Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

щения u и v (и скорости перемещений v x и vy ) являются функ-

циями только переменных x и y .

Будем считать, что приложенные нагрузки таковы, что имеет место пластическое деформирование материала и что деформирование происходит по схеме жесткопластического тела. Упругопластические задачи будем оговаривать особо.

Основные уравнения плоского напряженного состояния. Для плоского напряженного состояния при отсутствии объемных сил дифференциальные уравнения равновесия принимают вид

При решении задачи в скоростях деформаций(или в скоростях перемещений) будем использовать соотношения Сен-Венана - Леви - Мизеса для жесткопластического несжимаемого тела:

xx = xy = hxy . sx - s sy - s 2txy

Принимая во внимание, что s = (sx + s y )/ 3 (поскольку sz = 0 ),

и учитывая зависимости между скоростями деформаций и скоростями перемещений (зависимости типа Коши), соотношения СенВенана - Леви - Мизеса перепишем в виде

К уравнениям (3.1) и (3.2) необходимо добавить условие пластичности Треска - Сен-Венана или Мизеса - Генки.

51

Условие пластичности Мизеса- Генки si = sт для плоского напряженного состояния принимает вид

Рис. 3.1 ветственно, равны 2 sт и 2 tт . Отметим, что максимальные касательные напряженияtmax ,

входящие в условие пластичности Треска- Сен-Венана, в зависимости от знака главных напряжений s1 , s2 действуют на разных

площадках. Так, если напряжения s1 , s2 имеют разные знаки, то

подобно случаю плоской деформации максимальное касательное напряжение равно

и действует на площадках, нормальных к плоскости x , y (1, 2 ) и

делящих пополам угол между направлениями s1 и s2 (рис. 3.2, а).

При этом на плоскости x , y будут два ортогональных семейства линий скольжения.

52

Здесь будем иметь одно семейство линий скольжения, направление которых совпадает с направлением s2 .

Таким образом, условие пластичности Треска- Сен-Венана

угольник, вписанный в эллипс Мизеса - Генки.

Окончательно, для решения задачи пластического плоского напряженного состояния (для отыскания пяти неизвестных: трех напряжений s x , s y , txy и двух скоростей перемещенийv x , vy )

имеем пять уравнений: два дифференциальных уравнения равновесия (3.1), два соотношения Сен-Венана - Леви - Мизеса (3.2) и ус-

53

ловие пластичности Мизеса - Генки (3.3) или Треска - СенВенана (3.3а).

Совместное решение полученной нелинейной системы уравнений представляет большие математические трудности. Однако, как и в случае задач плоской деформации, возможно разбиение системы уравнений на две группы, решаемых последовательно.

В частности, если на границе тела заданы поверхностные силы, то дифференциальных уравнений равновесия(3.1) и условия пластичности (3.3) или (3.3а) достаточно для определения напряженного состояния независимо от определения деформированного состояния. Напомним, что задачи такого типа называютстатически определимыми, однако добавим, что здесь статическая определи-

мость - условная.

После отыскания поля напряжений далее могут быть найдены скорости перемещений, причем система уравнений для их определения является линейной.

3.2. Построение решений с использованием условия пластичности Мизеса - Генки

Рассмотрим решение задачи плоского напряженного состояния в напряжениях.

Условие пластичности Мизеса - Генки в главных напряжениях

s21 - s1s 2 + s22 = s2т

можно удовлетворить, полагая

где w = w (x , y) - новая (неизвестная) функция, характеризующая

положение точки на эллипсе (рис. 3.3).

54

При условии s1 ³ s2 угол w

напряжения s x , s y и txy , то перейдем к этим напряжениям,

представляя их через главные с помощью известных формул - со противления материалов:

где a = a(x, y) - угол между направлением s1 и осью x . С учетом соотношений (3.4) будем иметь:

Отметим, что, в отличие от случая плоской деформации, из полученных формул вытекают ограничения на значения напряжений:

дифференциальные уравнения равновесия. Далее умножим первое уравнение на cos 2a , второе - на sin 2a и сложим получившиеся уравнения. Затем умножим первое уравнение на sin 2a , второе - на cos 2a и вычтем получившиеся уравнения. В результате преобра-

55

зований будем иметь два уравнения относительно двух неизвестных функций a = a (x, y) и w = w (x , y):

Методы построения решений системы уравнений в частных производных (3.5) и свойства решений полностью определяются типом (гиперболическим, параболическим или эллиптическим) этой системы.

