Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

Распределение напряжений в упругой трубе описывается известными формулами Ламе:

Осевое напряжение sz , соответственно, равно:

s = (s + s ) = ~ . z r j / 2 p

Интенсивность касательных напряжений в упругой задаче будет определяться соотношением:

Поскольку интенсивность касательных напряжений принимает наибольшее значение при r = a , первые пластические деформации появятся именно на внут-

ренней поверхности цилиндра. Реализуя условие пластичности Мизеса- Генки при r = a , определим давление pт , при котором появятся первые пластические деформации:

Внося полученное соотношение в дифференциальное уравнение равновесия

dsrp + srp - sjp = 0 dr r

и выполняя интегрирование при граничном условии s p = = - p , находим рас- r r a

пределение напряжений в пластической зоне:

111

Полученное распределение напряжений в пластической зоне позволяет определить предельное давление p* , при котором пластические деформации распро-

страняются на все сечение. Будем иметь:

которое решается численно или графически. Очевидно, что предельное давление

Таким образом, упругопластическое решение задачи построено полностью, и это решение определяет напряженное состояние рассматриваемого толстостенного цилиндра при первом нагружении 0 ® p . После разгрузки p ® 0 в цилиндре появляются остаточные напряжения, которые равны разностям напряжений упру-

112

гопластического состояния (5.2) , (5.3) и упругого (5.1). Наибольшее (сжимающее) окружное остаточное напряжение будет действовать на внутренней поверхности

Наибольшее значение интенсивность касательных остаточных напряжений достигает на внутренней поверхности цилиндра при r = a :

Очевидно, что вторичные пластические деформации возникнут, если будет выполняться условие:

В этом случае при циклическом нагружении в зоне, примыкающей к отверстию, будут иметь место пластические деформации разного знака, что приведет к разрушению из-за «пластической усталости».

Отметим, что поскольку давление p не должно превосходить предельное дав-

только в достаточно толстостенной трубе, например b ³ 2,5a .

Если p < p1 , то при повторном нагружении 0 ® p будем иметь только упру-

гие деформации. Это объясняется тем, что в цилиндре имеются остаточные деформации обратного знака, которые как бы повышают предел упругости. В таком

113

случае говорят, что конструкция приспособилась к циклическому нагружению благодаря возникновению благоприятного поля остаточных напряжений. Неравенство p < p1 определяет область приспособляемости (область допустимых

изменений нагрузки).

5.3. Приспособляемость упругопластических тел при циклическом нагружении

К общим теоремам циклической пластичности относят теои - ремы приспособляемости упругопластических конструкций при действии циклических нагрузок.

Как уже отмечалось, понятие «приспособляемость» связано с возможностью прекращения роста пластических деформаций в том или ином элементе конструкции после первого или нескольких начальных циклов нагружения. Пластическое деформирование на ранней стадии нагружения может привести к возникновению остаточных напряжений, сумма которых с напряжениями, соответствующими упругому поведению тела при последующем воздействии нагрузок (изменяющихся в заданных пределах), ни в одной точке не нарушает условия пластичности(не превышает предела текучести).

Соответственно возникает задача об определении таких максимальных интервалов изменения внешних нагрузок, при которых возможна приспособляемость конструкции. Очевидно, что выяснение условий приспособляемости (области допустимых изменений нагрузок) должно опираться на анализ упругопластического равновесия рассматриваемого тела, который весьма затруднителен для более или менее сложных задач.

Теоремы приспособляемости устраняют эту трудность, поскольку позволяют найти верхнюю и нижнюю границы нагрузок для области приспособляемости. При этом необходимость анализа упругопластического состояния элемента конструкции отпадает; здесь достаточно использовать решение соответствующей упругой задачи, что значительно проще.

5.3.1. Статическая теорема приспособляемости

Рассмотрим идеальное упругопластическое тело, находящееся под действием объемных X , Y , Z и поверхностных X , Y , Z

114

сил, медленно меняющихся (так, что можно пренебречь динамическими эффектами) с течением времени в любой последовательности в заданных пределах. Поверхностные силы считаем распределенными на части поверхности телаSF . Заданные на части по-

верхности S u перемещения принимаются равными нулю.

Если известна история нагружения, то можем определить на-

пряжения sx , sy , . . . , tzx и деформации ex , ey , . . . , gzx , имеющие место в рассматриваемом упругопластическом теле, для некоторого момента нагружения.

Примем, что значения напряжений и деформаций при действии нагрузки в этот же момент нагружения в соответствующем идеаль-

но упругом теле равны s*x , s*y , . . . , t*zx и e*x , e*y , . . . , g*zx .

Остаточные напряжения s0x , s0y , . . . , t0zx и деформации e0x , e0y , . . . , g0zx , появляющиеся в упругопластическом теле после пол-

ной разгрузки, при отсутствии вторичных пластических деформаций вычисляются как разности:

e0xe , e0ye , . . . , g0zxe , соответствующие остаточным напряжениям. По-

скольку нагрузки переменны, все перечисленные напряжения и деформации являются медленно меняющимися функциями времени.

