5576

Как видим, на второй итерации из базиса выводится d2- , в базис вводится х2. И т.д., пока не получим оптимальное решение. После 4-й итерации получим таблицу 5.3.

Таблица 5.3 – Итоговая симплексная таблица

Тот факт, что в строке при P4 имеется положительный элемент (в столбце d3+) означает, что четвёртая цель выполнена не полностью. При этом, целевая функция равна Р4, это минимально возможное её значение. В целом оценка переменной d3+ равна (0,2 Р4 – Р3), и поскольку Р3 >> Р4, то в итоге она отрицательна. Все остальные оценки неположительны, следовательно, план с точки зрения симплексного метода оптимален.

Решение этой задачи можно прокомментировать следующим образом. Для выполнения поставленной задачи необходимо выпустить вторую продукцию в объёме 6 ед. (х2 = 6). Первую продукцию не выпускать. При этом первая и вторая цели перевыполнены на 6 ед. (d1+ = d2+ = 6), а четвёртая недовыполнена на 1ед. (d4- =1). Таким образом, прибыли получили на 6 ед. больше желаемого уровня, первый ресурс использован сверх нормального лимита на 6 ед., а продукцию 2-го вида выпустить в желаемом объёме не получилось – вместо 7 ед. выпустили 6 (не хватило 2-го ресурса; его «экономия» – цель более высокого приоритета).

61

В заключение в качестве примера составления модели задачи ЦП составим модель ещё одной задачи.

Пример 5.2. Администрация города планирует расширить спортивную базу. На эти цели в городском бюджете выделено 5,4 млн руб. Было запланировано дополнительно построить четыре типа спортивных сооружений: теннисные корты, плавательные бассейны, микростадионы (атлетические площадки) и гимнастические залы. Данные относительно этих проектов следующие (таблица 5.4).

Таблица 5.4 – Информация о строящихся объектах

Решение. В городе для этих целей выделено 20 га свободных площадей, но при необходимости эта площадь может быть увеличена. При реализации этого проекта администрация ставит следующие цели в порядке их важности:

1)уложиться в отведённую бюджетом сумму;

2)построенные спортивные сооружения должны обеспечить не менее 14 000 посещений в неделю;

3)по возможности удовлетворить ожидаемый спрос на спортивные сооружения. При формировании целевой функции для этих целевых ограничений использовать веса, пропорциональные ожидаемому использованию;

4)при осуществлении проекта по возможности не занимать более отведённого свободного пространства в 20 га.

При составлении модели этой задачи будем иметь в виду, что ограничения при формулировке целей не категоричные и могут быть как пере-, так и недовыполнены.

Переменные задачи: х1, х2, х3, х4 – соответственно количество построенных сооружений: теннисных кортов, плавательных бассейнов,

62

атлетических площадок и гимнастических залов.

Все ограничения будут целевыми, системных ограничений нет. Первая цель – уложиться в отведённую сумму:

120х1 + 600х2 + 480х3 + 1 200х4 + d1 - – d1+ = 5 400 .

Минимизируем «перерасход»: min Z = P1 d1+ . Вторая цель – не менее 14 000 посещений в неделю:

500 x1 + 1 000x2 + 2 000x3 + 1 500x4 + d2 - – d2+ = 14 000

Минимизируем «недопосещения». С учётом первой цели имеем: min Z = P1d1+ + P2d2 - .

Реализация третьей цели потребует выполнения 4 ограничений по каждому виду сооружений:

x1 + d3-– d3+ = 8; x2 + d4-– d4+ = 3; x3 + d5-– d5+ = 3; x4 + d6-– d6+ = 2.

Минимизируем «недовыполнение». Это третья по важности цель, поэтому в целевой функции все 4 слагаемых будут иметь коэффициент Р3, но с разными весами:

min Z = P1d1+ + P2d2- + 0,5P3d3- + P3d4- + 2P3d5- + 1,5P3d6-. Четвёртая цель: 0,8x1 + 5x2 + 3,2x3 + 1,6x4 + d7- – d7+ = 20.

Целевая функция с учётом всех целей:

min Z = P1d1+ + P2d2- + 0,5P3d3- + P3d4- + 2P3d5- + 1,5P3d6- + P4d7+.

Итак, модель задачи примет вид:

63

Если эту задачу решать обычным симплексным методом, то весам Pi надо придавать конкретные значения, но учитывать, что P1 >> P2 >>…>> P7. Разработаны специальные программы для решения таких задач. Реализуя одну из них (программа QM for Window), получим следующее оптимальное решение (таблица 5.5):

Таблица 5.5 – Решение задачи из примера 5.2.

