Математический анализ в задачах и упражнениях

Пример 11. Вычислить I

3

1 4

x

dx.

x

Решение. Данный интеграл является интегралом от диффе-

ренциального бинома, т.е. имеет

вид

xm a bxn p dx; m, n,

функции

только в

следующих трех случаях: 1) p – целое;

2)

m 1

целое; 3)

m 1

p – целое. В первом случае делается

n

n

Запишем интеграл в виде x 12 1 x

1

14 3 dx.

Здесь m 1

; n 1 ; р

1 ,

m 1

1 / 2

2

–

целое. Приме-

1 / 4

2

4

3

n

ним подстановку t x4 .

Тогда

3 1 4

x

dx 4 3

1 ttdt.

Обозначая

3 1 t

z, полу-

x

чим

I 12 z z3 1 z2dz 12z7

3z4 C

7

127 3 1 4 x 7 33 1 4 x 4 C.

dx

2

Пример 12. Вычислить

x 2

1 x3

3 dx.

2 3

3

2

x

1 x

Решение. В

этом

примере

m

=

–2, n = 3,

p

=

2

,

m 1

p 1

2

1

3

1

– целое. Поэтому полагаем

1 t3 ,

n

3

x3

3

1

t3

3

1

t2dt

1

, x t

1

3 , dx

.

x3

t3 1

3

t3

1

4

3

t3

1

2 3

t3

1 2 t2dt

Следовательно,

I

dt

3

t

3

4

1

t C

3

1 x3

C.

x

cos5 x

Пример 13. Вычислить I

sin

3

x

dx.

cos4 xcos xdx

Решение. Перепишем интеграл в виде

. Пола-

sin

3

x

гаем sin x t,

cos xdx dt, что дает

2

2

I

1 t

dt

t

3

dt

2

dt

tdt

1

t

t

2

C

t3

t

2ln

2

2t2

1

2ln

sin x

sin2

x

C.

2sin2 x

2

Пример 14. Вычислить

I

x2dx

.

2

x

16

Решение. Применимподстановку x 4cht, dx 4shtdt. Тогда

I

16ch2t4shtdt

16 ch

2

tdt 8 ch2t 1 dt 4sh2t 8t C.

16

ch2t 1

Возвратимся к исходной переменной. Для этого заметим,

что

t àrcch

x

ln

x

x2

1

,

sh2t 2shtcht 1 x

x2 16.

4

16

4

8

I

1 x x2 16 8ln

x

x2 16

C.

2

x2

x 2

Пример 15. Вычислить

dx.

2

6x

5

x

Решение. Для вычисления интеграла применим формулу

Pn x

dx

dx Qn 1

x y

y

,

y

где y

ax2 bx c;

Pn x

– многочлен степени n;

Qn 1 x

– неизвестный многочлен степени n 1 ;

R.

x2

x 2

dx Ax B

x2 6x 5

dx

.

2

x

2

6x 5

x

6x 5

Дифференцируя это тождество, получим

x2 x 2

A

x

2

6x 5

x2 6x 5

Ax B

2x 6

.

2 x2 6x 5

x2 6x 5

Откуда

x2 x 2 A x2

6x 5 Ax B x 3 ,

сле-

довательно,

x2

2A 1,

1

1

2

1

x

3A 7B 1,

A

2 ; B

4

;

7 .

x0

5A 3B 2,

Таким образом, окончательно имеем

x2 x 2

dx

1

x

1

x

2

6x 5

2

dx

x2

2

14

7

6x

5

x 3 2 4

73

1

x

1

x

2

6x 5

2

x 3

x

2

6x

C.

ln

5

2

14

7

Пример 16. Вычислить

4x2 9x 1

dx.

2

x

2x 5

Решение. Воспользуемсяформулойизпредыдущего примера:

4x3 9x 1

2

2

dx

dx Ax

Bx

C

x

2x 5

.

x2 2x 5

x2 2x 5

Дифференцируя последнее равенство, получим

4x3 9x 1

2Ax B

x2 2x 5

x2 2x 5

Ax

2

Bx C

x 1

1

.

x2 2x 5

x2 2x 5

x3

3A 4,

x2

5A 2B 0,

x1

10 A 3B C 9,

x0

5B C 1.

Решая эту систему,

находим A

4

;

B

10

;

C

17

;

3

3

3

4x3 9x 1

1

4x

2

2

dx

3

10x 17

x

2x 5

x2 2x 5

12

dx

1

4x

2

10x 17

x

2

2x 5

3

x 1 2 4

x 1 x2 2x 5

C.

12 ln

Пример 17. Вычислить

dx

.

x 3 2 x 1 2

Решение. Воспользуемся методом Остроградского:

dx

Ax B

C

dx

D

dx

.

x 3 2 x 1 2

x 3 x 1

x 3

x 1

Дифференцируя обе части формулы, получим

1

A x2 2x 3 Ax B 2x 2

x 3 2 x 1 2

x 3 2 x 1 2

C

D

1

A x

2

2x 3 Ax B 2x 2

x 3

x 1

x 3

2

x 1

2

C x 3 x 1 2 B x 1 x 3 2 .

Приравнивая числители дробей, получим систему

x3

C D 0,

x2

A C 7D 0,

x1

2B 5C 15D 0,

x0

3A 2B 3C 9D 1.

Решая

эту

систему,

найдем

коэффициенты

A

6

;

32

10

1

1

B

; C

; D

.

32

32

32

Окончательно получим

dx

1

6x 10

1

x 3