Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ в задачах и упражнениях

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

	cos nx							,						x cos nx ,

6.19.	n 1 3 n n2 x												6.26.	n 1 4 n2 x2
6.19.				),									6.26.	A [ ;
	A [ ;			),			0							A [ ;					], 0
				2					,						( 1)2		2		ln					n,				2
	xsin nx								,						( 1)2		n		ln			2		n,
																	n					2
													6.27.		n			x
6.20.	n 1	n2 x2 n											6.27.	n 1	n			x
6.20.				),										A [1;10]
	A [ ;			),			0							A [1;10]
				2																				e		nx
														( 1)n 1										e				,
														( 1)n 1														,
6.21.	sin x2cos nx2										,	x R	6.28.	n 1										n x2
	n 1	ln(n			x )									x R
		( 1)n												x R
		( 1)n													cos nx
6.22.								,				A [0;1]								,
6.22.		nx	2				n	,				A [0;1]	6.29.		n	x				,
	n 1	nx					n						6.29.	n 1	n			),
		( 1)		n	ln n			,						A [ ;											0
6.23.		( 1)			ln n			,						A [ ;											0
6.23.	n 1		n x															2
	A [1;12]														( 1)n 1 cos nx												,
		x cos nx											6.30.			n		2	x		2		1				,
		x cos nx											6.30.	n 1		n			x				1
6.24.												,
		n 1 e							nx			,		A [ ;
	n 1	n 1 e
	A [ ;1],						(0,1)												2 ),							2 0
		( 1)				n 1
		( 1)								,
6.25.		4								,
6.25.	n 1	n x x

A [0; )

Задание 7. Найти область сходимости ряда.

n(x 2)n

(x 2)n

7.1.

7.4.

n 1

3 1

n 1

7.2.

7.5.

n 1

1)x

7.3.

(x 3)2n

(x 2)n

2n 1

7.6.

n 1

161

elib.pstu.ru

2n 1

7.7.

n 1 (2x 1)

7.8. n(x2

n 1

7.9. 2

n 1

7.10.

n 1

(2x)

(3x 1)

7.11.

n 1

2n 1

1)x

7.12.

n 1

(x 5)

7.13.

n 1)

n 1

(2x2

7.14.

n 1

7.15.

(n 1)(x 2)

n 1

(2x 1)

7.16.

n 1

7.17.

n 1

2n 1

(x 3)

7.18.

n(1 ln n)

n 1


		(x 2)					n
7.19.		(x 2)
n 1			n
		n	1
7.20.		n	1		(x 1)n
7.20.		n			(x 1)n
n 1		2
				n		3
7.21.				n
7.21.	n						3)	n
n 1		3 (x					3)
						3)			n
7.22. n(2x2						3)
n 1		n				1
		2n2 1
7.23.
7.23.		x		n
n 1		x
		3n (x 2)n 1
7.24.
7.24.		n			3	1
n 1		n				1

7.25. n2 (x 1)2n

n 1 n!

7.26. (x 5)n

n 1 n2n

						1
7.27. x2n tg						1
n 1						n
		n	x	n
7.28.	3		x
7.28.		n	3	n
n 1	6			n
		n					3)	n
7.29. 3 (x2							3)
n 1		n				1
		(x			5)		2n
7.30.		(x			5)
7.30.			n
n 1			n

Задание 8. Данную функцию разложить в ряд Маклорена, используя известные разложения в ряд функций.

8.1. 2 sin(x	)	8.3.	ex2 1
8.2. ln(1 x3 )	4		x2
8.2. ln(1 x3 )		8.4.	1
		8.4.	1 x2
162

elib.pstu.ru

8.5.sin x x cos x

8.6.2x

8.7.ex sin x cos x

8.8.x

1x2

8.9.ln(1 x 2x2 )

	8.10.	sin x3
	8.10.	x
		x

8.11.(ex 1)2

8.12.ch2x

8.13.(1 x)e x

8.14.ln(1 x x2 x3 )

8.15.e1 x2

8.16.1 cos x

8.17. x 1		1 x
8.18. x ln(1 x2 )
8.19.	x sin	x
8.20.	1
	(1 x2 )2

8.21. x ln(1 x) x2

8.22. sin x2 x

8.23.ln 1 2x

8.24.x 2

(1 x)

8.25.1 cos x x2

8.26.sin x 3

8.27.x

2x 1

8.28.33x

8.29.2x 2

8.30.1 e3x

Задание 9. Разложить в ряд Тейлора указанную функцию в окрестности точки x0 и найти его область сходимости.

