Математический анализ в задачах и упражнениях

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

В решении этого примера

– целая часть числа

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Пример 24. Найти область сходимости ряда n2 xn .

n 1 2n

Решение. Ряд имеет вид cn xn , т.е. является степенным

n 1

рядом. Здесь cn n2 . Следовательно, радиус сходимости может

быть определен по формуле

R lim

lim

2n 1

cn 1

2n n 1 2

или по формуле

R lim

lim n

2 .

n n

Интервал сходимости

характеризуется неравенством

2 x 2 . Исследуем сходимость ряда в граничных точках это-

го интервала. При x 2		степенной ряд принимает вид
	n2	2 n			n
				1 n2 .
		2	n
n 1				n 1

Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому признаку сходимости. Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости: 2 x 2 .

Пример 25. Найти область сходимости степенного ряда

5n2 xn2 .

n 1

Решение. В развернутом виде ряд записывается так: 5x 54 x4 59 x9 ... 5n2 xn2 ...,

и ясно, что бесконечное множество его коэффициентов равно нулю:

c0 c2 c3 c5 c6 c7 c8 c10 c11 ... cm ... 0 (m n2 ) .

Следовательно, применение формул из предыдущего примера недопустимо.

141

elib.pstu.ru

Таким образом для нахождения области сходимости применим непосредственно признак Коши (возможно применение и признака Даламбера):

1, или

, если

l lim n

lim

1, или

1, если

1, или

0, если

Итак, исследуемый ряд сходится в интервале 15 x 15 .

В граничных точках этого интервала ряд расходится, так как

при x 1 он не удовлетворяет необходимому признаку схо-

димости ряда. Значит, область сходимости – интервал

;

В заключение заметим, что более эффективным решением

этого примера является применение формулы

1 .

lim n

lim n 5n

Пример 26. Для ряда

cos nx

построить мажорирующий

n 1

ряд и установить равномерную сходимость на любом отрезке.

Решение. Для всех значений

x справедливо

неравенство

cos nx

. Это значит, что ряд с общим членом

мажори-

рует данный функциональный ряд. Поскольку ряд

– схо-

n 1

дящийся, то исходный функциональный ряд, по принципу Вейерштрасса, сходится на любом отрезке.

142

elib.pstu.ru

Пример 27. Исследовать на равномерную сходимость ряд

1		n 1	.

n 1	n	x

Решение. Данный ряд сходится в промежутке 0 x , как знакочередующийся по признаку Лейбница. В этом промежутке он сходится лишь условно, поэтому признак Вейерштрасса неприменим. Однако, пользуясь известной оценкой остатка знакочередую-

щегосяряда

fn 1 x

, легкополучить неравенство

Rn x

n 1

Каково бы ни было

0, найдется номер

такой,

чтодля всех n N будет справедливо неравенство

n 1

Тогда тем более при n N

и всех x промежутка

0 x

выполняется неравенство

Rn x

Это и свидетельствует

о равномерной сходимости данного ряда в упомянутом промежутке.

(наибольшее целое число, не превосходящее

Пример

28.

Доказать

равномерную

сходимость

ряда

на отрезке [0; 1].

n 1

Решение.

Будем рассматривать данный ряд как ряд вида

an x n x , где an x 1

, n x

n 1

143

elib.pstu.ru


Воспользуемся признаком Абеля. Ряд				n x
				n 1
	1	n

			сходится равномерно в промежутке	0 x (это
	n	x	сходится равномерно в промежутке	0 x (это
n 1	n	x

доказано в примере 27). Следовательно, он сходится равномерно и на отрезке [0; 1].

Из курса математического анализа известно, что последова-

					x	n
тельность					x		для любого x > 0 монотонно возрастает
	1
	1
					n

при n и				имеет			пределом число ex . Поэтому	функции
			x n
an x 1					ограничены на отрезке [0; 1] числом			e и при
an x 1					ограничены на отрезке [0; 1] числом			e и при
		n

каждом x 0;1 образуют монотонную (возрастающую) после-

довательность. Отсюда следует, что по признаку Абеля данный ряд сходится на отрезке [0; 1] равномерно.

	Пример		29. Доказать равномерную сходимость	ряда
		на	любом отрезке, не содержащем точек	вида
sin nx
n 1	n
x 2 k,		k Z .