115

С учетом полученных соотношений (5.5) из (5.4а) следует:

ex = e0xe + e*x + exp , e y = e0ye + e*y + e yp , . . . , g zx = g0zxe + g*zx + gzxp .

Допустим теперь, что найдено некоторое фиктивное поле оста-

точных напряжений sx , sy , . . . , tzx , не зависящее от времени. В

качестве такого поля напряжений можно принять любое нетривиальное решение однородных дифференциальных уравнений равновесия, удовлетворяющее нулевым граничным условиям на части поверхности тела SF . Через ex , ey , . . . , gzx обозначим деформа-

условимся называть безопасным, если при любых изменениях нагрузок в заданных пределах условие текучести не достигается (поведение материала является упругим).

Поле напряжений

условимся называть допустимым, если при изменениях нагрузок в заданных пределах условие текучести может достигаться.

Статическая теорема приспособляемости (теорема Мелана) утверждает:

приспособляемость наступит, если можно найти такое не зависящее от времени поле фиктивных остаточных напряжений

sx , sy , . . . , tzx , что при любых изменениях нагрузки в заданных

116

пределах сумма этого поля с полем напряжений в идеально упругом теле s*x , s*y , . . . , t*zx безопасна (достаточное условие);

приспособляемость невозможна, если не существует никакого не зависящего от времени поля фиктивных остаточных напряже-

ний sx , sy , . . . , tzx , так чтобы сумма этого поля с полем на-

пряжений в идеально упругом теле s*x , s*y , . . . , t*zx была допус-

тима (необходимое условие).

Необходимое условие очевидно: если не существует никакого не зависящего от времени поля фиктивных остаточных напряжений

sx , sy , . . . , tzx , то нет никакого допустимого распределения ос-

таточных напряжений sax , say , . . . , tazx и приспособляемость в принципе не может возникнуть.

Допустим теперь, что надлежащее поле фиктивных остаточных напряжений sx , sy , . . . , tzx существует.

висят от времени, то, переходя к соответствующей мощности, получим:

Сопоставляя соотношения (5.4а) и (5.5), будем иметь:

117

e0xe = ex - e*x - exp , e0ye = e y - e*y - e yp , . . . , g0zxe = gzx - g*zx - g zxp .

В этом случае

- òòò [(s0x - sx )xxp + (s0y - sy )xyp + ...]dV .

V

Рассмотрим мощность внутренних сил, определяемую первым

слагаемым. Разности напряжений s0x - sx , s0y - sy , . . . , t0zx - tzx удовлетворяют уравнениям равновесия при нулевых внешних си-

лах, а скорости деформаций xx - x*x , xy - x*y , . . . , hzx - h*zx отвечают условиям совместности скоростей деформаций и являются кинематически возможными. Мощность соответствующих внешних сил равна нулю: внешние силы на SF равны нулю, а на S u

равны нулю скорости перемещений vx - v*x , vy - v*y , vz - v*z . Сле-

довательно, равна нулю и мощность внутренних сил, определяемая первым слагаемым соотношения (5.8). Соответственно, имеем:

Учитывая соотношения (5.4) и (5.6), уравнение (5.9) перепишем в форме:

118

Используя представление о выпуклости поверхности нагружения (пластичности) для идеального упругопластического тела, можно показать, что

( sx - ssx ) xxp + ( sy - ssy ) xyp + . . . + (tzx - tszx ) hzxp > 0 ,

Таким образом, правая часть уравнения (5.10) отрицательна, по-

~

d П / dt = 0 ). Остаточные напряжения не будут далее изменяться во

времени; при изменении нагрузок тело будет испытывать только упругие деформации.

Теорема приспособляемости Мелана используется для определения нижних границ допустимых изменений циклических нагру-

зок, поскольку поле остаточных напряжений sx , sy , . . . , tzx вы-

бирается так, чтобы область допустимых изменений нагрузок была наибольшей. В этом плане отыскание оптимального поля остаточных напряжений, максимально расширяющего область приспособляемости, составляет отдельную задачу. Заметим также, что при определении допустимых нагрузок следует рассматривать только нагрузки, которые меньше предельных.

5.3.2. Кинематическая теорема приспособляемости

Как и при рассмотрении статической теоремы приспособляемости, примем равными нулю перемещения, заданные на части поверхности S u , а поверхностные силы, медленно изменяющиеся в

заданных пределах, считаем распределенными на части поверхности тела SF .

Возьмем некоторое произвольное поле скоростей пластической деформации xxp0 , xyp0 , . . . , hzxp 0 . Будем называть его допусти-

119

мым, если приращения пластических деформаций за некоторый интервал времени t

образуют кинематически возможное поле, т.е. приращения дефор-

маций Dxxp0 , Dxyp0 , . . . удовлетворяют условиям совместности, а

соответствующие перемещения - нулевым граничным условиям на части поверхности S u .

Учитывая, что полные скорости деформаций складываются из упругих и пластических, и принимая во внимание соотношения (5.4а), получим:

следовательно, тем же законом связаны разности скоростей дефор-

ждать, что скорости упругих деформаций xex0 , xey0 , . . . определя-

120