9.1. ln(2x 5),				x0 3	9.6.		x,	x 9
9.2. 3x , x0		1							0
9.2. 3x , x0		1			9.7.	x ln x,				x		1
			1						0
9.3. e2 x 1 ,		x	1		9.8.	2x 1 ,			x0		1
		0		2		1 ,
				2	9.9.			x			3
9.4. sin x,		x0			9.9.			x			3
9.4. sin x,		x0				x		0
								0
	1			2			1					x0 0
							1
9.5.		,	x0	2	9.10. x2 1,
9.5.	3x 5	,	x0	2	9.10. x2 1,
	3x 5

163

elib.pstu.ru

9.11.				1			,		x		1		9.22.			2	,	x		1
9.11.							,		x		1		9.22.				,	x		1
		4 3x								0						x			0
		4 3x														x
9.12. 24 x 9 , x0										2			9.23. ex2 1 ,						x0		1
9.13. e2 x 6 ,							x			3						1
	1						0						9.24.			1			,	x0		1
9.14.					, x0		1						9.24.	1		2x			,	x0		1
														1		2x
		x2											9.25. ln(x2 1),									x0	0
9.15.	sin										,	x0 0	9.26. ln(3x 1),									x		3
9.15.	sin				x						,	x0 0	9.26. ln(3x 1),									x		3
									3													0		2
																						0
9.16.					1			, x0				2	9.27. x ln(x2 1), x0											1
9.16.		(x 3)3						, x0				2	9.28. cos x,						x
9.17. ln(4 3x),											x0 1		9.28. cos x,						x
9.17. ln(4 3x),											x0 1								0			4
																			0
9.18.						1			, x			2	9.29.			1					,	x0	1
9.18.			(x 3)2						, x			2	9.29.		(1 2x)2						,	x0	1
			(x 3)2								0				(1 2x)2
9.19.				2x 1,						x0		4	9.30.			2				,		x0	0, 25
9.19.				2x 1,						x0		4	9.30.			1 2x				,		x0	0, 25
9.20.	5			x 1		, x0			1							1 2x
9.20.	5					, x0			1
9.21.	cos2 x,							x		0
									0
Задание 10. Вычислить с точностью до 10 3.
10.1. cos 0,2													10.11. cos 0,1
10.2. ln 5													10.12.			1
10.3.	3 10												10.12.			3 e2
10.4.	1												10.13.			1,02
10.4.				e									10.14. ln 0,9
				e									10.14. ln 0,9
10.5. sin 0, 4													10.15. 10 2
10.6. ln1,2													10.16.			1
10.7.	4 20															1
10.7.	4 20															e3
10.8.	1												10.17. cos1,1
10.8.		e3											10.18. ln 2
10.9. ln10													10.19.			3 100
10.10. sin1
164

elib.pstu.ru

10.20. sin 3		10.26. e2
10.21. ln 3		10.27. ln 5
10.22.	2	10.28.	3 80
	e
10.23.		10.29.	1
	3 5		3 30
10.24. cos0,9		10.30.	3 65
10.25. ln 7

Задание 11. Вычислить с точностью до 10 3 определенный интеграл.

0,5		0,1		e	x	1dx
11.1. cos x2dx		11.11.
0		0				x
11.2. 1	dx	11.12. 1	x ln(1 x)dx
	x
0	e	0

11.3. 1	x sin xdx
0
11.4. 1	xe xdx
0
0,2
11.5.	1 x3 dx
0
0,5
11.6. 3	1 x2 dx
0
0,1	cos x dx
11.7. 1	cos x dx
0	x
0,2		x	2
11.8. cos		x		dx
11.8. cos				dx
0	2
0,5

11.9. ln(1 x2 )dx

11.10. 0,2 dx 4

0 1 x

11.13. 1 x2 sin x2dx

11.14. 1 xe xdx

11.15. 2 cos x dx

0 x

0,1

11.16. e x2 dx

11.17. 4 sin2 xdx

11.18. 1 cos xdx

11.19. 1 sin x dx

0,1 x

165

elib.pstu.ru

0,25	dx		0,5
11.20.	dx		11.26. ln(1 x3 )dx
11.20.	1	x	11.26. ln(1 x3 )dx
0	1	x	0
1			0,5		dx
11.21.	x ln(1 x2 )dx		11.27.		dx
11.21.	x ln(1 x2 )dx		11.27.		2
0			0	1 x
0,1			1
11.22. e1 3x2 dx			11.28. sin x3dx
0			0
1			0,5
11.23. (2		x)sin xdx	11.29.		1 x3 dx
0			0
1			0,5	e	x	1dx
11.24. x3 cos		xdx	11.30.	e		1dx
0			0			x
11.25. 1 ln(1 x) dx
0	x

Задание 12. Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

12.1. y xy ey ,

y(0) 0,

k 3

12.2. y esin x x, y(0) 0, k 3

12.3. y x ey ,

y(0) 0,

k 3

12.4. y y cos x 2cos y,

y(0) 0,

k 3

12.5. y x2 ey ,

y(0) 0,

k 3

arcsin y

y(0)

k 4

12.6.

