Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

Выполнение граничного условия в напряжениях на боковой поверхности или, что то же самое, на контуре поперечного сечения бруса L (поскольку рассматриваемые величины не зависят от переменной z ) приводит к требованию:

d F / d s = 0 Þ F = C на L ,

однако в рассматриваемом случае односвязной области постоянная C может быть принята равной нулю ( C = 0 ).

Выполнение граничных условий на торце бруса приводит к соотношению, связывающему крутящий момент М и функцию напряжений F :

М = 2 òò F(x, y)dxd y .

Определение функции напряжений F = F(x , y ) путем решения соответст-

вующего дифференциального уравнения, следующего либо из уравнений Бельтрами - Митчелла (упругое решение), либо из условия пластичности (пластическое решение), достаточно сложно.

Рассмотрим упругопластическое решение поставленной задачи с применением принципа минимума дополнительной работы в форме (4.19).

Вариации касательных напряжений определяются вариацией функции напряжений:

Поскольку функция напряжений на контуре равна нулю, то и вариация dF в этих точках обращается в нуль.

Вычислим работу поверхностных сил (объемные силы равны нулю). На закрепленном торце z = 0 имеем, что l = m = 0 , n = -1 . Соответственно, для вариаций поверхностных сил получаем:

dZ = dtzx l + dtzy m + dsz n = 0 ,

101

однако работа поверхностных сил равна нулю за счет равенства нулю перемеще-

который равен нулю, поскольку в точках контура равна нулю вариация функции напряжений dF .

Окончательно работа поверхностных сил равна:

Поскольку распределение напряжений во всех сечениях бруса- одинаковое, дополнительная работа для всего бруса будет определяться соотношением:

В рамках деформационной теории пластичности плотность дополнительной работы в общем случае имеет вид

102

При кручении бруса реализуется состояние чистого сдвига. В этом случае

s0 = 0 , si = t 3 , ei = g / 3 ( t = t2zx + t2zy , g = g2zx + g2zy ), и для плотности дополнительной работы имеем:

Соответственно, дополнительная работа для всего бруса будет определяться соотношением:

С учетом полученных представлений для работы поверхностных сил(4.22) и дополнительной работы (4.23) уравнение (4.19) принимает вид

Уравнение (4.24) и является вариационным уравнением кручения бруса произвольного поперечного сечения при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями.

Примем, что скручивается брус квадратного поперечного сечения со стороной 2a . Материал бруса - сталь, поведение которой при кручении аппроксимируется диаграммой сдвига без площадки текучести с линейным упрочнением: модуль сдвига G , предел текучести tт , модуль упрочнения G т .

Представление диаграммы сдвига в форме уравнений имеет вид

где F = F(x, h) - функция напряжений в безразмерных координатах.

103

Вариационное уравнение (4.24) перепишем в виде

Очевидно, что в пределах упругости g = t/ G и Gk = G . За пределами упруго-

сти соотношение для Gk определяется с использованием уравнений (4.25).

Выберем функцию напряжений F = F(x, h) в виде

F = C1F1 + C2F2 ,

где C1 и C2 - постоянные коэффициенты, а F1 и F2 - функции x и h :

F1 = (x2 -1)(h2 -1) ,

F2 = (x2 -1)(h2 -1)(x2 + h2 ) .

Функции F1 и F2 выбраны так, чтобы они обращались в нуль на контуре квадрата при x = ± и h = ±1 . Отметим, что если использовать выбранную функ-

цию F = F(x, h) для решения упругой задачи, то полученные результаты будут достаточно близки к точному решению.

которые после преобразований принимают вид

A11C1 + A12C2 = Q1 ,

A12C1 + A 22C2 = Q 2 ,

Коэффициенты полученных уравнений представляются через функцииF1 и F2 следующим образом:

104

Коэффициенты Q1 и Q2 вычисляются без особых трудностей: Q1 = 8 aJ/ 9 ,

Q2 =16aJ/ 45 .

