Математический анализ в задачах и упражнениях

лежащего на краю стола, будет наилучшей (освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника:

E m1 cos , m1 const)? r2

2.13.Через точку А (2; 1) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы сумма длин отрезков, отсекаемых ею на осях координат, была наименьшей.

2.14.Проволокой длиной 20 м требуется огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора. Какой радиус круга следует взять, чтобы площадь клумбы была наибольшей?

2.15.Требуется поставить палатку данного объема V, имеющую форму прямого кругового конуса. Найти отношение высоты конуса к радиусу его основания, при котором на палатку уйдет наименьшее количество материала.

2.16.Энергия, затрачиваемая в единицу времени на движение парохода, пропорциональна кубу скорости парохода, развиваемой им в стоячей воде. Найти наиболее экономичную скорость движения парохода, если требуется пройти определенное расстояние против течения, скорость которого составляет 6 км/ч.

2.17.Требуется из жести изготовить ведро цилиндрической формы без крышки данного объема V. Найти высоту цилиндра и радиус его основания, при которых на ведро уйдет наименьшее количество материала.

2.18.Дождевая капля, начальная масса которой равна m0 ,

падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен k). Найти, через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей. При решении задачи сопротивлением воздуха пренебречь.

2.19.Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в эллипс с осями 2a и 2b.

2.20.Из круглого бревна диаметром D требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина

ивысота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее со-

61

elib.pstu.ru

противление на изгиб (сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины ее поперечного сечения на

квадрат его стороны: Q kxy2 , k const )?

2.21. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна 300 см. При каких размерах сторон прямоугольникаокно будетпропускатьнаибольшееколичество света?

вести касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой касательной и осями координат, была наименьшей.

2.23.Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг своей высоты, был наибольшим?

2.24.Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?

2.25.Из круга вырезан сектор с центральным углом . Из

сектора свернута коническая поверхность. При каком значении угла объем полученного конуса будет наибольшим?

2.26.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

2.27.Кровельщик желает сделать открытый желоб наибольшей вместимости, у которого дно и бока были бы по 10 см

ибока одинаково наклонены к дну. Какова должна быть ширина желоба наверху?

2.28.Сосуд с вертикальной стенкой высоты h стоит на го-

ризонтальной плоскости. Определить положение отверстия, при котором дальность струи будет наибольшая, если скорость вы-

текающей жидкости по закону Торричелли равна 2gx, где x – глубина расположения отверстия; g – ускорение свободного падения.

62

elib.pstu.ru

2.29. На параболе y2 2x найти точку, ближайшую

кточке (3; 0).

2.30.Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать V литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести?

Задание 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

3.1.y sin 2x x , ;

2 2

3.2.y ex 2x 1 , 1;1

3.3.y xx 11 , 0; 4

3.4.y 2tgx tg2 x , 0;

2

3.5.y arctg 11 xx , 0;1

3.6.y 100 x2 , 6; 8

3.7.y arccos x , во всей области существования

3.8.y 14 x4 23 x3 32 x2 2 , 2; 4

3.10.y x4 8x2 3 , 2; 2

3.11.y tgx x , ;

4 4

3.12.y xe x , 0;

3.13.y (1 x2 )(1 2x2 ) , 1;1

3.14.y 2x3 3x2 12x 1 , 2; 5

2

63

elib.pstu.ru

3.15. y x2 ln x , 1; e

3.18.y x 2ln x , 1; e

3.19.y sin x sin 2x , 0; 3

2

3.21.y 4 x2 , 2; 2

3.22.y x3 3x 1, 0; 3

3.23.y x5 53 x3 2 , 0; 2

3.24.y x3 253 x 2 , 1; 2

3.26.y x5 53 x2 2 , 2; 0

3.27.y 3x4 16x3 2 , 0; 4

3.28.y 3 (x2 2x)2 , 0; 3

3.29.y 3x4 16x3 2 , 3;1

3.30.y 44 xx22 , 1; 3

64

elib.pstu.ru

3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Решение. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов, каждый из которых вычислим, используя свойство инвари-

Решение. Воспользуемсяформулойинтегрированияпочастям:

Решение. Используя метод интегрирования по частям, получим

65

elib.pstu.ru

66

elib.pstu.ru

Решение. Воспользуемся методом Остроградского. По это-

P x

му методу интеграл от правильной дроби Q x представляется в виде

и комплексные) корни многочлена Q x . Неизвестные много-

члены находятся дифференцированием указанного интегрального равенства, а именно из уравнения

67

elib.pstu.ru

Внашемпримере K x x 2 x 3 , L x x 2 2 x 3 ,

Отсюда следует, что

266x 125 2Ax B x2 x 6 Ax2 Bx C 3x 4

D x 2 2 x 3 2 E x 2 3 x 3 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях этого тождества, приходим к системе

68

elib.pstu.ru

Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, приходим к равенству

2 At t2 1 2t2 At B Ct D t3 t E t4 2t2 1 .

Откуда

A D 0; B 1; C 2; E 2.

69

elib.pstu.ru

Решение. Рационализируя подынтегральную функцию с помощью подстановки 4 x t, dx 4t3dt, находим

elib.pstu.ru