Решение. Исследуем ряд на равномерную сходимость с помощью признака Дирихле. Будем рассматривать его как ряд ви-

да an n x , где an 1		,	n x sin nx.

n 1	n
Последовательность			1	монотонно сходится к нулю, по-
Последовательность				монотонно сходится к нулю, по-
		n

этому первое условие признака Дирихле выполнено. Проверим выполнимость второго условия. Известно, что для частичных


сумм	n	ряда	sin nx	справедливо неравенство
			n 1
144

elib.pstu.ru

x 2 k. В точках x 2 k sin

0 ,

а на любом

sin

отрезке, не содержащем этих точек, функция

непрерывна

sin

и, следовательно, ограничена. Поэтому существует число M > 0

такое, что

M на каждом из этих отрезков.

Вывод: поскольку последовательность 1

монотонно схо-

дится к нулю, а частичные суммы n ряда sin nx ограничены

n 1

на любом отрезке, не содержащем точек x 2 k, одним и тем

же числом, то данный функциональный ряд по признаку Дирихле сходится равномерно на любом отрезке.

6.4. Степенные ряды

Пример 30. Разложить функцию f x 2x в ряд Тейлора

по степеням x .

Решение. Применим прием непосредственного разложения: 1. Составим для данной функции ряд Тейлора. С этой целью найдем сначала числовые значения производных всех порядков

функции f x 2x в точке x 0 :

f x 2x ,	f 0 1,
f x 2x ln 2,	f 0 ln 2,
f x 2x ln2 2,	f 0 ln2 2,
..........................	.......................
f n x 2x lnn 2,	f n 0 lnn 2,
..........................	........................
	145

elib.pstu.ru

Подставляя теперь найденные значения производных в формулу ряда Тейлора при a 0, получим ряд Тейлора для

функции f x 2x по степеням x :

1 ln 2 x ln2 2 x2 lnn 2 xn .
1!		2!			n!
2. Найдемобластьсходимостиполученногоряда. Поскольку
R lim	c	n	lim		n 1 !lnn 2		,

	c				n!lnn 1	2
n		1		n
	n
то ряд сходится для всех значений x.
3. Выясним, для каких значений x						найденное разложение

сходится к функции 2x . С этой целью заметим, что производные всех порядков данной функции на любом отрезке R x R

ввиду справедливости неравенства lnn 2 1 ограничены одним и тем же числом 2R :

f n x 2x lnn 2 2R .

Отсюда следует, что найденное разложение сходится к функции 2x при всех значениях x :

2x lnn 2xn .

n 0 n!

Пример 31. Пользуясь разложениями элементарных функ-

ций, разложить в ряд Маклорена функцию

f x sin

Решение. Полагаем

и используем табличное разло-

жение в ряд Маклорена функции g y sin y. Тогда

sin

sin y y

1 n 1 y2n 1

2n 1 !

146

elib.pstu.ru

n 1

4n 2

3! 33

5! 35

7! 37

2n 1 ! 32n 1

Поскольку разложение в ряд функции sin y имеет место для всех y, то и разложение в ряд данной функции имеет место для всех x.

Пример 32. Разложить в ряд по степеням x 2 функцию

f x					1		и указать область сходимости полученного раз-
f x			4 3x				и указать область сходимости полученного раз-
			4 3x								f x .
ложения к функции											f x .
Решение. Поскольку
					1							1			1			1			1		1
																					2			,
				4 3x				2 3 x 2							2 1		3 x 2				2		1 y	,
															2 1			2
																		2
где y					3 x 2			, то воспользуемся										табличным					разложением
где y					2			, то воспользуемся										табличным					разложением
					2				1
функции g y									1			:
функции g y								1 y				:
								1 y
					1			1			1			1		2			3			n
								2						2 1 y y				y		y
	4 3x							2		1 y				2 1 y y				y		y
		1				3 x 2							3 x 2 2							3 x 2 n

		2			1			2						2							2
		2						2						2							2

1 3 n x 2 n . 2 n 0 2

Полученное разложение верно для всех значений y, удовлетворяющих неравенству 1 y 1. Следовательно, для нахождения области сходимости найденного ряда к данной функции

нужно решить неравенство	1	3 x 2	1 . Решение приводит
нужно решить неравенство	1	2	1 . Решение приводит
		2
			147

elib.pstu.ru

к следующему результату: 83 x 43 . Этими неравенствами и характеризуется область сходимости ряда к данной функции.

