5576

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права» Кафедра математики и математических методов в экономике

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

Издание второе, дополненное и переработанное

Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно–методическим центром (ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия

для студентов экономических специальностей вузов региона

Хабаровск 2010

1

перевозки. Эти два требования противоречат друг другу, т.к. для сокращения времени перевозки приходится пользоваться более дорогим видом транспорта. Иногда в целевую функцию включают несколько однотипных экономических показателей. Например, в целевую функцию производственно-транспортной задачи включают затраты на производство, доставку и приведённые капиталовложения, которые затем минимизируются.

Преодоление ограничений, связанных с единственной целевой функцией, возможно с использованием разных подходов. Наиболее простым является модификация симплексного метода для решения задач целевого программирования, в которых специальным образом сконструированная целевая функция и особые переменные позволяют учитывать несколько целей, не обязательно однотипных, но ранжированных по степени их важности.

Широко используются в экономическом анализе и экономикостатистическое моделирование.

Главное в моделировании – недопустимость переусложнения и переупрощения. Обычно для повышения точности модели приходится вводить новые переменные и усложнять существующие связи. В то же время упрощённые модели легко понимать и использовать. Однако излишнее упрощение модели может привести к тому, что она уже не будет отражать реальный процесс, а её решения будут ошибочными.

Приближения модели к действительности можно добиться разными приёмами, среди которых могут быть, например:

а) линеаризация нелинейных зависимостей путём аппроксимирования кривых с помощью нескольких прямолинейных отрезков;

б) исключение из модели переменных, не оказывающих существенного влияния на функционирование системы;

в) замена нескольких переменных агрегированным показателем, который даёт незначительное отклонение от реальной действительности и т.д.

1.1 Этапы моделирования

Процесс моделирования носит циклический характер, и в каждом цикле можно выделить следующие этапы:

1)постановка задачи и её качественный анализ;

2)построение экономико-математической модели;

4

Наиболее ответственным является первый этап. От постановки задачи, от умения определить главное в анализируемой системе и выделить её характерные черты, от того, насколько правильно будет сформулирована цель исследования, в конечном итоге зависит качество полученного результата. Степень адекватности построенной модели реальной ситуации прежде всего зависит от понимания исследователями сущности моделируемой системы. Поэтому постановку задачи должны осуществлять экономисты – специалисты в данной области, а не только специалисты по моделированию.

На втором этапе исследования выбирается модель, наиболее подходящая для описания исследуемой проблемы.

Для этого устанавливаются количественные соотношения, выражающие целевую функцию и ограничения в виде функций от управляемых переменных.

Переменными в модели являются экономические величины, которые могут принимать любые значения из некоторого множества допустимых решений.

В модели различают два вида переменных. Одни переменные принимаются независимыми – это экзогенные переменные, которые приводят в движение модель. Другие переменные – эндогенные – получают своё значение в результате решения уравнений модели при заданных значениях экзогенных переменных. Зависимость между переменными модели определяется величиной параметров модели – коэффициентов, которые остаются постоянными на протяжении всего исследования.

Выражение исследуемого экономического явления в виде системы уравнений, неравенств, функций и количественных зависимостей называется формализацией. При формализации экономической системы следует исключить все элементы, которые можно предполагать нетипичными и выделить лишь основные.

На третьем этапе исследования проверяется адекватность модели реальной действительности. Проверка адекватности модели заключается в сопоставлении полученных результатов её решения с характеристиками

5

системы, которые имели место в прошлом при тех же исходных данных.

На четвёртом этапе в случае неадекватности модели её приходится корректировать. Корректировка может потребовать дополнительных исследований проблемы, уточнения структуры математической модели, изменения набора переменных модели. Модель считается адекватной, если она способна обеспечить достаточно надёжное предсказание поведения системы.

Корректная модель может быть построена лишь при наличии качественной информации. Точность модели во многом зависит от состава и объёма исходных данных.

Пятый, заключительный этап связан с практической реализацией результатов исследования. Полученное математическое решение облекают в соответствующую содержательную форму в виде рекомендаций, инструкций или методических указаний, которые используются для совершенствования организации управления системой.

1.2 Классификация моделей

В зависимости от используемых средств моделирования все модели делятся на две большие группы: материальные и абстрактные.

Материальные – это модели воспроизводящие основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта.

Кабстрактным относятся экономико-математические,

имитационные, эвристические, а также графические модели.

По масштабу моделируемой системы различают модели национальной экономики, отраслевые модели, модели функциональных и региональных комплексов, а также модели объединения, фирмы. Так, примером модели национальной экономики может служить межотраслевой баланс национального хозяйства. К отраслевым относятся модели производства, потребления и распределения продукции отрасли. Региональными моделями являются межпродуктовые балансы отдельных экономических районов. Весьма

отдельные звенья или процессы экономики, называются микроэкономическими.

6

планирования разрабатывают на 5 лет и более, модели текущего планирования на 1 – 2 года, модели оперативно-календарного планирования – на месяц и квартал.