2 ,

12.7. y xy ln( y x), y(1) 0,

k 5

12.8.

x y ,

y(0) 1, k 5

12.9.

y y

y(0) 1,

y (0) 0,5,

k 6

y (0)

12.10. y(4) xy y x2 ,

y(0) y (0) 0,

y (0) y (0) 1,

k 7

166

elib.pstu.ru

12.11.	y 2x cos y,				y(0) 0,	k 5
12.12.	y yex			xy 2 ,	y(0) 1,	y (0) y (0) 1,		k 6
12.13.	y xyy ,			y(0) y (0) 1,			k 6
12.14.	y	y		1 , y(1) 1, y (0)			0, k 4
		y
				x
12.15. y x2			0, 2 y2 ,		y(0) 0,1,		k 3

12.16.y y 2 xy, y(0) 4, y (0) 2, k 5

12.17.y xy y2 , y(0) 0,1, k 3

12.18. y ey sin y ,

y( ) 1,

y ( )

k 3

12.19. y 0, 2x y2 ,

y(0) 1,

k 3

12.20. y x2

y2 ,

y( 1) 2,

y ( 1) 0,5,

k 4

12.21. y x2

xy e x , y(0) 0, k 3

12.22. y

1 x2

y(0) 1,

k 5

12.23. y y,

y(0) 0, y (0) 1, k 3

12.24. y y cos y x,

y(0) 1, y (0)

k 3

12.25. y 4 y 2xy2

e3x , y(0) 2,

k 4

12.26. (1 x) y x 0,

y(0) y (0) 1,

k 3

12.27. 4x2 y y 0,

y(1) 1,

y (1)

1 ,

k 3

12.28. y 2x2

y3 ,

y(1) 1, k 3

12.29. y 3x y2 ,

y(0) 2

12.30. y 4 y 2xy2

e3x , y(0) 2

Задание 13. Найти сумму ряда.

n 1

x2n

13.1. ( 1)

13.2.

n 1

n 2 (2n 3)(2n 2)

167

elib.pstu.ru

n 1 1

n 2

13.3. ( 1)

n 1

( 1)n 1 x2n 1

13.4.

(2n 1)

n 1

( 1)

13.5. 1

x2n 1

n 0

2n 1

( 1)

n 1

13.6. 1

x2n 1

n 0

2n 1

( 1)

n 1

13.7.

n 2

n(n 1)

( 1)

n 1

13.8. 1

x2n 1

n 0

2n 1

13.9.

n(n 1)

n 1

( 1)n x2n 2

13.10.

(2n 1)

n 0

2n 2

13.11.

(2n 1)(2n 2)

n 0

n 1 1

13.12. ( 1)

n 1

13.13. ( 1)n 1

n(n 1)

n 1

e nx

13.14.nn 1

	x	2n 1
13.15.	x
13.15.	2n(2n 1)
n 1	2n(2n 1)
			n	1 2n
13.16.	( 1)			n	x
n 1				n
168

( 1)n 1

n 1

13.17.

n 1

( 1)

n 1

13.18.

n(n 1)x

n 1

( 1)

n 1

13.19.

(n 1)(n 2)

n 0

sin

13.20.

n(n 1)

n 2

2n 1

13.21.

2n(2n 1)

n 1

13.22.

n 1

n 2

13.23.

(n 1)(n 2)

n 0

( 1)n

13.24.

n 1

x2n

13.25.

(2n 2)(2n 1)

n 2

13.26.

n(n 1)

n 2

( 1)

n 1

cos

n 1

13.27.

n 1

n(n 1)

( 1)

n 1

13.28.

n 1

n(n 1)

13.29.

