Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

Уравнение для определения функции q = q( r , z ) следует из дифференциаль-

ного уравнения равновесия при подстановке в него напряжений, представленных через функцию q .

Таков «обычный» путь решения задачи о кручении круглого стержня(вала) переменного диаметра.

Рассмотрим поставленную задачу, используя возможности определения предельной нагрузки с применением теорем об экстремальных свойствах решений для жесткопластического тела.

На основании представленных выше соотношений легко получить уравнение, определяющее скорость перемещения v . Действительно, будем иметь:

Полученное уравнение имеет очевидное решениеv = C r ( C - произвольная постоянная), определяющее вращение вала или его части, как жесткого целого.

при беспрепятственном течении материала(при достижении предельной нагрузки) получаем:

trj = 0 , tjz = tт .

Здесь, поскольку одно из касательных напряжений равно нулю, второе должно быть равно tт .

Полученному решению для напряжений отвечает крутящий момент:

где a - радиус рассматриваемого поперечного сечения.

Построенное решение соответствует кинематически возможному полю скоро-

сти перемещения, поэтому полученное значение момента M = 2pa3 tт / 3 - верх-

91

няя граница предельной нагрузки. Естественно считать, что a - наименьший радиус вала, поскольку из всех кинематически возможных полей скорости перемещения должно быть выбрано наименьшее.

С другой стороны, статически возможное поле напряжений, не нарушающее условие пластичности (текучести), легко построить, вписывая в вал круговой цилиндр постоянного радиуса a . Действительно, в качестве такого поля можно

принять предельное поле напряжений trj = 0 , tjz = tт в цилиндре, считая, что при r > a напряжения равны нулю. Предельное значение момента для кругового

цилиндра постоянного радиуса a известно - M = 2pa3 tт / 3 , и это значение бу-

дет нижней границей предельной нагрузки (добавление к телу материала не может понизить предельную нагрузку).

Поскольку в рассматриваемой задаче верхняя и нижняя границы предельной нагрузки совпадают, найденное значение момента M является точным (полным) решением.

4.2.Минимальные принципы и энергетические методы решения в деформационной теории пластичности

В теории упругости большое значение имеют энергетические методы решения задач, построенные на использовании теорем о минимуме потенциальной энергии (принцип Лагранжа) и о минимуме дополнительной работы (принцип Кастильяно). Аналогичные теоремы об экстремальных свойствах решения в рамках деформационной теории пластичности строятся как обобщения соответствующих принципов и теорем, полученных для упругого тела.

4.2.1. Работа внешних сил (обобщение теоремы Клапейрона)

В теории упругости теорема Клапейрона определяет работу внешних сил на соответствующих им перемещениях как удвоенную потенциальную энергию деформации тела и представляется соотношением:

A = 2 òòò W dV ,

V

где W = (sxex + syey + . .. + tzxgzx )/ 2 . Связь между напряжениями и деформациями определяется линейным физическим законом.

92

Рассмотрим обобщение теоремы Клапейрона на случай нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями.

Пусть деформируемое тело занимает объемV , ограниченный поверхностью S = SF + Su . На части поверхности SF заданы поверхностные силы, составляющие которых по координатным осям

x , y , z обозначим, как обычно, через X , Y и Z . На оставшейся части поверхности Su заданы перемещения. Будем полагать, что объемные силы отсутствуют.

Будем считать заданным поле напряженийsx , sy , . . . , tzx ,

удовлетворяющее дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям на части поверхности SF . С другой стороны, введем некоторое непрерывное поле перемещенийu , v , w , удовлетворяющее заданным условиям на части поверхностиSu . Введенному полю перемещений однозначно соответствует поле - де формаций ex , ey , . . . , gzx .

Отметим, что введенные поля напряжений и перемещений в остальном произвольны и, вообще говоря, не связаны между собой.

Легко доказать (см. разд. 4.1.1), что для всякой сплошной среды справедливо уравнение:

òò ( X u + Y v + Z w)dS = òòò(sxex + s y ey + . . . + tzx g zx )dV . (4.17)

S V

Соотношение (4.17) определяет работу внешних сил на соответствующих им перемещениях и является обобщением теоремы Клапейрона на случай произвольных зависимостей между напряжениями и деформациями, в том числе и в рамках деформационной теории пластичности.