(Целевое программирование)

x1 = 8, x2 = 3, x3 = 3, x4 = 1, d2+ = 500, d6- = 1, d7+ = 3,6. (d7+ = – 653 994 – это закодированное число 3,6 – оно указано в строке Priority 4). Указанное недовыполнение (Nonachievement) в строке Priority 3, равное 1,5 – это с учётом весового коэффициента в целевой функции при d 6 ).

Итак, на выделенные средства можно построить 8 теннисных кортов, 3 плавательных бассейна, 3 министадиона и один гимнастический зал. Как видим, четвёртая цель недовыполнена на 1 (d 6 = 1), т.е. вместо двух запланированных будет построен один гимнастический зал. Вторая цель перевыполнена (d2+ = 500), т.е. вместо 14 000 посещений возможны 14 500. Перевыполнена так же 4-я цель (d7+ = 3,6), т.е. вместо отведённых 20 га под эти спортивные сооружения потребуется 23,6 га.

64

Глава 6. Методы сетевого планирования и управления

Методы сетевого планирования позволяют осуществить анализ комплекса работ, который включает в себя большое число взаимосвязанных операций. Можно определить вер оятную продолжительность выполнения всех работ, их стоимость, возможные размеры экономии времени или денежных средств, а также то, выполнение каких операций нельзя отсрочить, не задержав при этом срок выполнения проекта в целом. Немаловажным является и проблема обеспечения ресурсами. Методы сетевого анализа могут быть использованы при составлении календарного плана выполнения операций, удовлетворяющего существующим ограничениям на обеспечение ресурсами.

Анализ любого проекта осуществляется в три этапа:

1.Расчленение проекта на ряд отдельных работ (или операций), из которых затем составляется логическая схема.

2.Оценка продолжительности выполнения каждой операции; составление календарного плана выполнения проекта и выделение работ, которые определяют завершение выполнения проекта в целом.

3.Оценка потребностей каждой операции в ресурсах; пересмотр

плана выполнения операций с учётом обеспечения ресурсами либо перераспределение денежных или других ресурсов, которое улучшит план.

После того как составлен список, логическая последовательность выполнения операций может быть проиллюстрировала с помощью графа. Существуют различные типы графов, но наиболее широкое применение получили, так называемые вершинные и стрелочные графы.

6.1 Сетевые графики и правила их построения

Сетевое планирование осуществляется с помощью сетевых графиков, изображающих работы и их результаты.

Работы на графиках обычно изображаются стрелками, события

65

(результаты выполнения работ) обозначаются кружками. Под работами подразумеваются как реальные хозяйственные или технологические процессы, требующие затрат времени и ресурсов, так и процессы, потребляющие только время (сушка материалов, затвердение бетона, дозревание и т.д.).

Существуют фиктивные работы, показывающие, что событие не может совершиться раньше какого-либо другого события, обозначаются они на графиках пунктирными стрелками.

Событие совершается только тогда, когда закончены все предшествующие ему работы.

При построении сетевых графиков необходимо соблюдать основные правила:

1.Только начальные события не имеют входящих стрелок, только конечные – выходящих. Промежуточные события имеют входящие и выходящие стрелки.

2.Каждая из работ должна иметь предшествующие события.

3.На графике не должно быть изолированных участков, не

связанных работами с остальной частью графика (рисунок 6.1а), не должно быть контуров (рисунок 6.1 б ) и петель, т.е. путей, соединяющих некоторые события с ними же самими (рисунок 6.1в).

Рисунок 6.1 – Элементы сетевого графика

При возникновении контура, что часто встречается в сложных сетях, необходимо вернуться к исходным данным и путём пересмотра состава работ устранить контур.

4. Любые два события должны быть непосредственно связаны не

66

более чем одной работой. Для параллельных работ (рисунок 6.2а) вводится фиктивное событие и фиктивная работа (рисунок 6.2б).

Рисунок 6.2 – Параллельность работ в сетевом графике

6.2 Основные характеристики сетевых графиков

Основным показателем сетевого графика является критический путь, под которым понимается последовательность работ между начальным и конечным событиями сети, имеющая наибольшую общую продолжительность во времени. События и работы, расположенные на этом пути, также называются критическими.