По виду используемых математических соотношений модели подразделяются на линейные и нелинейные. В линейных моделях все зависимости описываются линейными соотношениями. В нелинейных моделях все или часть зависимостей описываются нелинейными соотношениями.

По степени учёта влияний случайных возмущений модели делятся на детерминированные и стохастические. Детерминированными являются такие модели, в которых для данной совокупности входных значений на выходе может быть получен единственный результат. Стохастическими называются модели, в которых учитывается случайный характер протекающих экономических процессов. В таких моделях характеристики состояния определяются не однозначно, а через законы распределения их вероятностей. Поскольку экономические процессы носят, как правило, случайный характер, стохастические модели более реалистичны.

Различают также статические и динамические модели. В статических моделях экономическая система отображается в статическом состоянии за один лишь период времени. В динамических моделях системы рассматриваются в своём развитии в течение нескольких периодов времени.

Втех случаях, когда экономические системы очень сложны, для их анализа используются имитационные исследования. Имитационные модели составляются на основе данных выборок, оценивающих результаты работы изучаемой системы.

Целью имитационного моделирования является воспроизведение поведения системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами.

Внекоторых случаях, когда возможность получения оптимального решения теоретически доказана, но необходимые для этого вычисления очень громоздки и требуют больших затрат времени, пользуются эвристическими методами. Примером эвристического моделирования является использование экспертных оценок в экономике.

7

помогает правильно оценить возможности и сформулировать основные задачи на следующий период.

Плановые балансы позволяют выработать рекомендации по сбалансированности всех элементов общественного производства, т.е. соответствии потребностей и ресурсов на разных уровнях хозяйственной системы, нарисовать чёткую картину пропорций, которые сложатся в экономике в случае выполнения рекомендаций.

Анализ плановых балансов позволяет определить возможные темпы и пропорции развития экономики и установить, в какой степени тот или иной вариант расчётов соответствует социально-экономическим задачам планового периода, в какой мере в нём учтены требования объективных экономических законов.

Таким образом, система балансов как экономико-математическая модель является незаменимым рабочим инструментом государственного регулирования экономики.

Математические модели разных видов балансов строятся по одному принципу, поэтому рассмотрим подробно один из них – статическую модель МОБ всей экономики страны в стоимостном исчислении.

2.1 Схема и модель МОБ производства и распределения продукции

Будем в дальнейшем предполагать, что выполняются следующие предпосылки при построении модели МОБ.

Каждая отрасль имеет только одну технологию производства, которая характеризуется коэффициентами прямых материальных затрат.

Все продукты, производимые одной отраслью, однородны, т.е. каждая отрасль производит только один вид продукта.

Все коэффициенты модели рассчитаны в неизменных ценах, что позволяет рассматривать их изменение как результат структурных изменений в

технологические (чистые) отрасли, которые объединяют всё производство данного продукта в экономической системе.

Введём необходимые для дальнейшего понятия.

Промежуточный продукт (промежуточный спрос) – часть валового продукта (спроса), представляющего собой закупки данного i-го вида

9

продукции j-ми отраслями в качестве исходных материалов, т.е. это продукт, который поступает из i-й отрасли в j-ю для дальнейшей переработки в текущем периоде. В дальнейшем будем обозначать его через xij.

Напротив, конечный спрос – это часть общего спроса, представляющая закупки конечных продуктов, т.е. продуктов, выходящих из сферы производства в область конечного использования на потребление и инвестиции. Сюда относится непроизводственное личное и общественное потребление, накопление основных и оборотных фондов, возмещение выбытия основных фондов, а также экспорт за вычетом импорта.

Конечный продукт превышает объём национального дохода, используемого на потребление и накопление на величину возмещения выбытия основных фондов и экспортно-импортного сальдо. Будем обозначать его через yi.

Условно-чистая продукция или добавленная стоимость – факторные затраты отрасли, т.е. вновь созданная стоимость, распадающаяся на заработную плату, предпринимательский доход и амортизацию. Условно-чистая продукция

– это стоимостной эквивалент конечной продукции, он превышает объём национального дохода на величину амортизационных отчислений. В дальнейшем будем обозначать его через zj.

С теоретической точки зрения МОБ представляет собой экономикоматематическую модель процесса воспроизводства, которая в развёрнутом виде отражает взаимосвязи по производству, распределению, потреблению и накоплению каждого вида продукции в единстве материально-вещественного и стоимостного аспектов воспроизводства.

Объединение указанных характеристик в рамках единой модели на практике достигается посредством крестообразного наложения двух таблиц одна на другую. В первой из них в отраслевом разрезе представлена структура затрат, или структура используемых ресурсов, необходимых для каждой отрасли. В том числе и элементы условно-чистой продукции (добавленной стоимости). Во второй – распределение выпуска каждого вида продукции на нужды промежуточного (текущего производственного) и конечного использования. Затраты отражены по столбцам общей таблицы, а распределение – по строкам.

Пересекающаяся часть этих двух таблиц образует так называемую “шахматку”, или первый квадрант общей схемы МОБ. Шахматная структура данного раздела МОБ обеспечивается тем, что классификация и порядок

10