Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

AB , BC и т.д. Вершины шестиугольника будем называть, соответственно, режимами A , B , C и т..д Очевидно, что уравнения плоского напряженного состояния различны для различных режимов. Решение конкретных задач обычно требует рассмотрения пластического деформирования в разных режимах, реализующихся в тех или иных частях пластической зоны.При этом нетрудно ошибиться и выбрать неправильную компоновку различных областей напряженного состояния, что иногда приводит к неверным заключениям. Для выбора правильной конструкции решения необходимо тщательное построение согласованного поля скоростей деформаций.

Проведем построение решений для разных режимов.

Режимы AB и DE . Для режимов AB и DE главные напряже-

Þ (sx - sy )2 + 4t2xy = 4t2т ,

т.е. тот же самый вид, что и в случае плоской деформации. Соответственно, все результаты, полученные при решении задачи о плоской деформации, полностью переносятся на случай тонкой пластинки. Отметим только, что в случае пластинки имеют место ограничения на величину главных напряжений, например, для режима DE : s1 < sт , s2 < sт .

0 < s2 <sт . Положим s1 - s2 = 2 sтc , где c = c (x , y) - неизвестная функция. Тогда сумму главных напряжений можем записать в форме уравнения

61

s1 + s2 = 2 sт k (1 - c ) ,

где k = sign s1 = sign s2 . Для режима CD имеем k = +1 , для режи-

ма EF - k = -1 .

Выписанные два уравнения относительно s1 , s2 действительно

представляют значения главных напряжений на данных режимах. Так, на режиме CD имеем:

2s1 = 2 sт (c +1 - c ) Þ s1 = sт ,

2s2 = 2 sт (1 - c - c ) Þ s2 = sт (1- 2c ) .

Таким образом, условие пластичности удовлетворено, если главные напряжения s1 , s2 представлены посредством функции

c = c (x , y) следующим образом:

Преобразование дифференциальных уравнений равновесия проведем по схеме, принятой в разд. 3.2.

Перейдем к напряжениям s x , s y и txy , используя их пред-

ставления через главные напряжения s1 , s2 . Будем иметь:

где a = a (x, y) - угол между направлением s1 и осью x .

Подставим найденные значения напряженийs x , s y и txy в

дифференциальные уравнения равновесия. После некоторых преобразований находим два уравнения относительно двух неизвестных функций c = c (x , y) и a = a (x, y):

62

Исследование системы уравнений (3.9) с использованием общего (детерминантного) метода позволяет установить наличие только одного семейства действительных характеристик:

Данное обстоятельство показывает, что система уравнений (3.9) является системой параболического типа.

Интегрируя дифференциальные уравнения характеристических линий, получаем:

прямолинейными траекториями численно меньшего главного -на пряжения s2 . Для режима EF имеем, что s2 = -sт , k = -1 , и характеристики проходят по прямолинейным траекториям главного напряжения s1 .

63

где F(a) - произвольная функция, определяемая из граничных условий.

Рассмотрение второго уравнения системы (3.9) с учетом уравнения характеристических линий (3.10)позволяет утверждать, что вдоль характеристической линии справедливо соотношение:

Вычислим производную ¶a / ¶x , дифференцируя общее решение первого уравнения (3.11) по x , внесем ее в последнее соотношение и выполним интегрирование. Описанная процедура позволяет получить общее решение второго уравнения:

где Y(a) - произвольная функция, определяемая из граничных условий.

Отметим очевидное решение

a = const , c = const ,

определяющее равномерное распределение напряжений.

Режимы C и F . Для рассматриваемых режимов можем записать, что s1 = s2 = k sт , где для режима C имеем k = +1 , а для режима F - k = -1 .

64

Переходя к напряжениям s x , s y и txy , получим:

sx = sy = ksт , txy = 0 .

Очевидно, что дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются, и рассматриваемые режимы отвечают равномерному гидростатическому напряженному состоянию в плоскости x , y .

Режимы A и D . Для рассматриваемых режимов имеем s1 = k sт , s2 = 0 (одноосное растяжение или сжатие).

