Сапунов Теория пластичности 2011 (1)
.pdfются скоростями остаточных напряжений s& 0x0 , s& 0y0 , . . . , а скоро-
сти деформаций x0x0 , x0y0 , . . . связаны со скоростями напряжений s& 0x0 , s& 0y0 , . . . неоднородными линейными зависимостями (скоро-
сти деформаций xxp0 , xyp0 , . . . играют роль дополнительных «на-
ложенных» деформаций).
Рассматривая равновесие тела при нулевых нагрузках наSF и нулевых перемещениях на S u и при наличии упомянутых неодно-
родных линейных зависимостей как физического закона, найдем единственное распределение сопровождающих остаточных напря-
& 0 |
& 0 |
. . . , |
|
|
0 |
жений sx0 , |
sy0 , |
скоростей остаточных деформаций xx0 , |
|||
x0y0 , . . . и скоростей остаточных перемещений vx0 , |
vy0 , vz 0 . |
||||
Приращения перемещений за интервал времени t |
определяются |
||||
соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
t |
|
Du0 = ò vx0 dt , |
Dv0 = ò vy0 dt , Dw0 = ò vz 0 dt . |
||||
|
0 |
|
0 |
0 |
|
Поскольку |
за интервал времени t |
приращения |
пластических |
||
деформаций Dxp , |
Dxp |
, . . . образуют кинематически возможное |
|||
|
x0 |
y0 |
|
|
|
поле, кинематически возможны и приращения сопровождающих упругих деформаций Dxex0 , Dxey0 , . . . Остаточные напряжения s0x0 , s0y0 , . . . в конце цикла t = t возвращаются к своим началь-
ным значениям , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
s0x0 |
|
t =0 |
= s0x0 |
|
t =t |
, s0y 0 |
|
= s0y0 |
|
, . . . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
t =0 |
|
t =t |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
В этом случае
tt
ò xex0 dt = 0 , |
ò xey0 dt = 0 , . . . |
0 |
0 |
121
Кинематическая теорема приспособляемости(теорема Койтера) утверждает:
приспособляемость никогда не наступит вплоть до разрушения, если можно найти допустимый цикл скоростей пластической
деформации xxp0 , xyp0 , . . . , hzxp 0 и соответствующую программу
изменения внешних нагрузок в заданных пределах, для которого выполняется условие
|
t é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
t æ |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
& |
÷ |
|
|
|
|
ò ê |
òò |
(X v |
x0 |
|
|
|
y0 |
|
|
|
z0 |
)dS |
F |
ú |
|
òòò |
|
, |
|
|||||
|
+ Y v |
+ Z v |
|
ò ç |
A dV |
÷ |
dt |
(5.11) |
|||||||||||||||||
|
ê |
|
|
|
|
|
ú dt > |
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 ë |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
0 è |
V |
|
ø |
|
|
|
где |
& |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
- мощность пластической деформа- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
+ s y0 xy0 + ... |
||||||||||||||||||||
A = sx0 xx0 |
|||||||||||||||||||||||||
ции на допустимых скоростях x p |
, |
x p |
, . . . , |
hp |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
y 0 |
|
|
zx0 |
|
|
|
|
|
приспособляемость наступит, если при всех допустимых циклах скоростей пластических деформаций и любых нагрузках, изменяющихся в заданных пределах, можно найти число k >1, так что
|
t é |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
t æ |
|
|
ö |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
& |
÷ |
|
|
|
ò |
ê òò |
(X v |
x0 |
|
|
|
y0 |
|
|
|
z0 |
)dS |
F |
ú |
|
ò |
òòò |
dt . |
|
|||||
k |
+Y v |
+ Zv |
£ |
ç |
A dV |
÷ |
(5.12) |
||||||||||||||||||
|
ê |
|
|
|
|
ú dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 ë S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
0 è |
V |
|
ø |
|
|
||
Доказательств первой и второй части теоремы Койтера приводить не будем.
Выбирая допустимый цикл скоростей пластических деформаций xxp0 , xyp0 , . . . , hzxp 0 и записывая соотношение(5.11) со знаком
равенства, можно использовать теорему Койтера для определения верхних границ допустимых изменений циклических нагрузок (верхних границ приспособляемости). Отметим, что применение теоремы Койтера связано с бóльшими трудностями, чем применение теоремы Мелана.
Заметим, что из теорем приспособляемости, если заданные пределы изменения нагрузок совпадают, вытекают теоремы о предельной нагрузки.
122
Список литературы
1.Койтер В.Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
2.Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
3.Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968.
4.Бурлаков А.В. Основы теории пластичности и ползучести. Харьков: Изд-во ХГУ, 1968.
5.Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.
6.Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая шко-
ла, 1969.
7.Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.
8.Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1981.
9.Мирсалимов В.М. Неоднородные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987.
10.Сапунов В.Т. Основы теории пластичности и ползучести:
Учебное пособие. М.: МИФИ, 2008.
123
Владимир Тимофеевич Сапунов
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Плоская задача.
Экстремальные принципы и энергетические методы решения. Законы, уравнения и задачи циклической пластичности
Учебное пособие
Редактор М.В. Макарова
Оригинал-макет изготовлен В.Т. Сапуновым
Подписано в печать 10.12.2010. Формат 60х84 1/16.
Уч.-изд. л. 7,75. Печ. л. 7,75. Тираж 110 экз.
Изд. № 1/4/82. Заказ № 18
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское шоссе, 31
ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42