5576

Введём дополнительные обозначения:

k1 (шт./компл.) – количество продукции вида j в одном комплекте; Z (компл.) – общее количество выпускаемых комплектов.

условие комплектности.

Обозначим через ui оценку i-гo ресурса (т.е. времени работы i-й группы оборудования) и через vj – оценку j-гo вида продукции.

Единицы измерения оценок в варианте Р определяются на основе соотношения (4.15а). Исходя из единиц измерения прямой задачи Рj (руб./шт.) и (станко-час./шт.) будем иметь следующие единицы измерения оценок: ui (руб./станко-час). Это определённого вида прибыль (в руб.), приходящаяся на один станко-час работы i-й группы оборудования. В связи с отсутствием ограничений по выпуску продукции в варианте Р не будет оценок продукции.

В варианте С единицы измерения оценок также определяются исходя из основных ограничений двойственной задачи (4.18а). Из Сjs (руб./шт.) вытекает, что vj (руб./шт.) – себестоимость (затраты определённого типа) в рублях на единицу продукции, с учётом же смысла показателей аijs (станкочас/шт.) оценка оборудования будет ui (руб./станко-час), что также представляет собой определённым образом преобразованную часть себестоимости продукции, отнесённую к группе оборудования i.

В варианте А единица измерения оценок определяется исходя из

продукции j (в шт.). На основе соотношений (4.22) определяется единица измерения оценок оборудования ui (компл./станко-час), непосредственно характеризующих связь между выпуском продукции в комплектах и затратами станочного времени по i-й группе оборудования (в станко-час).

Перейдём теперь к рассмотрению конкретных экономических свойств оценок оптимального плана.

Свойство 1. Оценки как мера влияния ограничений на оптимальное значение целевой функции.

41

Ослабление какого-либо i-гo ограничения приводит к тому, что с определённого момента оказывается возможным изменить структуру (набор переменных) в базисе плана и это приводит к скачкообразному уменьшению величины оценки. Так продолжается до тех пор, пока i-й ресурс вообще перестает быть дефицитным и оценка обращается в нуль. Характер изменения оценки иллюстрирует рисунок 4.1.

Рисунок 4.1 – Иллюстрация изменения оценки

На рисунке bi(0) – начальный лимит i-гo ресурса, которому в оптимальном плане соответствует оценка ui(0) > 0. В пределах [bi(0), bi(1)] базис оптимального плана, а следовательно, и значения ui(0) остаются неизменными. Мероприятия по изменению лимита ресурсов в этих пределах носят название малых мероприятий, их эффективность может быть точно измерена с помощью оценок. Однако при изменении лимита до величины, превышающей bi(1), оценка уменьшается вследствие существенного уменьшения дефицитности i-гo ресурса, и эффект от такого мероприятия, которое выходит за пределы устойчивости оценки ui и относится к категории больших мероприятий, может быть подсчитан лишь с помощью значений ui(0) и ui(1). Соответственно при превышении величины bi(2) ресурс становится недефицитным, его оценка обращается в нуль: ui(2) = 0.

Таким образом, для малых мероприятий двойственные оценки являются точной мерой влияния ограничений на значение целевой функции, а точность определения влияния на оптимум больших мероприятий зависит от точности прогноза изменения оценки по мере уменьшения дефицитности i-гo ресурса.

Свойство 2. Оценки как мера дефицитности ресурсов и продукции. Это свойство оценок вытекает из второй теоремы двойственности. Так как для пары сопряжённых условий оптимального плана одно условие выполняется как строгое равенство, а другое – как строгое неравенство, то во всех трёх задачах

43

нулевую оценку ui* = 0. Аналогично в задачах С и А продукция, которая производится в минимально необходимом количестве (условия (4.19) и (4.23) обращаются в равенства), получает положительную оценку vj* > 0, а не эффективная продукция, которая при заданных ресурсах может быть произведена сверх необходимого количества (условия (4.19) и (4.23) обращаются в неравенства), получает оценку Vj* = 0.

Взадаче Р величина ui (руб./станко-час) – это прокатная оценка оборудования. Она характеризует ограниченность фонда времени работы оборудования i, что не позволяет использовать i-e оборудование по всем без исключения направлениям, где оно может дать положительный эффект. Из-за этого приходится использовать оборудование i лишь при тех технологических способах, которые в результате решения задачи признаны наиболее эффективными с позиции общего оптимума. В результате такого рода «задалживания» оборудования в одних способах «недополучается» прибыль в других способах из-за использования менее эффективных ресурсов.

