5576
.pdf
числителю этого квадрата. Нижняя часть таблицы рассчитывается в обратном порядке. Знаменатели нижних побочных квадратов равны разности знаменателя главного и числителя нижнего побочного в той же строке.
5. Знаменатели главных квадратов равны минимуму знаменателей нижних побочных в том же столбце (таблица 6.1).
Таблица 6.1 – Расчёт показателей сетевого графика
Из таблицы 6.1 находятся показатели сетевого графика:
1.Ранние сроки наступления событий (числители главных квадратов).
2.Поздние сроки наступления событий (знаменатели главных квадратов).
3.Резервы времени событий (разность между знаменателем и числителем главного квадрата).
В нашем случае критическими событиями (не имеющими резервов) являются 1, 2, 3, 4, 6, 7. Они составляют критический путь. Продолжительность критического пути равна 19 (числитель или знаменатель последнего главного квадрата).
4.Ранний срок наступления работы (i, j) (числитель главного квадрата, соответствующего номеру i).
5.Ранний срок окончания работ (знаменатели верхних побочных квадратов).
71
6.Поздний срок наступления работ (знаменатели соответствующих нижних побочных квадратов).
7.Поздний срок окончания работы (i, j) (знаменатель главного квадрата, соответствующего номеру j).
8.Общие резервы времени работ (разность между знаменателем главного квадрата и знаменателем верхнего побочного в том же столбце).
9.Свободные резервы времени работ (разности между числителем главного квадрата и знаменателем верхнего побочного квадрата в том же столбце).
Воспроизведём график сети, проставив над каждым событием слева ранний, а справа – поздний сроки наступления события. Окончательно имеем:
Критический путь |
Продолжительность |
|
|
1 – 2 |
1 |
2 – 3 |
2 |
3 – 4 |
4 |
4 – 6 |
4 |
6 – 7 |
8 |
общая |
19 |
72
Временные характеристики работ:
Некритические |
Продолжительность |
Общий резерв (TS) |
Свободный резерв |
работы |
|
|
(FS) |
|
|
|
|
1 – 4 |
6 |
1 |
1 |
2 – 5 |
10 |
3 |
0 |
3 – 5 |
7 |
4 |
1 |
3 – 6 |
6 |
2 |
2 |
4 – 7 |
10 |
2 |
2 |
5 – 7 |
5 |
3 |
3 |
|
|
|
|
6.4 Оптимизация сетевого графика
Важнейшей задачей оптимизации сетевых графиков является нахождение такого варианта, при котором минимизируются суммарные издержки выполнения всего комплекса работ. При этом исходят из предположения, что затраты на выполнение какой-либо работы находятся в обратной зависимости от продолжительности её выполнения. Если все работы, включённые в сетевой график, выполняются с нормальной продолжительностью, то общая стоимость всех работ является минимальной. И наоборот, если все работы выполняются с минимальной продолжительностью, стоимость всех работ достигает максимума. Для получения минимальной продолжительности выполнения всего комплекса не требуется ускорять все работы. При ускорении некритических работ, стоимость всего комплекса возрастает, а продолжительность критического пути не уменьшается. Отсюда возникает задача нахождения такого варианта выполнения комплекса работ, при котором ускоряются лишь необходимые работы с учётом степени возрастания общей стоимости всех работ.
К поставленной задаче возможны два различных методических подхода. С одной стороны, если все работы, включённые в сетевой график, имеют нормальные временные оценки, то общая стоимость всех работ минимальна, а критический путь достигает максимума. Тогда требуется определить, при ускорении каких критических работ общая стоимость возрастает в минимальной степени. С другой стороны, для всех работ сетевого графика могут быть первоначально установлены минимально возможные временные оценки, стоимость всего комплекса работ
73
максимальна, а критический путь имеет наименьшую продолжительность. В этом случае задача сводится к нахождению такого варианта увеличения продолжительности некритических работ, при котором были бы минимизированы суммарные затраты.
Введём следующие обозначения:
tij(0) – минимальная продолжительность (i, j)-й работы; tij(1) – нормальная продолжительность (i, j)-й работы;
уij – любая возможная продолжительность (i, j)-й работы в интервале
tij(0) ≤ уij ≤ tij(1);
Cij(0) – стоимость выполнения (i, j)-й работы при минимальной продолжительности;
Cij(1) – стоимость выполнения (i, j)-й работы при нормальной продолжительности;
hij – коэффициент изменения стоимости (i, j)-й работы, характеризующий увеличение стоимости (i, j)-й работы при ускорении её на единицу времени в интервале от tij(1) до tij(0).