4.2.2. Принцип минимума полной энергии

Будем считать, что деформируемое тело, находящееся в равновесии, занимает объем V , ограниченный поверхностью S = = SF + Su . На части поверхности SF заданы поверхностные силы

93

X , Y и Z , а на части поверхности Su - перемещения. Полагаем, что объемные силы отсутствуют.

Реализуем принцип возможных работ1 для деформируемого тела при получении его точками возможных перемещений du , dv , dw ,

отвечающих граничным условиям (кинематически возможных перемещений). В соответствии с упомянутым принципом сумма работ внутренних сил (напряжений) и поверхностных сил X , Y , Z , заданных на части поверхностиSF , на возможных перемещениях около состояния равновесия равна нулю:

òò(X du + Y dv + Z dw)dS - òòò (sxdex + syde y + . . . + tzxdg zx )dV = 0 .

SF V

Напомним, что гипотеза о потенциале упругих силпозволяет определить работу внутренних сил на возможных перемещениях

соотношением dU = òòò(sxdex + sydey + . . . + tzxdgzx )dV , где dU -

V

вариация (изменение) потенциальной энергии деформации при по-

лучении телом возможных перемещений.

В деформационной теории пластичности вводится понятие о

94

где K = E / 3(1- 2n) - объемный модуль упругости; e0 - средняя линейная деформация. Первое слагаемое определяет удельную потенциальную энергию изменения объема, второе - удельную потенциальную энергию изменения формы. Второе слагаемое соответствует площади, ограниченной (расположенной под) обобщенной диаграммой деформирования материала si = si (ei ).

Соотношения типа sx = ¶П / ¶ ex и т.д. легко проверяются непосредственно дифференцированием функции П = П (ex , ey , . . . , gzx ).

Использование представления о потенциале деформации позволяет записать работу внутренних сил (напряжений) в виде

Поскольку внешние силы не варьируются, работа поверхност-

ных сил X , Y , Z можно представить в форме:

òò(X du + Y dv + Z dw)dS Þ d òò(X u + Y v + Z w)dS = dA .

SF SF

Окончательно принцип возможных работ принимает вид

Величина в скобках называется полной энергией системы. Вводя обозначение Э = òòò П dV - A , приходим к уравнению:

Поскольку определение второй вариации полной энергией системы показывает, что знак ее положителен, уравнение dЭ = 0 представляется формулировкой:

95

действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что сообщает полной энергии системы минимальное значение.

4.2.3. Принцип минимума дополнительной работы

Будем считать, что деформируемое тело, находящееся в равновесии, занимает объем V , ограниченный поверхностью S = = SF + Su . На части поверхности SF заданы поверхностные силы

X , Y и Z , а на части поверхности Su - перемещения. Полагаем, что объемные силы отсутствуют.

Наряду с действительным напряженным состоянием sx , sy , . . . , tzx , являющимся решением задачи, рассмотрим все близкие напряженные состояния, определяемые компонентами напряжений sx + dsx , sy + dsy , . . . , tzx + dtzx , удовлетворяющие дифференциальным уравнениям равновесия

X + dX = (sx + dsx )l + (tyx + dtyx )m + (tzx + dtzx )n .

. . .

Такие напряженные состояния будем называтьстатически воз-

вешивающуюся систему. Следовательно, в соответствии с принципом возможных работ сумма работ этих вариаций напряжений и поверхностных сил на всяких возможных перемещениях должна быть равна нулю. Если же взять в качестве возможных перемещений действительные перемещения, будем иметь:

96

òò(u dX + v dY + wdZ )d S - òòò(exdsx + e yds y + . . . + gzxdtzx )dV = 0 .