Оценка ui (руб./шт.) как раз и показывает ту граничную (предельную) величину прибыли, недополученную вследствие дефицитности фонда времени работы i-й группы оборудования, которая в случае загрузки i-й группы в оптимальном плане должна быть компенсирована дополнительно получаемой прибылью. Чем выше величина оценки ui, тем острее дефицитность i-гo ресурса. Естественно, для недефицитного, не полностью загруженного оборудования ui* (руб./станко-час) = 0.

Взадаче С ui (руб./станко-час) также прокатная оценка оборудования, но она показывает величину «несэкономленной» себестоимости при использовании тех технологических способов, где не применяется оборудование вида i из-за «задалживания» этого оборудования при работе по другим способам.

Оценка продукции vj (руб./шт.) показывает, какую часть совокупных затрат на выполнение всей производственной программы экономически оправдано относить на продукцию вида j. Если какая-либо продукция производится как побочный результат деятельности, её оценка vj* = 0 и

44

дополнительные усилия на её производство не являются оправданными.

Взадаче А оценка ui (компл./станко-час) показывает, какова предельная величина недополученного выпуска продукции в заданном ассортименте (в комплектах) из-за «задалживания» дефицитного фонда времени работы оборудования i. Там, где имеется такое «задалживание», оно должно быть компенсировано дополнительным выпуском продукции.

Оценка продукции vj (компл./шт.) характеризует ту часть общего выпуска продукции j в комплектах, которую можно рассматривать как вклад в достижение общей цели. Эта величина для сопутствующей (побочной) продукции также равна нулю.

Таким образом, оценки ui и vj – это количественно новые показатели, экономически связывающие расход ресурса и выпуск продукции в отдельных звеньях системы (технологических способах) с общей целью системы и чётко реагирующие на степень ограниченности (дефицитности) продукции и ресурсов.

Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов, технологических способов с позиций общего оптимума.

Это свойство оценок вытекает из второй теоремы двойственности при применении её к соотношениям (4.10) – (4.11).

Воптимальной задаче Р может быть включён лишь тот способ, для которого прибыль, недополученная из-за «задалживания» в этом способе

Соответственно там, где такое покрытие не обеспечено, технологический способ не может быть включён в оптимальный план.

В задаче С общая оценка варианта, включаемого в оптимальный план, имеет вид

В правой части этого соотношения указана сумма прямых затрат cjs на продукцию j при производстве её способом s и затрат системы, возникающих

из-за «задалживания» в способе дефицитных ресурсов ( aijs ui* ), которые i

называются затратами обратной связи. Такого рода сумма, называемая дифференциальными затратами, показывает, какую часть совокупных затрат всей системы следует в построенном оптимальном плане относить на продукцию j, производимую способом s. Эта величина полных

45

дифференциальных затрат на продукцию (j, s) сравнивается с оценкой vj* – величиной экономически оправданных затрат на производство продукции j. В оптимальный план включаются те способы, для которых полные дифференциальные затраты совпадают с оценкой экономически оправданных затрат, и не включаются способы, для которых дифференциальные затраты превышают их экономически обоснованную величину.

Для задачи А сравнивается величина эффекта vj* (выпуск комплектов), который в оптимальном плане может быть отнесён непосредственно на

вследствие «задалживания» дефицитного оборудования при работе по данному способу. В оптимальный план включаются способы, где полученный эффект покрывает недополученный. И наоборот, способы, где потенциальные потери при выпуске комплектной продукции из-за отвлечения из системы лучших ресурсов превышают возможный экономический эффект, не включаются в план.

Свойство 4. Оценки как инструмент балансирования суммарных затрат и результатов.

Это свойство вытекает из условия (4.7) теоремы 1 и позволяет в целом сопоставить и сбалансировать затраты и результаты экономической системы. При этом как затраты, так и результаты оцениваются с позиций концепции оптимального планирования с помощью соответствующих показателей. Исходя из этой концепции в широком смысле под результатом понимается вклад в достижение обшей цели системы, а под затратами – упущенные возможности достижения этой цели.

Вконкретных задачах такого рода соотношение «затраты – результаты» в точке оптимума (равновесие затрат и результатов) имеет различное экономическое содержание.

Взадаче Р смысл равенства (4.7) состоит в том, что максимум прибыли может быть обеспечен лишь при минимуме недополученной прибыли от использования дефицитных ресурсов.

Взадаче С обеспечение минимума затрат (Zmin) связано с максимизацией чистого эффекта от использования ресурсов (Wmax), т.е. превышением суммарной оценки производимой продукции над суммарной оценкой затрат, возникающим в связи с распределением дефицитных ресурсов.

Взадаче А максимум выпуска комплектной продукции может быть обеспечен лишь при минимуме неиспользованных резервов, что выражается в

46

минимальном уровне недополучаемого выпуска при распределении дефицитных ресурсов.