Зависимость стоимости выполнения какой-либо работы от её продолжительности можно изобразить в виде графика (рисунок 6.5).
Рисунок 6.5 – Графическое изображение коэффициента стоимости
Кривая, изображённая на графике, показывает изменение стоимости выполнения работы при увеличении времени её выполнения от tij (1). Если допустима прямолинейная аппроксимация этой зависимости, то коэффициент hij может быть вычислен по формуле
|
C(0) |
C(1) |
|
h |
ij |
ij |
. |
|
|
||
ij |
tij(1) |
tij(0) |
|
|
|||
Используя коэффициенты изменения стоимости hij, можно проводить расчёты по стоимостной оптимизации сетевых графиков.
74
6.4.1Стоимостная оптимизация сетевого графика при нефиксированной величине критического пути
Пусть при планировании комплекса работ оценки для каждой из работ установлены на уровне нормальных продолжительностей, в результате чего суммарная стоимость выполнения всего комплекса работ будет минимальной, а продолжительность критического пути оказывается наибольшей. Задача состоит в сокращении критического пути при минимальном возрастании стоимости выполнения комплекса всех работ. Задачу рассмотрим на условном примере. Пусть дан сетевой график (рисунок 6.6).
Рисунок 6.6 – Сетевой график О работах, включённых в него в таблице 6.2, имеется следующая
информация:
Таблица 6.2 – Данные для оптимизации сетевого графика
Работы |
tij(1) |
tij(0) |
Cij(1) |
Cij(0) |
|
|
(0) |
(1) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
h |
Cij |
Cij |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
tij(1) |
tij(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1, 2) |
7 |
4 |
30 |
45 |
|
h12 |
45 |
30 |
|
5. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
7 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1, 3) |
4 |
4 |
20 |
20 |
h13 = 0/0 – критическая |
|||||||
(1, 4) |
5 |
3 |
10 |
16 |
h14 = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
(2, 5) |
6 |
5 |
18 |
25 |
h25 = 7 |
|
|
|
|
|
|
|
(3, 4) |
7 |
5 |
40 |
50 |
h34 = 5 – критическая |
|
||||||
(3, 6) |
4 |
4 |
30 |
30 |
h36 = 0/0 |
|
|
|
|
|
|
|
(4, 5) |
8 |
6 |
25 |
25 |
h45 |
= 5 – критическая |
|
|||||
(4, 6) |
6 |
6 |
15 |
15 |
h46 |
= 0/0 |
|
|
|
|
|
|
(5, 7) |
5 |
3 |
18 |
20 |
h57 |
= 1 – критическая |
|
|||||
(6, 7) |
6 |
4 |
24 |
30 |
h67 |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общая стоимость выполнения всего комплекса работ равна С=7∙30+4∙20+5∙10 + 6∙18 + 7∙40 + 4∙30 + 8∙25 + 6∙1 5 + 5 ∙18 + 6∙24 = 1372.
Задачу решим следующим образом:
75
1.Выпишем критический путь сетевого графика.
2.Выберем из всех критических работ, допускающих ускорение, работу с наименьшим коэффициентом hij и сократим время её выполнения на возможную величину так, чтобы образовавшийся новый полный путь был не меньше по продолжительности из оставшихся.
3.Пересчитываем сеть. На критическом пути вновь находим критическую работу с наименьшим hij, допускающую ускорение, и сокращаем её.
4.Процедуру ускорения критических работ проводим до полного завершения.
5.Вычисляем общее сокращение продолжительности критического пути и прирост затрат.
