Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

Таким образом, если на границе тела заданы поверхностные силы, то задача определения напряжений во всех точках тела сводится к интегрированию гиперболической системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных при известных (заданных) граничных условиях.

2.2.2. Линеаризация уравнений М. Леви. Интегралы плоской деформации

Система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (2.7) может быть линеаризована.

Введем в произвольной точке линии скольжения локальную систему координат s1 и s 2 , в которой координатные оси совпада-

ют с направлениями касательных к линиям скольженияa и b соответственно. В новых координатах система нелинейных дифференциальных уравнений (2.7) не меняет своей формы, но поскольку для рассматриваемой точки угол q равен нулю (ось x совпадает с направлением s1 ), принимает более простой вид

Полученные уравнения являются, по смыслу, дифференциальными уравнениями равновесия бесконечно малого элементапластической среды, образованного сеткой линий скольжения.

Поскольку локальную систему координат s1 и s 2 ввели в про-

извольной точке линии скольжения, то вдоль линий скольжения a и b , соответственно, имеем:

21

Здесь x и h - постоянные вдоль линий скольжения a и b .

При переходе от одной линии скольжения a к другой линии a1 этого же семейства параметр x меняется, т.е. x = x(b), поскольку переход от линии a к линии a1 идет по линииb . Аналогично имеем, что h = h(a ).

Очевидно, что если известны поле линий скольжения и значения параметров x = x(b ) и h = h(a) на них, то в каждой точке можем определить среднее напряжение s = tт (x + h) и угол q =(h - x)/ 2 , а затем и напряжения s x , s y и txy по формулам (2.6). Следова-

тельно, величины x и h можно рассматривать как новые неизвестные (новые определяемые функции) и ввести их в уравнения М. Леви (2.7), заменяя неизвестные s и q . После некоторых преобразований будем иметь:

¶x + ¶x tgq = 0 , ¶x ¶y

(2.8)

¶h - ¶h ctgq = 0 . ¶x ¶y

Полученная система уравнений представляет собой систему двух однородных нелинейных уравнений, так как их коэффициенты зависят от x и h . Но поскольку эти коэффициенты зависят только

от x и h , то рассматриваемая система уравнений приводится к ли-

нейной системе путем замены ролей определяемых функций и переменных. Подобные системы уравнений носят названиеприводи-

мых.

Пусть x = x (x, h), y = y (x, h). Дифференцируя, получим:

22

Представленные системы уравнений позволяют связать частные производные между собой:

якобиан преобразования. Получить теперь частные производные, необходимые для дальнейших преобразований, не представляет особого труда. Будем иметь:

С учетом полученных соотношений система уравнений(2.8) принимает вид

¶y -¶x tgq= 0 , ¶h ¶h

(2.9)

¶y + ¶x ctgq = 0 . ¶x ¶x

Система уравнений (2.9) является линейной с переменными ко-

эффициентами. Отметим, что в каждом из уравнений участвуют производные лишь по одной из переменных. Системы уравнений подобного типа носят название канонических.

Отметим, однако, что система уравнений (2.9) не эквивалентна исходной системе (2.8) и, соответственно, системе (2.7), поскольку в процессе преобразований теряются решения, для которых якобиан преобразований равен нулю. Но эти решения, часто встречающиеся в приложениях и носящие названиеинтегралов плоской де-

23

формации (интегралов плоской задачи, интегралов уравнений пла-

стичности), легко определяются непосредственно.

Действительно, уравнение D(x, h)= 0 с использованием соотношений (2.8) легко приводится к виду

Отсюда следует, что якобиан будет тождественно равен нулю только в трех случаях:

x = const = x0 .

Рассмотрим отдельно каждый из перечисленных случаев, предварительно напомнив, что по определению x и h - постоянные вдоль линий скольжения a и b . В рассматриваемых случаях речь

В соответствии с имеющимися соотношениями(2.6) для напряжений полученный результат определяет равномерное напряженное состояние sx = const , sy = const и txy = const .

24

Уравнения линий скольжения a и b в рассматриваемом случае

Интегрирование уравнений приводит к двум ортогональным семействам параллельных прямых:

y = x tgq* + C1 , y = -x ctgq* + C2 .

Второй случай. Условие h = const = h0 приводит к удовлетворению второго из уравнений (2.8), а первое из них можно свести к

Представленное уравнение является квазилинейным дифференциальным. Его интегральная поверхность определяется характеристиками, уравнения которых имеют вид

где C1 и C2 - постоянные интегрирования. Следовательно, одно семейство линий скольжения представляется прямыми линиями, определяемыми двумя параметрами C1 и C2 , а второе - ортогональными к ним кривыми.

25

Параметры s и q , определяющие напряженное состояние, в рассматриваемом случае имеют вид

s = tт (x + h0 ) , q =(- x + h0 ) / 2 Þ x = -2q + h0 .

С учетом последнего соотношения для среднего напряженияs имеем:

s = 2tт (h0 - q) .