4.5 Производственно-транспортные задачи

Решение производственно-транспортных задач основывается на решении классической транспортной задачи по критерию минимума целевой функции (т/км, руб.) с учётом суммарных затрат на производство и доставку однородной продукции до потребителей.

4.5.1 Транспортная задача по критерию издержек

Постановка задачи: На m станциях отправления А1, А2, ..., Аi, ..., Аm имеется a1, а2, ..., аi, ..., аm единиц однородного груза соответственно. Этот груз необходимо перевезти n потребителям В1, В2, ..., Вj, ..., Bn в количествах, соответственно равных b1, b2, ..., bj, ..., bn. Известны величины Сij, характеризующие затраты по перевозке единицы груза из пункта Аi в пункт Bj. Требуется определить оптимальный план перевозок, при котором

Система ограничений (4.26) характеризует ограничения по ресурсам, (4.27) – ограничения по потребностям.

Составим таблицу для решения данной задачи (таблица 4.2).

47

Если для задачи (4.26) – (4.28) выполнено условие баланса

поставщика или потребителя Сij = 0.

Необходимое и достаточное условие для разрешимости задачи сводится к выполнению условия баланса (4.29).

Исходный опорный план можно найти по методу северо-западного угла или минимального элемента. Невырожденный план задачи содержит (m + n – 1) базисных переменных, которым соответствуют занятые клетки в таблице решения. Решение задачи обычно находится по методу потенциалов, который основывается на следующей теореме.

48

Теорема о потенциалах. Если план х* = (хij*) транспортной задачи (4.26) – (4.28) является оптимальным, то ему соответствует система из (m + n) чисел Ui* и Vj*, удовлетворяющих условиям:

свободных клеток (i, j). Eij показывает, насколько изменится значение целевой функции при перемещении в клетку (i, j) единицы груза. Если в оптимальном плане для свободных клеток Eij = 0, то оптимальный план не единственный.

4.5.2 Задача оптимального размещения производства

Эта задача сводится к однопродуктовой задаче перспективного планирования, когда наличных мощностей предприятий по производству продукции недостаточно для удовлетворения спроса потребителей. Это требует ввода новых мощностей за счёт капитального строительства или реконструкции. Обычно существует несколько вариантов строительства и реконструкции, отличающихся по производственной мощности, местоположению, уровню инвестиционных вложений и других показателей. Экономико-математическая модель задачи позволяет одновременно решать задачу оптимального закрепления потребителей к поставщикам и задачу выбора оптимального варианта размещения производства.

Обозначим через Аi производственную мощность i-гo предприятия, причём в число поставщиков входят как действующие, так и различные варианты проектируемых. Будем предполагать, что если предусматривается возможность реконструкции, то мощность до реконструкции показывается в модели отдельно от мощности, получаемой дополнительно за счёт реконструкции. Вj – спрос j-гo потребителя.

Для формирования целевой функции задачи должны быть известны Сi – себестоимость производства единицы продукции на i-м предприятии; ki – капитальные затраты на единицу продукции на i-м предприятии при строительстве или реконструкции; Сij – транспортные расходы по доставке

49

единицы продукции от i-гo предприятия к j-му потребителю.

В целом решение данной задачи должно обеспечить определение наилучших вариантов размещения предприятий и перевозок продукции, при которых достигается минимум суммарных затрат на производство и транспортировку продукции и инвестиционных вложений в создание новых мощностей или расширение действующих. Математическая модель задачи имеет вид:

Задача (4.32) – (4.34) является открытой моделью транспортной задачи. Так как в число поставщиков включены различные варианты прироста производственных мощностей, превышающие суммарную потребность, суммарная мощность поставщиков в модели превышает общую величину спроса. Модель задачи приводится к закрытой введением фиктивного потребителя. Ясно, что поставщиков, которые в оптимальном плане прикрепились к фиктивному потребителю, использовать нерационально.

Решение такой задачи называется целочисленным, если мощности предприятий целиком прикрепились к реальным или фиктивному потребителям. Если же часть мощности предприятия прикрепляется к реальным, а часть к фиктивному потребителям, то решение будет нецелочисленным. В оптимальный план рекомендуется включать те предприятия, большая часть мощности которых относится к реальным потребителям.

Пример 4.1. Дневная производительность двух кирпичных заводов А1 и А2 – 100 и 150 тыс. шт. кирпичей. Планируемая потребность составляет у потребителя B1 – 100, В2 – 80, В3 – 200 тыс. шт. Проектами предусмотрено два варианта увеличения производственных мощностей – реконструкция завода А1 и строительство нового завода А3. Дана матрица транспортных затрат:

50