

n 1

(n 1)4 x

;

5.18.

2n 1

n 0

5.19.

; 5

( 1)n 1 (x 2)

, 3

n 1

(x 5)n

6; 4

5.20.

n 1

(x 2)n

1; 3

5.21.

(2n 1)2n

n 1

(x 1)sin

2 nx

2; 0

5.22.

n 1

1;1

5.23.

n(n 2)

n 1

5.24.

6; 4

n 1 n2 1

n 0 3

5.25.

[ 2; 2]

n 0

1; 3

5.26. sin

(x 2)

n 0

(x 1)

5.27.

, [0; 2]

n 0

2 (n 3)

1)n

1; 0

5.28.

n 1

5.29.

(x 2)n

3; 1

( 1)

n 0

2; 4

5.30.

n 1

n n 1

159

elib.pstu.ru

Задание 6. Доказать равномерную на множестве А сходимость ряда.

			( 1)	n 1				( 1)	n	x
					,						,
6.1.		3	n x x			6.10.		(1 nx)(1 (n 1)x)
	n 1						n 1
	A [0; )						A [ ;12], 0

		x cos nx
		x cos nx					,
		4 n4 x4					,
6.2.	n 1	4 n4 x4
6.2.				), 0
	A [ ;			), 0
				2	,									2
	sin nx				,

6.3.	n 1	n x2
	A [ ; 2 ],											(0; )
	cos nx								,

6.4.	n 1	n n2 x2
6.4.			), 0
	A [ ;		), 0
			2										2
	x cos nx ,

6.5.	n 1	n2 x2 n
6.5.			), 0
	A [ ;		), 0
			2			2nx,							2
	sin x cos					2nx,

6.6.	n 1	ln(n x )
	x R
				n
		( 1)						,
6.7.		2						,
6.7.	n 1	nx		n
	A [0;1]
6.8.		( 1)	n	ln n			,				A [1;10]
6.8.		( 1)		ln n			,				A [1;10]
	n 1	n x
				( 1)n
6.9.																,
		n x ln(n								2		x		2	)	,
	n 1	n x ln(n										x			)

A [0;10]

160

				xsin nxn x ,

6.11.
	n 1			n 1 e
	n 1			n 1 e
	A [ 9; ] [ ; 9],																0
						x		n
	( 1)n 1					x					,
6.12.	( 1)n 1					n					,
6.12.	n 1					n
	A [0;1]															),
	( 1)n 1 arctg(nx2															),

6.13.	n 1								n x
	x R
	( 1)n 1 1x ,

6.14.	n 1					n
	A [ ;10],								0
										e		nx
	( 1)n 1									e					,
6.15.	( 1)n 1														,
6.15.	n 1								n x2
	A [0;12]
				( 1)	n 1
				( 1)									,
6.16.				n x x									,
6.16.	n 1			n x x
	A [0; ]

			xsin nx							,
										,
6.17.	n 1 4			n4 x4
6.17.	A [ ; )
	A [ ; )
				2

		cos nx					,
6.18.							,
6.18.	n 1			n x2
	A [ ; 2 ],													0

elib.pstu.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.81 Mб43Математические модели движения транспортных средств..pdf
#
15.11.202214.26 Mб48Математические основы криптологии и криптографические методы и средс..pdf
#
15.11.2022932.24 Кб18Математические основы теории принятия решений..pdf
#
15.11.20221.51 Mб10Математические основы теории систем. Методы оптимизации.pdf
#
15.11.20224.41 Mб7Математические основы финансового обслуживания..pdf
#
15.11.20221.75 Mб15Математический анализ в задачах и упражнениях..pdf
#
15.11.202219.7 Mб18Математическое моделирование в естественных науках.-1.pdf
#
15.11.202224.26 Mб25Математическое моделирование в естественных науках..pdf
#
15.11.202211.81 Mб16Математическое моделирование в механике композиционных материалов и..pdf
#
15.11.20227.54 Mб24Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке..pdf
#
15.11.20222.39 Mб19Математическое моделирование и проектирование систем автоматики..pdf