Таблица 7.5 – Симплексная таблица

следовательно, v 72 .

Учитывая, что qj = yj ∙ v, получим оптимальную стратегию игрока В:

Следовательно, предприятие должно выпускать 50% продукции А1, 50% продукции А2, а продукцию А3 не выпускать.

оптимальный спрос в 75% находится в состоянии В1 и в 25% – в состоянии

101

2

При решении произвольной конечной игры размера m x n рекомендуется придерживаться следующей схемы:

1.Исключить из платёжной матрицы заведомо невыгодные стратегии по сравнению с другими стратегиями. Такими стратегиями для игрока А (игрока В) являются те, которым соответствуют строки (столбцы)

сэлементами, заведомо меньшими (большими) по сравнению с элементами других строк (столбцов).

2.Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую точку. Если седловая точка есть, то соответствующие ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена совпадает с верхней (нижней) ценой.

3.Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных стратегиях. Для игр размера m x n рекомендуется симплексный метод, для игр размера 2х2, 2хn, mx2 возможно графическое решение.

4.Рассмотреть возможность разбиения матрицы на подматрицы для замены некоторых групп чистых стратегий смешанными.

несколькими путями. Первый состоит в физическом смешении чистых стратегий Аi в пропорциях, заданных вероятностями рi.

Другой путь – при многократном повторении игры – в каждой партии чистые стратегии применяются в виде случайной последовательности, причём каждая из них – с частотой, равной её вероятности в оптимальном решении.

Рассмотрим экономическую задачу, сводящуюся к игровой модели. Пример 7.6. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию,

которую может сразу отправить потребителю (стратегия А1), отправить на склад для хранения (стратегия А2) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия А3) для длительного хранения.

102

Потребитель может приобрести продукцию: немедленно (стратегия В1), в течение небольшого времени (В2), после длительного периода времени (В3).

В случае стратегий А2 и А3 предприятие несёт дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, которые не требуются для А1, однако при А2 следует учесть возможные убытки из-за порчи продукции, если потребитель выберет стратегии В2 или В3.

Определить оптимальные пропорции продукции для применения стратегий А1, А2, А3, руководствуясь «минимаксным критерием» (гарантированный средний уровень убытка) при матрице затрат (таблица 7.6).

В этой матрице первую строку можно отбросить как невыгодную (её элементы меньше соответствующих элементов второй строки). Матрица

соответствующих элементов второго столбца, поэтому его можно отбросить.

103

отправляется на склад (стратегия А2), 2/3 продукции дополнительно

Глава 8. Системы массового обслуживания

8.1 Общие сведения

Существует широкий класс задач, с которыми приходится постоянно сталкиваться в повседневной и хозяйственной деятельности, где имеют место процессы, приводящие к задержкам в обслуживании и очередям. С очередями мы сталкиваемся постоянно: при посещении магазинов, парикмахерских, при обслуживании автомобилей, при оформлении вклада в сбербанке, при заходе самолётов на посадку и т.д. Системы, в которых протекают указанные процессы, получили название систем массового обслуживания (МО), а математическим описанием или разработкой математических моделей процессов, протекающих в них, занимается теория МО.

Теория МО впервые была использована при эксплуатации телефонных сетей. Большую роль в её развитии сыграл датский учёный А. К. Эрланг, который в 1913 году описал процесс обслуживания телефонных линий. И хотя с тех пор теория МО стала широко использоваться при оценке и повышении эффективности функционирования разнообразных сложных систем, терминология и названия некоторых моделей сохранили заимствование из телефонии: требования, вызовы, заявки, каналы связи, длительность обслуживания и т.п.

Очереди, как известно, это неизбежное зло в любом обществе. Возникают они из-за несогласованности моментов прибытия требований в систему и временем обслуживания требования в системе.

104

В процессе изучения очередей сначала необходимо обращать внимание на следующие основные её компоненты: входящий поток требований, каналы обслуживания, наличие очереди и выходящий поток. Эти составляющие не требуют разъяснения, за исключением дисциплины очереди. Последнее – это просто правило обслуживания. В дальнейшем мы будем рассматривать правило: первый пришёл, первый обслуживается. Возможны также другие варианты: первый пришёл – последний обслуживается, случайное обслуживание, обслуживание с приоритетами и др.

Системы МО могут также различаться по числу каналов обслуживания и фаз (последовательных этапов) обслуживания. По этим признакам различают четыре типа систем МО:

1) один канал обслуживания, одна фаза

0 0 0

очередь ожидания

канал обслуживания 2) несколько каналов, одна фаза

0 0 0

очередь ожидания

каналы обслуживания

3) один канал обслуживания, несколько фаз

0 0 0

очередь ожидания

канал обслуживания

105

4) несколько каналов обслуживания, несколько фаз

0 0 0

очередь ожидания

каналы обслуживания Обсудим теперь проблему принятия решения в системах МО. На

первый взгляд, идеальным выходом при образовании очередей является принятие мер к их полной ликвидации. В этом случае повышается уровень обслуживания – клиенты довольны. Но, зачастую, это приводит к неоправданному увеличению издержек, связанных с дополнительным привлечением ресурсов, требуемых для обеспечения обслуживания. В то же время, увеличивающиеся очереди связаны с понижением уровня обслуживания, что ведёт к увеличению издержек ожидания: потеря клиентов и недополученная выгода, в связи с падением престижа и т.д.

Итак, системы МО связаны с двумя видами издержек: издержки обслуживания, увеличивающиеся при повышении уровня обслуживания, и издержки, связанные с ожиданием, уменьшающиеся с увеличением уровня обслуживания. Как видно из рисунка 8.1, существует точка минимума общих издержек системы МО.