Любое замедление в выполнении работ критического пути неизбежно приведёт к замедлению всего комплекса работ, поэтому первоочередное внимание должно уделяться своевременному выполнению критических работ. Сетевой график может иметь несколько критических путей. Различают временные характеристики работ и событий сети. Рассмотрим сначала характеристики событий.

Ранний срок наступления события (ЕТ). Он определяется для каждого события при движении по сети слева направо от начального к конечному событию. Если события i дают начало некоторым работам, которые продолжаются tij единиц времени и завершаются событиями j, то ранний срок наступления события j определяется по формуле

где ЕТi – ранний срок наступления события i, которое предшествует событию j. Для начального события ЕТ = 0.

Ранний срок свершения событий равен суммарной продолжительности работ, лежащих на самом длинном из путей, ведущих от исходного события к данному.

67

Поздний срок наступления события (LT) – это наиболее поздний срок, в который может наступить событие без задержки всего комплекса работ. Определяется он при движении от сети справа налево от конечного события к начальному по формуле

Поздний срок свершения событий равен разности между продолжительностью критического пути и суммарной продолжительностью работ, лежащих на минимальном из путей, ведущих от данного события к завершающему.

Для критического пути ранние и поздние сроки наступления событий совпадают.

Резервы времени события определяются как разность между их LT и ЕТ. Резервы времени для критических событий равны нулю. Рассмотрим теперь характеристики работ.

Общий резерв времени работы (TS) показывает, насколько можно увеличить продолжительность работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится и определяется из соотношения:

TSij LT j ETi tij .

Свободный резерв времени работ (FS) показывает часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока её окончания.

FSij ET j ETi tij .

Если свободный резерв времени работ может быть использован по всем работам сети одновременно (тогда все работы становятся критическими), то для полных резервов этого сказать нельзя. Полный резерв можно использовать или для одной работы графика полностью, или для разных работ частями.

Для критических работ TS и FS равны нулю. TS и FS могут быть использованы при выборе календарных сроков выполнения некритических работ и для частичной оптимизации сетевых графиков.

Роль полных и свободных резервов времени при выборе

68

календарных сроков выполнения некритических работ объясняется двумя общими правилами:

1. Если полный резерв равен свободному, то календарные сроки некритической работы можно выбрать в любой точке между её ранним началом и поздним окончанием.

2. Если свободный резерв меньше полного, то срок начала некритической работы можно сдвинуть по отношению к её раннему сроку начала не более чем на величину свободного резерва, не влияя при этом на выбор календарных сроков непосредственно следующих работ.

6.3 Определение основных показателей сетевого графика

Расчёт основных показателей сетевого графика проводится по приведённым выше формулам.

Сетевой график строится так, чтобы все дуги – работы были направлены слева направо. Над дугами (стрелками) проставлены длительности работ.

Покажем табличный способ расчёта основных показателей сетевого графика (рисунок 6.3).

Рисунок 6.3 – Сетевой график до нумерации

Упорядочим сетевой график. Нумерация событий графика осуществляется следующим образом. Находим исходное событие, в которое не входит ни одна стрелка и присваиваем ему номер 1. Затем вычёркиваем все выходящие из него работы (стрелки) и на оставшейся части сети вновь находим событие, в которое не входит ни одна стрелка.

69

Этому событию присваиваем номер 2. После определения события 2 вычёркиваем все выходящие из него стрелки и по предыдущему критерию находим событие 3. Если на графике оказывается несколько событий, в которые не входят стрелки, присваиваем следующий номер любому событию. Процесс нумерации продолжается до полного завершения процедуры. Окончательный вид сети на рисунке 6.4.

Рисунок 6.4 – Пронумерованный сетевой график

Расчёт показателей сетевого графика проведём в квадратной таблице, число строк и столбцов которой равно числу событий в графике.

События отмечаются в квадратах "главной диагонали". Работы отмечаются дважды в верхних и нижних "побочных" квадратах относительно главной диагонали таблицы. В верхних побочных квадратах таблицы номер строки соответствует предыдущему событию, номер столбца – последующему. В нижних побочных квадратах наоборот. Порядок заполнения таблицы.

1.Сначала заполняются числители верхних и нижних побочных квадратов. В них записываются продолжительности соответствующих работ.

2.Заполняются знаменатели верхних побочных квадратов как суммы числителя главного квадрата и числителя верхнего побочного в той же строке.

3.Числитель первого главного квадрата принимается равным нулю, числители остальных главных квадратов равны максимуму знаменателей верхних побочных квадратов в том же столбце.

4.Знаменатель последнего главного квадрата принимается равным

70