Sv V

Введем понятие о плотности дополнительной работы, или просто дополнительной работе R = R (sx , sy , . . . , tzx ) как функции,

частные производные которой по напряжениям равны соответствующим деформациям:

нормальное напряжение. Первое слагаемое определяет удельную потенциальную энергию изменения объема, второе - удельную потенциальную энергию изменения формы. Второе слагаемое соответствует площади, расположенной над обобщенной диаграммой деформирования материала si = si (ei ).

Соотношения типа ex = ¶R / ¶sx и т.д. легко проверяются непосредственно дифференцированием функции R = R (sx , sy , . . . , tzx ).

Использование представления о дополнительной работе позволяет записать работу внутренних сил (напряжений) в виде

òòò (exdsx + ey ds y + . . . + g zxdtzx )dV =

V

97

Соответственно, с введением понятия о дополнительной работе принцип возможных работ представляется уравнением:

Su

Важное значение имеет более узкий круг вариаций напряженного состояния, характеризуемый равенством нулю работы вариаций внешних сил на действительных перемещениях тела:

òò(u dX + v dY + wdZ )dS = 0 .

Su

Этот вариант реализуется, если, например, поверхностные силы заданы по всей поверхности тела S или на части поверхности S u

заданы перемещения, равные нулю. В таком случае имеем:

ется формулировкой:

из всех статически возможных напряженных состояний только действительное напряженное состояние сообщает дополнительной работе тела минимальное значение.

4.2.4. Метод Рэлея - Ритца

Метод Рэлея – Ритца может быть построен как на использовании принципа минимума полной энергии, так и на использовании принцип минимума дополнительной работы. С применением принципа минимума полной энергии задача решается в перемещениях.

Пусть u 0 , v0 , w0 - заданные перемещения на S u . Перемеще-

ния u , v , w задаются в форме рядов, содержащих специально

98

подбираемые аппроксимирующие функции, удовлетворяющие нулевым граничным условиям на S u , и неизвестные параметры:

m=1

¥

w = w0 + å cm ym (x , y , z .)

m=1

Здесь fm (x , y , z), jm (x , y , z), y m (x , y , z) - линейно независимые аппроксимирующие функции; am , bm , cm - постоянные коэффициенты (параметры), подлежащие определению.

Далее, с использованием перемещений, заданных в виде рядов (4.18), преобразуется соотношение для полной энергией системы Э , с представлением его как функции параметров am , bm , cm .

Поскольку в состоянии действительного равновесия полная энергия системы Э должна иметь минимальное значение, для определения параметров am , bm , cm используются условия ее минимизации:

Для упругого тела полная энергия является квадратичной формой параметров am , bm , cm , и условия ее оптимизации образуют систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно am , bm , cm . При пластическом деформировании для определения коэффициентов am , bm , cm будем иметь уже нелинейную систему уравнений. Составление и решение этой системы уравнений даже при небольшом значенииm (небольшом числе аппроксимирующих функций) связано с большими вычислительными трудностями.

99

В связи с этим при решении различных инженерных задач широкое распространение получила одночленная аппроксимация при нулевых условиях на S u :

u = a f (x , y , z) , v = b j(x , y , z) , w = c y(x , y , z) ,

где за функции f (x , y , z), j(x , y , z), y(x , y , z) обычно принимается решение соответствующей линейной(упругой) задачи. При этом не следует забывать о возможной значительной погрешности подобных решений.

Метод Ритца нетрудно применить и к задаче минимизации дополнительной работы.

Предположение о том, что при кручении призматических(цилиндрических) стержней (валов, брусьев) сечения не остаются плоскими, а искривляются, причем все одинаково, независимо от состояния материала(упругое или чисто пластическое), ведет к следующим соотношениям для перемещений ( z - ось бруса):

u = -Jz y , v = Jz x , w = Jj(x, y) ,

где J - относительный угол закручивания (степень закручивания) бруса; функция j(x, y) представляет собой форму искривленной поверхности поперечного сече-

ния и носит название функции кручения, или функции депланации. Определяя напряженное состояние, получим:

Решение задачи кручения в напряжениях сводится к отысканию функции напряжений F = F(x , y ), которая вводится так, чтобы тождественно удовлетворить

дифференциальные уравнения равновесия:

100