Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ в задачах и упражнениях

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

но, что из соотношения f x g x при			x a следует равен-
ство	lim h x f x lim h x g x или оба эти предела не суще-
	x a	x a

ствуют. Таким образом, при вычислении предела произведения f x g x один из сомножителей f x или g x (или оба) в

этом произведении можно заменить эквивалентной функцией. Пользуясь этим свойством, решение предыдущего примера записываем короче:

lim	ex e x	= lim	e2 x 1	= lim	2x	2 .
	sin x		ex sin x		1 x
x 0		x 0		x 0

Здесь мы применили известные эквивалентности при x 0 : e2 x 1 2x, sin x x, ex 1.

Пример 19. Найти lim	2 2cos 2x sin2 2x		;	0
	x	4		0		.
x 0
Решение. В силу эквивалентности 1 cos x					x2		при x 0
				2
имеем

lim	2 2cos 2x sin2 2x		lim		1 2cos 2x cos2 2x
	x4					x4
x 0			x 0
	lim	1 cos 2x 2		lim		4x4 4.
	x 0	x4			x 0	x4

Внимание! Одна из самых распространенных ошибок при вычислении предела некоторого выражения заключается в замене функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы). Если, например, в последнем примере заменить функцию

y 2 2cos 2x эквивалентной при x 0 функцией 4x2 и функцию y sin2 2x эквивалентной функцией 4x2 , то получим

lim	4x2	4x2	0	, что не совпадает с ранее полученным верным
		x4
x 0

результатом, т.е. является неверным решением.

elib.pstu.ru

В заключение скажем несколько слов о поиске предельных значений степенно-показательных выражений. При нахождении

пределов вида limu x v x C можно воспользоваться следую-
	x a
щим общим подходом:
1) если существуют конечные пределы limu x A, A 0,
		x a
lim v x B,	то C AB ;
x a
2) если	limu x A 1,	lim v x , то вопрос о нахож-
	x a	x a

дении предела решается непосредственно исходя из свойств по-

казательной функции (в частности, если

A > 1, а lim v

x ,

то limu x v x ; если A 1,

lim v x

, то limu x v x 0

x a

и т.д.);

limu x 1

lim v x

если

то,

полагая

x a

u x 1 x , где x 0 при x a, получим

x v x

lim

u x

1 v x

C lim

x x

ex a

;

x a

: limu x 0 , lim v x 0 , u x 0;

x a

0 :

limu x

, lim v

x 0.

x a

Неопределенности типа 4 и 5 приводятся к неопределен-

ности

типа

следующим образом.

Положим

u x ev x ,

v x ln u x .

Очевидно, limu x 1

и lim v x

. Кро-

x a

ме того,

u x v x ev x ln u x

eln u x v x u x v x .

Пример 20. Найти lim cos x

; 1

sin2 x

x 0

elib.pstu.ru

Решение. Имеем

lim

u x 1

v x lim cos x 1

sin2

x 0

lim

2sin

2 x

x 0

4sin

cos

поэтому

lim cos x

e 2 .

sin2 x

elib.pstu.ru

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 1

	Задание 1. Доказать,
1.1.	a			3n 2	,	a 3
1.1.	a	n		2n 1	,	a 3
		n				2
						2
1.2.	a	n	4n 1		,	a 2
		n		2n 1
				2n 1
1.3.	a	n	7n 4		,	a 7
		n		2n 1		2
				2n 1		2
1.4.	a	n	2n 5		,	a 2
		n		3n 1		3
				3n 1		3

1.5.an 7n 1, a 7 n 1

1.6.an 4n2 1 , a 4 3n2 2 3

1.7.

9 n2

2n2

1.8.

4n 3 ,

a 2

2n 1

1.9.

1 2n2

2 4n2

1.10. a

a 5

n 1

1.11. a

n 1

1 2n

1.12. a

2n 1

a 2

3n 5

1.13. a

1 2n2

, a 2

n2 3

что lim an a (указать N ).

