Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

В.Т. Сапунов

Теория пластичности

Плоская задача.

Экстремальные принципы и энергетические методы решения. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности

Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов

высших учебных заведений

Москва 2011

СОДЕРЖАНИЕ

3

5. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности. . . . 106

4

1.Основные уравнения, методы решения задач

итеоремы теории пластичности

1.1. Уравнения пластического равновесия

Постановка задач теории пластичности аналогична постановке задач теории упругости.

Предположим, что на тело, упругопластические свойства кото-

( si , ei - интенсивности напряжений и деформаций), действуют

объемные X , Y , Z и поверхностные X , Y , Z силы. Требуется определить 15 неизвестных функций координат x , y , z :

- шесть компонент тензора напряжений sx , sy , . . . , tzx ;

-шесть компонент тензора деформаций ex , ey , . . . , gzx ;

-три составляющие u , v , w вектора перемещений.

Полную систему уравнений пластического равновесия представим, имея в виду возможность использования в качестве уравнений физического закона уравнения либо теории пластического течения, либо деформационной теории пластичности. Напомним, что уравнения, определяемые законами равновесия и сплошности, в теории пластичности имеют тот же вид, что и в теории упругости.

Будем иметь:

- дифференциальные уравнения равновесия (уравнения Навье)

. . . ;

- граничные условия в напряжениях

5

- связь между перемещениями и деформациями (зависимости Коши)

6

или уравнения теории пластического течения Прандтля - Рейса

где d eip - интенсивность приращений пластических деформаций.

Применение уравнений теории пластического течения в форме (1.4а) при решении конкретных упругопластических задач связано с большими математическими трудностями. Однако при рассмотрении задач, в которых допускаются значительные пластические деформации, такие, что по сравнению с ними упругие деформации пренебрежимо малы (модель жесткопластического тела), ситуацию можно упростить, используя соотношения теории пластичности Сен-Венана - Леви - Мизеса:

при наличии условия упрочнения

7

скоростей деформаций.

При решении задач с использованием соотношений теории пластичности Сен-Венана - Леви - Мизеса зависимости Коши (1.3) и уравнения совместности деформаций Сен-Венана(1.3а) должны быть представлены, соответственно, в скоростях перемещений и в скоростях деформаций.

Отметим, что система уравнений любой используемой теории пластичности (совместно с условием s = 3 K e ) дает не шесть независимых уравнений, а только пять, поскольку суммирование первых трех уравнений приводит к тождеству0 = 0. Однако наличие условия упрочнения компенсирует эту «потерю».

Таким образом, приведенная система уравнений представляет собой полную систему уравнений для решения упругопластических задач при активной деформации и простом(или близком к простому) нагружении.

Как и в теории упругости, в теории пластичности задача может решаться в перемещениях и в напряжениях.

1.2. Общие методы решения задач теории пластичности

Для большинства практически важных задач теории пластичности получить решения в замкнутом виде трудно, а часто и невоз-

можно из-за нелинейности имеющих место дифференциальных уравнений в частных производных.

Решение задач теории пластичности с использованием теории пластического течения представляет дополнительные трудности, связанные с тем, что уравнения теории течения содержат не только напряжения, но и их приращения. Здесь не представляется возможным использование схем решения задач теории пластичности ни в напряжениях, ни в перемещениях. В частных случаях обычно применяют численное интегрирование, прослеживая «шаг за шагом» развитие пластической деформации. На каждом «шаге» по прира-

8

щениям внешней нагрузки вычисляют приращения напряжений

идеформаций и .,т.дрешая некоторую задачу для упругого

Для решения нелинейных уравнений деформационной теории пластичности применяют различные варианты метода упругих решений (Ильюшин А.А., 1945 г.), когда решение задачи пластичности сводится к решению последовательности линейных задач, каждая из которых может быть интерпретирована как некоторая задача теории упругости. Наиболее используемыми являются:

-метод дополнительных нагрузок;

-метод дополнительных деформаций;

-метод переменных параметров упругости.

Каждый из перечисленных методов- численный и использует принцип последовательных приближений. Соответственно, при решении задачи вычисления заканчиваются тогда, когда разница между результатами двух последовательных приближений будет достаточно малой, т.е. окажется в пределах необходимой точности. Конкретные расчеты показывают, что процесс всегда является сходящимся.

Отметим, что на практике приходится встречаться с довольно обширными группами (классами) задач теории пластичности, в которых на форму тела и на приложенные к нему внешние силы накладываются определенные ограничения. В первую очередь, к таким задачам следует отнести задачи о плоской деформации и плоском напряженном состоянии. Упомянутые ограничения в той или иной мере упрощают исходные уравнения и позволяют подойти к решению этих задач с более простых позиций.

1.3. Теория предельного состояния (основные теоремы)

Известно, что предельное состояние конструкции наступает тогда, когда конструкция перестает сопротивляться возрастанию нагрузки и ее несущая способность исчерпывается.

Обычно задача отыскания предельных нагрузок решается в следующей последовательности:

9

-определяется напряженно-деформированное состояние в упругой области;

-находится напряженно-деформированное состояние в упругопластической области;

-вычисляется предельная нагрузка, при которой материал полностью переходит в пластическое состояние либо в данном сече-

нии, либо во всем элементе конструкции.

Такой путь решения задач довольно громоздок даже в предположении, что материал является идеально пластическим.

Ниже без доказательств излагаются некоторые общие теоремы, позволяющие определять параметры предельного нагружения без предварительного изучения упругопластического состояния элементов конструкций. При этом предполагается, что материал является жесткопластическим, т.е. не деформируется при напряжении, меньшем предела текучести (пластичности), и имеет возможность неограниченной деформации при напряжении, большем предела текучести.

Статическая теорема (статический метод определения предельной нагрузки)

Статическая теорема устанавливает приближение для предельной нагрузки снизу:

нагрузка, соответствующая статически возможному состоянию, меньше, чем предельная нагрузка.

Рассматривая различные статически возможные состояния, определяют нагрузки, которые все будут меньше предельнойНаи. - большая из них будет ближе всего к предельной нагрузке.

Кинематическая теорема (кинематический метод определения предельной нагрузки)

Кинематическая теорема устанавливает приближение для предельной нагрузки сверху:

нагрузка, соответствующая кинематически возможному -со стоянию, больше, чем предельная нагрузка.

Рассматривая различные кинематически возможные состояния, определяют нагрузки, которые все будут больше предельной. Наименьшая из них будет ближе всего к предельной нагрузке.

10