Рисунок 8.1 – Соотношение уровня обслуживания и связанных с ним издержек

106

Определение оптимального уровня обслуживания, минимизирующего суммарные издержки системы МО, и является одной из основных задач при разработке и эксплуатации систем МО.

8.2 Основные характеристики систем массового обслуживания

Входящий поток – это поток требований, нуждающихся в обслуживании и поступающих в обслуживающую систему. Поток требований может быть детерминированным или случайным. Детерминированный поток предполагает, что заявки в систему МО поступают через равные промежутки времени. Случайный поток требований предполагает, что требования в систему МО прибывают случайно, так что их поступления нельзя предсказать точно, но можно оценить на основе известного закона распределения вероятностей.

Для математического описания процесса поступления заявок в систему МО успешно применяется аппарат, разработанный для марковских случайных процессов. В марковских случайных процессах будущее развитие системы зависит только от настоящего состояния и не зависит от предыстории процесса. Кроме того, в дальнейшем будем предполагать, что поступления заявок в систему МО описывается случайным процессом с дискретным состоянием, т.е. возможные состояния системы можно перенумеровать, а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком (мгновенно), в случайные моменты времени. Можно показать, что вероятности состояний для системы МО в этих предпосылках могут быть описаны распределением Пуассона. Пусть r – число прибытий требований в систему МО в единицу времени (мин, час, сутки и т.д.). Тогда вероятность того, что в системе МО будет находиться r требований будет равна:

где λ – среднее число требований, прибывающих в систему за единицу времени или средняя интенсивность входящего потока; 1/ λ – среднее время между заявками.

107

Как известно, распределение Пуассона – это дискретное распределение, для которого математическое ожидание и дисперсия совпадают и равны λ, т.е. а = σ2 = λ. На рисунке 8.2 показано распределение Пуассона для λ = 2 и 4. Как видим, при средней интенсивности, равной двум требованиям в час, примерно в 13% случаев за час не поступит ни одного требования, в 27% – два требования, в 9% – около 4 требований и т.д. и практически нет шансов, что в систему за час поступит более восьми требований.

Рисунок 8.2 – Распределение Пуассона для λ = 2 и λ = 4

Следует отметить, что прибытия требований в систему МО не всегда следуют пуассоновскому распределению, и поэтому каждый раз необходимо это проверять на основе статистической проверки гипотезы о законе распределения.

Выходящий поток – это поток требований, покидающий обслуживающую систему. Процесс обслуживания заявок зависит от свойства и типа системы МО, в том числе подобно характеру прибытия, этот процесс может быть детерминированным или случайным. Детерминированный характер обслуживания, как правило, предусматривает обслуживание требований автоматическими устройствами (банкоматы в банках, автоматические автомобильные мойки и пр.), но наиболее часто время обслуживания предполагается распределенным случайно.

Во многих случаях предполагается, что случайное время обслуживания описывается отрицательным экспоненциальным или показательным распределением вероятностей. Известно, что это предположение

108

математически оправдано, если интенсивность входящего потока описывается пуассоновским распределением. В отличие от последнего, показательное распределение является непрерывным и имеет вид:

P (T > t) = e - μ t, для t ≥ 0,

где P (Т > t) – вероятность того, что время обслуживания будет больше t мин; μ – средняя интенсивность обслуживания; 1/ μ – среднее время обслуживания.

Величина μ называется параметром показательного закона распределения. Известно, что а = σ = 1/μ.

Рисунок 8.3 – Два примера экспоненциального распределения времени обслуживания

Как видно на рисунке 8.3, если время обслуживания следует показательному распределению, то вероятность более длительного времени обслуживания убывает. Так, если среднее время обслуживания одного требования равно 20 мин, то очень редко требование будет обслуживаться 90 мин, а если среднее время обслуживания равно 1 час, то вероятность обслуживания более 3 часов практически равна нулю.

Как и в случае с пуассоновским распределением, показательное распределение необходимо статистически подтверждать, если оно используется в практических расчётах.

Для многофакторных систем МО выходящий поток описывается распределением Эрланга с функцией плотности распределения

109

В многофазной системе МО предполагается, что все k фаз имеют одинаковое экспоненциальное распределение времени обслуживания со средним, равным 1/kμ, а объединённая функция распределения имеет среднее, равное 1/μ и дисперсию 1/kμ2.

Заканчивая обсуждение основных характеристик систем МО, отметим, что системы МО подразделяются на системы с бесконечной очередью и с конечной очередью. В зависимости от этого, операционные характеристики системы МО рассчитываются, исходя из разных соотношений. Трудно себе представить реальную систему МО с бесконечной очередью, но, учитывая простоту их математического описания, здесь они будут рассмотрены. Более реальны системы МО с ограниченной очередью. Очередь может быть ограничена либо наличием свободных мест, либо временем ожидания.

Кроме этого, системы МО различаются мощностью источника заявок. Размер источника заявок может быть конечным и бесконечным. Например, источник, формирующий заявки на обслуживание посетителей в магазине, парикмахерской можно считать практически бесконечным. В этом случае поступившая заявка никак не повлияет на вероятность появления очередной. В противном случае (источник конечной ёмкости) поступление очередной заявки снижает частоту поступления очередных. Такие системы называются замкнутыми системами МО.

8.3 Модели массового обслуживания

В дальнейшем для классификации моделей массового обслуживания будем пользоваться обозначениями, введёнными Кендаллом для описания характеристик систем массового обслуживания. В соответствии с этими обозначениями для характеристики модели массового обслуживания достаточно указать значения шести параметров в следующем формате: (закон распределения для входящего потока / закон распределения

110