Определяя напряжения s x , s y и txy , будем иметь:

Подставив найденные соотношения в дифференциальные уравнения равновесия, находим, что угол наклона главного напряжения s1 является постоянной величиной ( a = const ), что определяет поле однородного растяжения или сжатия.

Результаты, полученные для рассмотренных режимов, без труда переносятся на оставшиеся режимы с внесением соответствующих изменений в обозначениях.

Задачи

3.1. Бесконечная пластинка с круговым отверстием, растягиваемая симметрично относительно центра отверстия.

Решение с привлечением условия пластичности Мизеса - Генки. Очевидно,

что для рассматриваемой задачи касательное напряжение trj равно нулю, а нор-

мальные напряжения sr и sj являются главными напряжениями. Условие пла-

стичности Мизеса - Генки в главных напряжениях

s21 - s1s 2 + s22 = s2т

можно удовлетворить, полагая

65

равновесия

dsr + sr - sj = 0 dr r

и проведя некоторые преобразования, приходим к дифференциальному уравнению относительно функции w = w (r , j)º w (r )

( 3 + ctg w)w + 2 dr = 0 , r

решение которого имеет вид

r 2 = C e- w 3 , sin w

где C - постоянная интегрирования.

Если принять, что на бесконечности растягивающее усилие (напряжение) рав-

Рассмотрение соотношений (3.13) показывает, что напряжение sr будет рав-

няться нулю только при w = p/ 3 ( 0 £ w £ p ). Соответственно, граничное условие на контуре кругового отверстия позволяет определить постоянную интегрирования C :

функцию w = w (r ), принимает вид

66

Отметим, что функция w = w (r ) не должна менять знак; это следует из выпи-

санного уравнения для w , поскольку (r / a 2)> 0 .

Определим значение w при r ® ¥ , представив (3.14) в более удобном виде:

симости (3.14) определяют уравнения характеристик в параметрической форме.

67

мере удаления от контура кругового отверстия угол между характеристиками двух семейств (область гиперболичности) убывает, и при w = p/ 6 характеристики обе-

рактеристик нет (область эллиптичности).

Построения характеристических линий показано на рис. 3.7.

Слияние характеристик имеет место при

Решение с привлечением условия пластичностиТреска - Сен-Венана. По-

скольку нормальные напряжения sr и sj являются главными напряжениями,

причем sj > sr , условие пластичности имеет вид sj = sт . Соответственно, дифференциальное уравнение равновесия

dsr + sr - sj = 0 dr r

можем разрешить относительно напряжения sr . Будем иметь:

Граничные условия имеют тот же вид

Граничное условие на контуре кругового отверстия позволяет определить постоянную интегрирования С = - sт a и записать окончательный вид соотношения

для напряжения sr :

68

Очевидно, что если при r ® ¥ имеем q < sт , то, независимо от используемо-

го условия пластичности, пластическая область будет заполнять не всю плоскость вне кругового отверстия, а только некоторое кольцо между окружностью радиусом r = a и окружностью радиусом r = с , разделяющей пластическую и упругую области. В этом случае задача решается с привлечением условий непрерывности напряжений на границе раздела.

При небольшой величине давления p пластинка находится в упругом состоянии и в полярной системе координат r , j напряжения sr и sj ( trj = 0 ) будут определяться известными соотношениями:

r = a . Давление pт , соответствующее первым пластическим деформациям, определится из условия пластичности, записанного для r = a . Используя, например, условие пластичности Треска - Сен-Венана, получим:

69

Этот же результат получим и при использовании условия пластичности Мизеса - Генки.

С возрастанием давления область пластического деформирования материала увеличивается и трансформируется в кольцо a £ r £ c , радиус c которого подлежит определению.

Очевидно, что в упругой области r ³ c напряжения должны определяться соотношениями:

ser = - tт (c / r 2) , sej = tт (c / r 2) .

Построение решения задачи в пластической областиa £ r £ c определяется используемым для этой цели условием пластичности.

Решение с привлечением условия пластичности Мизеса - Генки. Поскольку пластическая зона примыкает к круговому контуру, нагруженному равномерно распределенной нагрузкой, то напряженное состояние в этой зоне- осесимметричное.

Решение осесимметричной задачи с использованием условия пластичности Мизеса - Генки известно (см. задачу 3.1):

70