Можно видеть, что при q = C1 , т.е. вдоль линий скольжения, представленных прямыми линиями, среднее напряжение s является постоянной величиной. Значит, и сами напряжения s x , s y , txy

постоянны вдоль прямых линий. Напряженные состояния такого типа называют простыми.

Третий случай подобен второму и рассмотрение его связано с повторением всех предыдущих рассуждений.

Решение системы уравнений (2.9) значительно проще, чем решение исходной системы нелинейных дифференциальных уравнений М. Леви (2.7), и соответствующие методы решений имеются в литературе. Однако напомним, что к уравнениям (2.9) или (2.7) необходимо добавить граничные условия для напряжений. В некоторых случаях решение краевой задачи плоской деформации можно построить, основываясь только на свойствах линий скольжения.

2.2.3. Свойства линий скольжения. Простые напряженные состояния

Свойства линий скольжения изучались Генки (1948 г.), который сформулировал несколько теорем, из которых рассмотрим первую, представляющую наибольший интерес для практического применения.

Первая теорема Генки:

если переходить от одной линии скольжения семействаb к

другой вдоль любой линии скольжения семействаa , то угол q и давление s будут изменяться на одну и ту же величину.

26

При заданных значениях параметров x и h на линиях скольже-

ния в каждой точке области можем определить среднее напряжение s = tт (x + h) и угол q =(h - x)/ 2 . Приведем значения напряжений s и q в точках пересечений линий скольжения (табл. 2.1):

Можно видеть, что изменения среднего напряжения s при переходе от точки A11 к точке A12 вдоль линии скольжения a1 и от

точки A21 к точке A22 вдоль линии скольжения a 2 будут опреде-

ляться одним и тем же соотношением:

и, тем самым, первая теорема Генки доказана.

27

Последнее соотношение имеет геометрическую трактовку:

угол пересечения касательных к двум линиям скольжения одного семейства в точках пересечения их линиями скольжения второго семейства не зависит от выбора последних.

Из доказанной теоремы следует:

если некоторый отрезок линии скольжения одного семейства, заключенный между двумя линиями скольжения второго семейства, является прямым, то все соответствующие отрезки линий этого семейства, отсекаемые линиями скольжения второго -се мейства, - прямые.

Данное утверждение следует из того, что изменение угла наклона касательной к двум точкам прямой линии равно нулю.

Остановимся на полях линий скольжения, определяющих простые напряженные состояния, когда одно семейство линий скольжения представляется прямыми линиями, а второе - ортогональными к ним кривыми.

Частный случай, когда сетка линий скольжения образована двумя ортогональными семействами параллельных прямых, рассмотрен в разд. 2.2.2. Показано, что такое поле линий скольжения определяет равномерное напряженное состояние sx = const , sy = const

и txy = const .

Важный частный случай простого поля напряжений определяет центрированное поле линий скольжения, образованное пучком прямых и концентрическими окружностями.

В рассматриваемом примере, когда линии скольжения a - прямые, имеем, что параметр h = const = h0 . В этом случае нормаль-

ные напряжения на радиальных и окружных площадках равны среднему напряжению s = 2tт (h0 - q) (см. разд. 2.2.2) и являются линейными функциями угла наклона прямых.

Из приведенных рассуждений вытекает важная теорема:

в области, соседней с областью равномерного напряженного состояния, всегда осуществляется простое напряженное состояние.

28

b в этой области. На основании следствия из первой теоремы Ген-

ки заключаем, что в области B одно семейство линий скольжения состоит из прямых линий ,исоответственно, поле напряжений в области B является простым. Значение параметра x для семейства

линий скольжения a в области B , очевидно, такое же, как и в области A , т.е. x = x0 .

Доказанная теорема позволяет конструировать поля скольжений, присоединяя одно поле к другому. Например, можно соединить две области равномерного напряженного состояния посредством областей простого напряженного состояния, в частности центрированным полем. Возможна реализация и более сложных вариантов.

2.3. Граничные условия для напряжений

Уже отмечалось, что для решения задачи определения напряжений при плоской деформации к уравнениям(2.7) или (2.9) необходимо располагать граничными условиями в напряжениях, т.е. представлениями величин s и q на поверхности тела (на контуре по-

29

где j - угол между нормалью и осью x .

Поскольку тело находится в пластическом состоянии, вместо напряжений sx , s y и txy подставим их значения, определенные

соотношениями (2.6):

Разрешив полученные соотношения относительно нужных -ве личин s и q , получим необходимые (разыскиваемые) граничные условия на контуре C :

где под arccos понимается его главное значение, а m - произвольное целое число.

Заметим, что среднее напряжение s и угол q из соотношений (2.10) определяются неоднозначно. Наличие двух решений для s и q , удовлетворяющих условию пластичности, объясняется квадратичным характером последнего.

В важном частном случае, когда на контуре тела касательная составляющая поверхностных сил отсутствует( tn = 0 ), уравнения (2.10) упрощаются:

30