вого приближения. После этого по соответствующим формулам определяются напряжения в различных точках поперечного сечения и устанавливаются границы упругих ( t <tт ) и пластических ( t ³tт ) областей. Для построения первого при-

ближения вычисляются значения Gk(1) в разных точках поперечного сечения: в

касательное напряжение в нулевом приближении, а t*(0) - касательное напряже-

ние в этой же точке, соответствующее угловой деформации g0 = t0 / G , но най-

денное по диаграмме сдвига. После отыскания значений Gk(1) интегралы, опреде-

ляющие коэффициенты A11(1) , A12(1) и A(221) , вычисляются численно. Далее процесс повторяется по схеме, рассмотренной выше.

Практика расчетов показывает, что уже третье приближение обеспечивает достаточно высокую точность.

105

5. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности

5.1. Поведение упругопластических тел при циклическом нагружении в условиях линейного напряженного

состояния

Все рассмотренные до сих пор законы и уравнения теории пластичности построены для расчета элементов конструкций, работающих при статическом однократном нагружении. Однако нередко машины и сооружения испытывают воздействиемногократных нагружений, в том числе и с переменой знака.

При расчете на прочность элементов конструкций, работающих в условиях многократного (циклического) нагружения, необходимо учитывать изменение упругопластических свойств материала в зависимости от цикла нагружения. Наиболее важными являются характеристики, связанные с изменениемдиаграммы циклического деформирования (петли гистерезиса). Различают диаграммы, построенные при постоянном значении амплитуды напряжений(мягкое нагружение) и при постоянной амплитуде деформаций (жест-

кое нагружение).

Диаграммы циклического деформирования при мягком нагружении позволяют получить кинетику деформаций, которая необходима для определения деформационных свойств материала, а при жестком - кинетику напряжений.

По характеру изменения свойств при циклическом упругопластическом деформировании материалы разделяются на три основных типа:

-циклически стабильные, у которых характеристики сопротивления упругопластическому деформированию не зависят от числа циклов нагружения;

-циклически упрочняющиеся, у которых упомянутые характеристики возрастают с ростом числа циклов нагружения;

-циклически разупрочняющиеся, у которых характеристики со-

противления упругопластическому деформированию падают с ростом числа циклов нагружения.

106

Очевидно, что на характер процесса циклического деформирования существенное влияние оказывают и другие факторы: состояние материала, скорость деформирования, температура, форма цикла изменения напряжения и т.д.

При многократных нагружениях элементов конструкций за пределом упругости различают три основных вида деформирования:

-знакопеременная пластическая деформация;

-одностороннее нарастание пластической деформации;

-прекращение роста пластических деформаций после первого или нескольких начальных циклов нагружения.

При знакопеременной пластической деформации обычно после небольшого числа циклов наступает разрушение как результат пла-

стической, или малоцикловой усталости.

Нарастание пластической деформации одного знака(прогрессирующая деформация) приводит к недопустимому накоплению пластических деформаций и, в конечном итоге, к исчерпанию пластических свойств и разрушению.

Случай, когда после первого или нескольких циклов нагружения прекращается рост пластических деформаций, означает, что материал благодаря возникновению благоприятного поля(«обратного» знака) остаточных напряжений переходит в упругое состояние, и при дальнейшем многократном нагружении пластические деформации уже не возникают.

Число циклов нагружения, при котором наступает разрушение материала, называется предельным. Зависимость между числом циклов до разрушения и величиной пластической деформации за один цикл (зависимость Мэнсона - Коффина) имеет вид

e p N a = M ,

где e p - пластическая деформация за цикл; N - число циклов до

разрушения; M , a - постоянные (характеристики) материала. Зависимость Мэнсона - Коффина принимается как основная для

определения предельного числа циклов при одноосном напряженном состоянии. Однако ее применение ограничивается циклически

107

стабильными материалами, поскольку предполагается, что пластическая деформация не изменяется от цикла к циклу. В общем случае с увеличением числа циклов пластическая деформация за цикл уменьшается или увеличивается, и здесь рекомендуется зависимость более общего вида:

e = M N a + B N -g , E

где M , a , B , g - постоянные материала, которые определяются

либо по результатам испытаний, либо по соответствующим соотношениям, включающим в себя некоторые статические механические характеристики (модуль упругости, предел текучести, временное сопротивление и др.). Как пример второго варианта, приведем зависимость, позволяющую определить предельное число циклов для пластичных материалов:

где y - характеристика материала при разрыве.