Тип системы уравнений обычно выясняют с использованием «детерминантного» метода, который достаточно подробно рассматривался при установлении типа системы уравнений, полученной при решении задачи о плоской деформации (см. разд. 2.2.1). Не останавливаясь на деталях применения метода в рассматриваемом случае, приведем лишь некоторые окончательные результаты:

56

Анализ дифференциальных уравнений характеристических линий показывает, что исходная система уравнений в частных производных (3.5) имеет два различных семейства вещественных характеристик, т.е. будет гиперболической, если

Значения w , соответствующие гиперболичности системы уравнений (3.5), на эллипсе (рис. 3.3) очерчены жирными линиями.

Система уравнений (3.5) будет иметь лишь одно семейство вещественных характеристик, т.е. будет параболической, в случае

система уравнений (3.5) не имеет вещественных характеристик, т.е. является эллиптической. Точки на эллипсе, соответствующие эллиптичности системы уравнений (3.5), очерчены тонкими линиями

(см. рис. 3.3).

Отметим, что тип системы уравнений (3.5) можно связать с величиной среднего нормального напряжения s , определив его как функцию угла w . Можем получить:

ности - s > tт .

Итак, при рассмотрении системы дифференциальных уравнений в частных производных (3.5) могут встретиться различные области

57

решений (гиперболичности, параболичности, эллиптичности), причем границы областей заранее неизвестны. Данное обстоятельство существенно затрудняет решение многих задач плоского напряженного состояния по сравнению с решением соответствующих задач плоской деформации.

Рассмотрим более подробно свойства решений для каждой из трех областей отдельно.

Область гиперболичности

В области гиперболичности дифференциальные уравнения -ха рактеристических линий (3.6) можно записать в более простом виде, вводя новую функцию y = y (x , y) следующим образом:

причем угол y изменяется в пределах 0 < y < p / 2 .

Действительно, после некоторых несложных преобразований можем получить:

d y = tg (a ± y ). d x

венно, для двух семейств характеристических линий, которые будем различать параметрами a и b , можем записать:

58

Характеристики пересекаются под углом 2y

и образуют неортогональную сетку кривых (рис. 3.4), не совпадающую, очевидно, с сеткой линий скольжения. Главные направления делят углы между характеристиками пополам.

Характеристики обладают рядом свойств, аналогичных некоторым свойствам линий скольжения, рассмотренных в задаче о плоской деформации.

Исходная система дифференциальных уравнений в частных производных (3.5) является приводимой и линеаризуется путем обращения переменных (аналогично уравнениям плоской деформации).

Так же, как и в задаче о плоской деформации, здесь имеют ме-

сто интегралы плоского напряженного состояния, соответствую-

щие простому и равномерному напряженным состояниям.

Можно показать, что в случаеравномерного напряженного со-

стояния ( x = x0 , h = h0 ) сетка характеристик образуется двумя не-

ортогональными семействами параллельных прямых, пересекающихся под углом 2y .

В простом напряженном состоянии ( x = x0 или h = h0 ) лишь одно семейство характеристик состоит из прямых линий.

Так же, как и в задаче о плоской деформации, имеет место теорема:

к области равномерного напряженного состояния может примыкать лишь область простого напряженного состояния.

Области параболичности и эллиптичности

В точках параболичности S(w )= 3 - 4cos 2 w = 0 и w имеет постоянное значение p/ 6 или 5p / 6 . Оба семейства характеристик сливаются в одно ( y = 0 ), но семейства различны при w , равном p / 6 и 5p / 6 . Действительно, имеем:

59

- при w = p / 6

Из исходной системы дифференциальных уравнений(3.5) следует a = const (поскольку w имеет постоянное значение). Соответственно, семейство характеристик является семейством параллельных прямых, и, таким образом, решение приводит к равномерным напряженным состояниям частного вида.

Вобласти эллиптичности построение решений исходной системы дифференциальных уравнений(3.5) связано с большими трудностями; общие методы решения здесь отсутствуют, имеются лишь решения для осесимметричных задач.

3.3.Построение решений с использованием условия пластичности Треска - Сен-Венана

Вразд. 3.1 получена система уравнений плоского напряженного состояния для решения в напряжениях, включающая условие пла-

стичности Треска - Сен-Венана или Мизеса - Генки.

Условие пластичности Треска- Сен-Венана, записанное в форме уравнений (3.3а), в плоскости s1 ,

60