Пример 33. Найти сумму ряда	x	x2	x3
		2	3

xn S x . n

Решение. Интервал сходимости данного ряда находится стандартным способом и имеет вид (–1, 1). На основании теоремы о дифференцировании степенных рядов его можно дифференцировать в каждой точке интервала (–1, 1). Выполним дифференцирование:

1 x x2 x3 xn 1 S x .

Суммируя полученную бесконечно убывающую при

прогрессию, находим

x 1 x , откуда

S x

ln 1 x

C .

Постоянную C

можно вычислить,

зная, что

при

x 0

S 0 0 и, следовательно,

0 ln 1 0 C , откуда

C 0. Та-

ким образом, сумма данного ряда S x ln 1 x . Данный ряд

сходится к своей сумме для

Заметим, что

данный ряд расходится в граничной точке

x 1 и

сходится

по признаку Лейбница в граничной

точке

x 1.

По второй теореме Абеля в случае сходимости степен-

ного

ряда

граничной

точке

x a R

имеем

S a R lim

S x .

нашем

случае a 0,

R 1,

x a R

S x ln 1 x , следовательно,

x 1 0

ln 2.

lim

1 x

148

elib.pstu.ru

Таким образом, область сходимости данного ряда к функцииln 1 x характеризуетсядвойным неравенством 1 x 1 .

Пример 34. Найти сумму ряда n 1 x2 1 n .

n 0

Решение. Положим x2 1 y и найдем сумму S y степен-

ного ряда n 1 yn , сходящегося для y 1 (что нетрудно ус-

n 0

тановить с помощью признака Даламбера). Интегрируя равенст-

во S y = n 1 yn на отрезке 0; y (что возможно на осно-

n 0

вании теоремы об интегрировании степенных рядов) и затем дифференцируя полученное равенство по y, будем иметь

n 1

S y dy y

; S y

1 y

n 0

но y x2

1, поэтому

2 .

n 1 x2 1 n =

n 0

Разложение имеет место для всех значений

x, удовлетво-

ряющих

неравенству

x2 1

1, т.е.

для

0 x2 2 ,

откуда

2 x 0 и 0 x

2 . Эти неравенства и определяют об-

ласть сходимости данного ряда к сумме

2 x2

Пример 35. Найти сумму ряда

n 1 n2

Решение. Составим вспомогательный степенной ряд

n 1

и обозначим его сумму через S x . Нужно найти S 1 . Для это-

149

elib.pstu.ru

	n
го продифференцируем обе части равенства S x =	x	по x
	n
n 1	n2

(это возможно на основании теоремы о дифференцировании степенных рядов) и вычислим сумму ряда производных:

xn 1

1 x

n 1

1 1

S x

n 1

2 n 1 2

2 1

Проинтегрируем теперь обе части равенства

x 2

на отрезке 0; x :

S x x

ln 2 x x

ln 2 x ln 2,

0 2 x

тогда

n1n S 1 ln 2.

n 1 2

6.5. Приложения рядов

Пример 36. Вычислить 3 67 с точностью до 10 3. Решение. Перепишем данное выражение в виде

	67			3	1
3 67 3 64		4			3
			1			.
	64			64

Подставим в биноминальный ряд

1 x m 1 m x					m m 1		x2			m m 1 m n 1			xn ,
1 x m 1 m x							x2						xn ,
			1!	2!								n!
x	3	и	m 1	. Получим знакочередующийся ряд
x	64	и	m 1	. Получим знакочередующийся ряд
	64		3
			3 67 =4 1			1		1	1 2 5		1	.
			3 67 =4 1			6		12	1 2 5		18	.
						2		2	3!		2
150

elib.pstu.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.81 Mб43Математические модели движения транспортных средств..pdf
#
15.11.202214.26 Mб48Математические основы криптологии и криптографические методы и средс..pdf
#
15.11.2022932.24 Кб18Математические основы теории принятия решений..pdf
#
15.11.20221.51 Mб10Математические основы теории систем. Методы оптимизации.pdf
#
15.11.20224.41 Mб7Математические основы финансового обслуживания..pdf
#
15.11.20221.75 Mб15Математический анализ в задачах и упражнениях..pdf
#
15.11.202219.7 Mб18Математическое моделирование в естественных науках.-1.pdf
#
15.11.202224.26 Mб25Математическое моделирование в естественных науках..pdf
#
15.11.202211.81 Mб16Математическое моделирование в механике композиционных материалов и..pdf
#
15.11.20227.54 Mб24Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке..pdf
#
15.11.20222.39 Mб19Математическое моделирование и проектирование систем автоматики..pdf