(n 1)x

n 1

n 0

13.30. n ( 1)nn xn n 2 n(n 1)x

elib.pstu.ru

Задание 14. Разложить функцию				f (x) в ряд Фурье в ука-
занном интервале.
1,	2 x	0,	14.15.	2, 0 x 3,
14.1. f (x)	x 2		14.15.	f (x)
x, 0	x 2			1, 3 x 6

14.2.	0,		x 0,
	f (x)						0 x
	x,
14.3.	2,					1 x 0,
	f (x)		0 x 1
	3,
14.4.	f (x) 2x 1,						( 2; 2)
14.5.	x,		x 0,
	f (x)		0 x
	0,
14.6.	f (x) 1		x			,	( ; )

14.7.	2 x,						0 x 2,
	f (x)		2 x 4
	0,
14.8.	1,		2 x 0,
	f (x)						0 x 2
	1 x,
14.9.	2,		x 0,
	f (x)		0 x
	1,
14.10.	f (x)	0,				0 x 1,

		x 1, 1 x 2
14.11.	f (x)	x,					2 x 0,
						0 x 2
		0,
14.12.	f (x)				x		, ( ; )

		0,				1 x 0,
14.13.
	f (x)			, 0 x 1

		2
14.14.	f (x) 4 x,						(0; 4)

		2x 1, 0 x									1	,
14.16.	f (x)										2
14.16.	f (x)							1
								1		x 1
		0,						2		x 1
								2
14.17.	f (x)	2x,							x 0,
14.17.	f (x)						0 x
		x,					0 x
14.18.	f (x)	x 1,								1 x 0,
14.18.	f (x)									0 x 1
		1 x,								0 x 1
14.19.	f (x)						x		,	( ; )
14.19.	f (x)								,	( ; )
						2
				1		,		2 x 0,
14.20.	f (x)			2		,		2 x 0,
14.20.	f (x)			2
									0 x 2
		2x,							0 x 2
14.21.	f (x)	1,							0 x 1,
14.21.	f (x)					1 x 2
		1,				1 x 2
14.22.	f (x)	1,					x 0,
14.22.	f (x)								0 x
		x,							0 x
		4,								1 x 0,
14.23.	f (x)									2
14.23.	f (x)						0 x 1
		1,					0 x 1
										2
										2
		x,					x 0,
14.24.	f (x)					x
14.24.	f (x)					x		, 0 x

						2
						2
14.25.	f (x)		x		1,					( 2; 2)
14.25.	f (x)		x		1,					( 2; 2)

169

elib.pstu.ru

14.26. f (x) 10 x, (5;15)

3 x, 0 x 3, 14.27. f (x)

1, 3 x 4 14.28. f (x) x 1, ( 1;1)

1, 0 x 1, 14.29. f (x)

1 x, 1 x 2

x, 0 x , 14.30. f (x)

3x, x 2

Задание 15. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье в указанном интервале.

15.1. f (x) 2x 1, (0; 2), по косинусам

15.2. f (x) 2x, (0; ), по синусам

15.3. f (x) x 2 , (0; 2), по синусам 2

15.4.f (x) x, (0; ), по косинусам

15.5.f (x) x 1, (0;1), по синусам

15.6.f (x) x 0,5, (0;1), по косинусам

15.7.f (x) 1 2x, (0; 12), по синусам

15.8.f (x) 2, (0; ), по косинусам

15.9.f (x) 1, (0; 2), по синусам

15.10.f (x) 4x, (0; ), по косинусам

15.11.f (x) 2x 3, (0;1), по синусам

15.12.f (x) 2x , (0; ), по синусам

15.13.f (x) 4 x, (0; 4), по косинусам

15.14.f (x) x2 , (0;1), по синусам

15.15.f (x) x 1, (0; ), по косинусам

15.16.f (x) 2x, (0; 2 ), по синусам

15.17.f (x) x, (0; 3), по косинусам

170

elib.pstu.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.81 Mб43Математические модели движения транспортных средств..pdf
#
15.11.202214.26 Mб48Математические основы криптологии и криптографические методы и средс..pdf
#
15.11.2022932.24 Кб18Математические основы теории принятия решений..pdf
#
15.11.20221.51 Mб10Математические основы теории систем. Методы оптимизации.pdf
#
15.11.20224.41 Mб7Математические основы финансового обслуживания..pdf
#
15.11.20221.75 Mб15Математический анализ в задачах и упражнениях..pdf
#
15.11.202219.7 Mб18Математическое моделирование в естественных науках.-1.pdf
#
15.11.202224.26 Mб25Математическое моделирование в естественных науках..pdf
#
15.11.202211.81 Mб16Математическое моделирование в механике композиционных материалов и..pdf
#
15.11.20227.54 Mб24Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке..pdf
#
15.11.20222.39 Mб19Математическое моделирование и проектирование систем автоматики..pdf