Приведенные зависимости построены с использованием параметров статического повреждения (пластической или полной деформации). Аналогично строятся зависимости, определяющие предельное число циклов, с использованием параметров усталостного повреждения. В качестве таких параметров принимаются, например, энергия, накопленная за счет пластического деформирования, или энергия, связанная с процессом упрочнения.

5.2. Поведение упругопластических тел при циклическом нагружении в условиях сложного напряженного состояния

Рассмотрение даже основных свойств упругопластического деформирования материалов при циклическом нагружении указывает на их большое разнообразие. Естественно, учесть это разнообразие

108

при построении уравнений теории циклической пластичности в условиях сложного напряженного состояния практически невозможно. Соответственно, здесь используются следующие допущения (гипотезы), справедливые для любого цикла многократного нагружения:

- если материал элемента конструкции нагружен за предел упругости (текучести), то его разгрузка и последующее повторное нагружение происходит по линейному закону (рис. 5.1);

-принятая прямая разгрузки и последующего повторно-

го нагружения параллельна соответствующей прямой упругого нагружения;

-при повторном нагружении за предел упругости -на гружение происходит так же, как и в отсутствие разгрузки, т.е. по кривой, характеризующей упругопластические свой-

ства материала в исходном

состоянии; - при знакопеременном нагружении до появления пластических

деформаций обратного знака разгрузка происходит по прямой, параллельной прямой упругого нагружения. Вследствие эффекта Баушингера в зависимости от направления нагружения пределы текучести sтсж принимают различные значения.

Перечисленные упрощения поведения материала при циклическом нагружении позволяют в рамках деформационной теории построить уравнения, описывающие состояние материала при разгрузке и при повторном нагружении. Отметим, что при повторном нагружении необходимо различать два случая:

- повторное нагружение проводится силами обратного знака по сравнению с силами при первом нагружении(переменное нагружение);

- силы при повторном нагружении имеют тот же знак, что и при первом нагружении.

109

Однако очевидно, что решение полной нелинейной системы уравнений представляет большие математические трудности.

При расчете элементов конструкций, работающих в условиях многократного нагружения, важное значение имеют общие теоремы циклической пластичности:

-теорема о простом нагружении, определяющая условия, при выполнении которых обеспечивается простое нагружение при наличии знакопеременных пластических деформаций;

-первая теорема о переменном нагружении, позволяющая определить компоненты напряжений и деформаций при повторном знакопеременном нагружении, если известно решение соответствующей задачи при первом нагружении тела, находящегося в естественном ненапряженном состоянии;

-вторая теорема о переменном нагружении, позволяющая определить компоненты напряжений и деформаций при новом нагружении упругопластического тела после его разгрузки из состояния,

вкотором оно находилось под действием знакопеременных объемных и поверхностных сил;

-теорема о вторичных пластических деформациях, позволяющая определить остаточные напряжения и деформации, появляющиеся в теле после его упругопластического деформирования и последующей разгрузки (если при разгрузке вторичные пластические деформации не появляются, теорема формулируется как теорема Ильюшина А.А. об упругой разгрузке).

Задача

5.1. Упругопластическое деформирование толстостенного цилиндра под действием переменного внутреннего давления.

Будем считать, что циклическое изменение внутреннего давления p происходит по схеме 0 ® p ® 0 ® p ® .. .

Задачу рассмотрим в простейшей постановке, принимая, что цилиндр выполнен из несжимаемого идеального упругопластического материала, и пренебрегая эффектом Баушингера.

Упругопластическое решение задачи построим в предположении[10 ], что в

цилиндре реализуется состояние плоской деформации ( e z = 0 ).

110