1.14. an 3n2 2 , a 3 2 n

1.15.	a		n		,			a 1
1.15.	a				,			a 1
	n		3n 1					3
			3n 1					3
1.16.	a		3n3		, a 3
1.16.	a		n3	1	, a 3
	n		n3	1
1.17.	a	4 2n ,						a 2
	n		1 3n					3
			1 3n					3
1.18.	a	5n 15 ,						a 5
	n		6 n
			6 n
1.19.	a		3 n2				,	a	1
1.19.	a		1 2n2				,	a	2
	n		1 2n2						2
1.20.	a		2n 1			,		a 2
1.20.	a					,		a 2
	n		2 3n					3
			2 3n					3
1.21.	a	3n 1,						a 3
	n		5n 1					5
			5n 1					5
1.22.	a	4n 3 ,						a 2
	n		2n 1
			2n 1
1.23.	a		1 2n2				,	a	1
1.23.	a		2 4n2				,	a	2
	n		2 4n2						2
1.24.	a		5n 1				,	a 1
1.24.	a						,	a 1
	n		10n 3					2
			10n 3					2
1.25.	a	2 2n ,						a 1
	n		3 4n					2
			3 4n					2
1.26.	a	23 4n ,						a 4
	n		2 n
			2 n

elib.pstu.ru

1.27. an

1 3n ,

a 3

1.29. a

3n2 2

a 3

6 n

4n2 1

1.28. an

2n 3

a 2

1.30. a

2 3n2

a 3

n 5

4 5n2

Задание 2. Вычислить пределы числовых последователь-

ностей.

2.1. lim

3 n 2

2.11. lim

2 n 1 3 n 2 3

3 n 2 3 n 2

n2 2n 3

2.2. lim

3 n

2 n

2.12. lim

n 1 3 n 2 3

1 n

n 4 3 n 5 3

n 3 3 n 4 3

2.3. lim

3 n 4 2 n 4

2.13. lim

1 n 3

n 3 4 n 4 4

2.4. lim

1 n 4 1 n 4

2.14. lim

n 1 4 n 1 4

1 n 3

n 1 3 n 1 3

2.5. lim

6 n 2

2.15. lim

8n3 2n

n 1 4 n 1 4

6 n 2

1 n 2

n 6 3 n 1 3

2.6. lim

n 1

2.16. lim

2n 3 2

n 4 2

n 1

2n 3 3 n 5 3

1 2n 3 8n5

2.7. lim

2.17. lim

3n 1 3

2n 3 3

1 2n 2

4n2

n 10 2 3n 1 2

2.8. lim

2.18. lim

n 6 3

n 1 3

n 3

2n 1 3 3n 2 3

3 n

2.9. lim

2.19. lim 2n 3 3

n 7 3

n 1

n 7 3

n 2 3

2.10.

2.20. lim

lim n 1 2 n 1 2 n 2 3

3n 2 2

4n 1 2

4 n 3

elib.pstu.ru

2.21.

lim

2n 1 3 2n 3 3

2.26.

lim

n 1 3

2n 1 2 2n 3 2

n 1 2 n 1 2

2.22.

lim

n 1 4

2.27.

lim

n 2 3

n 1 3

n4 2n2 1

2.23.

lim

n 2 4

2.28.

lim

n 1 3

n 5 2

n3 3n

n 1

2.29.

lim

n 1 3

2.24.

n3 1

lim

n 1 4

2.30.

lim

n 2

n 1 3

2.25.

lim

n 3 2

n 1 2

Задание 3. Вычислить пределы числовых последователь-

ностей.


3.1. lim			n 3 5n2 4 9n8 1
		n		n	7 n n2
3.2. lim			n 1		n2 1
	3		3n2 3 4 n5 1
3.3. lim			n3 1		n 1
	3		n3 1		n 1

3.4. lim			3 n2 1 7n3
		4	n12 n 1 n
3.5. lim			3n 1 3		125n3 n
				5 n	n

3.6. lim		n5 n 3 27n6 n2
		n 4 n			9 n2

3.7.

lim

n 2

n2 2

4 4n4 1 3 n4 1

3.8.

lim

n 2

4 n4 2

n 2

3.9.

lim

6n3

4n6 3 n

3.10. lim

5n 2 3 8n3 1

4 n 7 n

3.11.

lim

n 4 3n 1 81n4 n2 1

n 3

5 n n2

3.12. lim

n 3

n2 3

3 n5 4 4 n4 1

elib.pstu.ru


3.13. lim	n5 3	n 3
	5 n5 3	n 3

3.14. lim	3 n 9n2
	3n 4 9n8	1
3.15. lim	4n 1 3 27n3 4
	4 n 3 n5 n

3.16. lim	n 3 7n 4 81n5 1
	n 4 n	n2 5
3.17. lim	3 n3 7 3 n2 4
	4 n5 5	n

3.18. lim	n6 4	n 4
	6 n6 6	n 6

3.19. lim	4n2 4 n3
	3 n6 n3 1 5n
3.20. lim	n 3 3	8n3 3
	4 n 4 5 n5 5

3.21. lim	n 4 11n	25n4 81
	n 7 n	n2 n 1

	3			n2		n2	5
3.22. lim
				5 n7		n	1

3.23.	lim			n7	5		n 5
				n7 5			n 5
	7
3.24. lim			3 n2 2 5n2
		n			n4 n 1
				n 2 3			n3 2