На приведённом сетевом графике имеются следующие полные
пути: |
|
|
|
||
1 |
– 3 – |
4 |
– 5 – 7 продолжительность |
24 ед. (критический путь) |
|
1 |
– 2 – |
5 |
– 7 |
18, резерв 24 – 18 = 6 |
|
1 |
– 4 |
– |
5 |
– 7 |
18, резерв 24 – 1 8 = 6 |
1 |
– 4 |
– |
6 |
– 7 |
17, резерв 24 – 17 = 7 |
1 |
– 3 |
– |
4 |
– 6 – 7 |
23, резерв 24 – 23 = 1 |
1 |
– 3 |
– |
6 |
– 7 |
14, резерв 24 – 1 0 = 1 4 |
Чтобы уменьшить общую продолжительность всего комплекса работ с минимальным увеличением суммарной стоимости, необходимо ускорить выполнение той критической работы, которая имеет минимальный коэффициент стоимости.
Из таблицы 6.2 видно, что из четырёх критических работ работа (1,3) не может быть сокращена. Остальные работы (3,4), (4,5) и (5,7) имеют коэффициенты изменения стоимости h34 = 5, h45 = 5, h57 = 1 соответственно. Следовательно, в первую очередь необходимо ускорить работу (5,7). Эта работа допускает сокращение на 2 единицы времени. Так как один из некритических путей имеет резерв времени, равный единице, ускорять работу (5,7) в большей степени не следует. При этом в сетевом графике образуется два критических пути – 1 – 3 – 4 – 5 – 7 и 1 – 3 – 4 – 6 – 7 продолжительностью в 23 ед. времени каждый (рисунок 6.7).
76
Рисунок 6.7 – Сетевой график после ускорения критических работ
Ускорение работы (5,7) на единицу времени приводит к возрастанию её стоимости и стоимости всего комплекса на единицу.
С появлением нового критического пути продолжительность всего комплекса работ может быть сокращена только при условии одновременного ускорения каких-либо двух работ, принадлежащих обоим критическим путям. В нашем случае произошло разветвление прежнего критического пути, работы (1,3) и (3,4) принадлежат обоим критическим путям. Поэтому для сокращения критического пути нужно ускорить одну из работ (1,3) или (3,4), или же одновременно ускорить две какие-либо работы на раздвоенном участке.
Рассмотрим коэффициенты hij критических работ. Наименьший коэффициент изменения стоимости имеет работа (5,7) (h57 = 1). Но она лежит на одной из ветвей критического пути, и её ускорение не даёт желаемого результата. Поэтому нужно ускорить одновременно какуюлибо работу на другой ветви критического пути. На участке (4,6) сокращать время нельзя, на участке (6,7) h67 = 3. Следовательно, одновременное сокращение работ (5,7) и (6,7) на единицу времени приведёт к возрастанию обшей стоимости на 4 единицы. Сокращаем обе работы (5,7) и (6,7) на единицу, т.к. (5,7) на первом шаге уменьшили на единицу. Такое сокращение не приводит к возникновению нового критического пути, т.к. резервы на остальных путях больше.
Продолжаем рассматривать возможности дальнейшего сокращения критического пути. На его раздвоенной части можно сократить работы (4,5) и (6,7), принадлежащие различным ветвям, h45= 5, h67 = 3. При ускорении этих работ на единицу суммарное увеличение стоимости всех работ 5 + 3 = 8.
77
На общей части критического пути работа (3,4) имеет h34 = 5. Следовательно, эту работу необходимо ускорить в первую очередь. Она может быть сокращена на две единицы времени. Поскольку резервы времени других путей заведомо больше, то такое сокращение допустимо. Стоимость всего комплекса работ возрастает на 10 единиц. При аналогичном сокращении работ (4,5) и (6,7) стоимость увеличилась бы на 2 * 8 = 1 6 единиц.
Продолжительность критического пути равна 20 единицам времени, а дальнейшее ускорение работ на нераздвоенном участке невозможно, т.к. работа (1,3) не допускает ускорения, а работа (3,4) ускорена на две единицы. На раздвоенной части критического пути работы (4,5) и (6,7) можно ускорить на единицу времени. После такого сокращения получили окончательный вариант сетевого графика, на котором критический путь сократился до допустимого предела (19 ед. времени), а общая стоимость выполнения всего комплекса работ возросла в минимально возможной степени:
5 5 2 3 5 2 23 |
(ед.), что составит |
23 |
100% |
1,7%. |
||
|
|
|||||
1372 |
||||||
|
|
|||||
6.4.2 Стоимостная оптимизация сетевого графика при фиксированной величине критического пути
Рассмотрим случай, когда временные оценки для всех работ, включённых в сетевой график, установлены как минимально возможные и суммарная стоимость выполнения всего комплекса работ достигает максимума. Задача ставится следующим образом: при фиксированной продолжительности критического пути необходимо использовать резервы времени для некритических работ так, чтобы получить оптимальный вариант, сводящий к минимуму стоимость выполнения всего комплекса работ.
Пусть дан сетевой график, на котором для каждой из работ указаны минимально возможные оценки.
Зная коэффициенты изменения стоимости hij, можно для каждой работы определять стоимость её выполнения за время
tij(0) ≤ уij ≤ tij(1)
78
по формуле Сij Cij(0) |
hij ( yij tij(0) ). |
Так как находится оптимальный по стоимости вариант сетевого графика при заранее определённой продолжительности критического пути и известных критических работах, то сроки наступления критических событий известны и, следовательно, определены однозначно продолжительности критических работ.
С другой стороны, продолжительность некритических работ, имеющих резервы времени, может быть увеличена так, что каждая работа окажется на одном из критических путей.
Оптимальный вариант должен показать, в какой мере увеличиваются продолжительности некритических работ, при этом стоимость выполнения всего комплекса работ достигает минимума.
Поэтому в качестве неизвестных величин можно брать не продолжительность выполнения той или иной работы, а сроки наступления событий. Так как все события в оптимальном варианте становятся критическими, то срок наступления каждого из них однозначен (ранние и поздние сроки наступления критических событий совпадают). Тогда имеет место следующее соотношение:
уij = tj – ti,
где tj и ti – сроки наступления событий. Общая стоимость выполнения всего комплекса работ С выполняется как сумма стоимостей работ, т.е.
|
|
|
|
С |
|
Сij. |
|
|
(i, j) |
||
Составим систему ограничений модели.
Обозначим через К множество событий Рj, лежащих на критическом пути, а через R множество работ (i, j), не лежащих на критическом пути. Эти работы имеют резервы времени и их продолжительность может быть увеличена в пределах tij(0) ≤ уij ≤ tij(1).
Следовательно, разница между сроками наступления конечного и начального событий (tj – ti) для работ, принадлежащих R, может превышать величину tij Отсюда система ограничений в математической модели оптимизации по стоимости сетевого графика задаётся условиями:
79
tj – ti ≥ |
tij(0), для любой работы (i, j) |
|
R, |
|
||||
tj = tj(0) |
= tj(1) для любых событий. |
|
|
|
|
|||
Окончательно математическая модель задачи оптимизации по |
||||||||
стоимости сетевого графика имеет вид: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
C(0) |
|
|
|
|
|
|
C |
h |
(t |
j |
t ) min, |
||
|
|
ij |
ij |
ij |
|
i |
||
|
(i, j) |
|
(i, j) |
|
|
|
|
|
при условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tj – ti ≥ tij(0), (i, j) |
|
R, |
|
|||
|
|
tj = tj(0) = |
tj(1), Рj |
|
К. |
|
||
Эта задача линейного программирования, и решается она симплексным методом.
Рассмотрим пример частичной оптимизации сетевого графика по стоимости при фиксированной величине критического пути в предположении, что стоимость всего комплекса работ можно уменьшить за счёт увеличения времени выполнения его некритических работ. Коэффициенты изменения стоимости определяются по формуле
|
C (0) |
C (1) |
|
|
hij |
ij |
ij |
, |
|
t (1) |
t (0) |
|||
|
|
|||
|
ij |
ij |
|
а уменьшение стоимости работы (i, j) – по формуле
Cij (tij(1) tij(0) ) hij ,
где Cij(0) и Сij(1) – величины, в которых заключается стоимость работы (i, j) при её продолжительности в пределах tij(0) ≤ уij ≤ tij(1).
В дальнейшем будем предполагать, что величины hij уже рассчитаны и заданы, а продолжительность каждой работы целесообразно увеличить на величину такого резерва, чтобы не изменить ранние сроки наступления всех событий сети, т.е. на величину свободного резерва времени FSij.
Таким образом, если tij(1) – tij(0) > FSij, то в формуле для определения ∆Cij величина tij(1) – tij(0) заменяется на FSij.
Пусть задан некоторый комплекс работ, связывающий события и время выполнения работы (i j) – tij.
80