3.25.lim 7 n 2 5 n5 2

3.26.lim n 71n 3 64n6 9

n 3 n 11 n2


3.27.	lim		n 6			n2 5
		3 n3 3				4 n3 1

3.28.	lim		n8	6		n 6
		8 n8 6				n 6

3.29.	lim	n2		n3	1
		3 n6 2			n

3.30. lim			n 1 3			n3 1
		4	n 1		5	n5 1

Задание 4. Вычислить пределы числовых последователь-

ностей.			1
4.1. lim n		n2 1 n2
4.2. lim n 3 n3 5 n			n
4.3. lim	n5	8 n n n2 5
		n

elib.pstu.ru

4.4. lim n 3				4 n3
4.5. lim n		n n 2 n2							3
		n2 3n 2 n
4.6. lim		n2 3n 2 n								n		9
4.7.	lim	n		1 n			4			n		9
			2			4					4

4.8.	lim	n n 2						n2 2n 3

4.9.	lim	n 2 n 1							n 1 n 3
		n			1 n			2			( n					2
4.10. lim		n			1 n			2			( n			1 n		2
				2			2						2		2

4.11.lim n2 n n4 1 n5 8

4.12.lim n 3 5 8n3 2n

4.13.lim n2 3 5 n3 3 3 n3

4.14.	lim	3	n 2	2	3	n 3	2
4.14.	lim		n 2			n 3

4.15. lim		n 1 3 n n 1 n 3
4.15. lim		n		n
				n
4.16. lim			n 2	n 3
4.17. lim		n2 3n 2 n2			3
4.18. lim(		n(n 5) n)
4.19. lim		n3 8 n3		2	n3 1
4.20. lim	n		n n 1

18

elib.pstu.ru

4.21. lim

n n5

n4 1 n2 5

1 n2

1 n n

n4 1

4.22. lim

1 n2

n4 2

4.23. lim

4.24. lim n

4.25. lim n

n4 2

4.26. lim

n n 1 n 2

4.27. lim

3 n 3 n2 3 n n 1

4.28. lim

n 2

n 3

n 4

1 n2

1 n6 1

4.29. lim

n3 2

4.30. lim

n n 1 n 2

n3 3

Задание 5. Вычислить пределы числовых последователь-

ностей.

n 1

5.1. lim

5.2.lim 2n 1 ! 2n 2 !

2n 3 !

5.3.lim 1 3 5 7 2n 1 2n 1

n 1 2

elib.pstu.ru

5.4. lim	1 2 3 n
		9n4 1
5.5. lim	2n 1 3n 1
	2n 3n
5.6. lim	1 3 5 2n 1
5.6. lim		1 2 3 n
		1 2 3 n
5.7. lim	n 4 ! n 2 !
5.7. lim		n 3 !
5.8. lim	1 4 7 3n 2
5.8. lim		5n4 n 1
		5n4 n 1
5.9. lim	3n 1 ! 3n 1 !
5.9. lim		3n ! n 1
	1 3 5 2n 1
5.10. lim			n
5.10. lim		n 3	n
		n 3

5.11. lim 2n 5n 1 2n 1 5n 2

1 1 12 1n

5.12. lim 3 3 3 1 15 512 51n

5.13. lim	3n 2n
	3	n 1	2		n

5.14. lim	1 3			4n 3 4n 1
				n2 1 n2 n 1

5.15. lim	1	2		2n 1 2n
						n

5.16. lim		3 n3 5 3n4 2
	1	3		5 2n 1

elib.pstu.ru

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.81 Mб43Математические модели движения транспортных средств..pdf
#
15.11.202214.26 Mб48Математические основы криптологии и криптографические методы и средс..pdf
#
15.11.2022932.24 Кб18Математические основы теории принятия решений..pdf
#
15.11.20221.51 Mб10Математические основы теории систем. Методы оптимизации.pdf
#
15.11.20224.41 Mб7Математические основы финансового обслуживания..pdf
#
15.11.20221.75 Mб15Математический анализ в задачах и упражнениях..pdf
#
15.11.202219.7 Mб18Математическое моделирование в естественных науках.-1.pdf
#
15.11.202224.26 Mб25Математическое моделирование в естественных науках..pdf
#
15.11.202211.81 Mб16Математическое моделирование в механике композиционных материалов и..pdf
#
15.11.20227.54 Mб24Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке..pdf
#
15.11.20222.39 Mб19Математическое моделирование и проектирование систем автоматики..pdf