Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

Подставим полученное значение q в уравнение для линии скольжения a . После некоторых преобразований получим:

После некоторых преобразований в квадратных скобках и интегрирования уравнение, определяющее линию скольжения a , принимает вид

ln r = j Þ r = Aej . A

где A - постоянная интегрирования.

41

Аналогичным образом получим уравнение для линии скольженияb . Будем иметь:

r = Ae -j .

Таким образом, в задаче о нагружении толстостенной трубы внутренним давлением линии скольжения представляются семейством взаимно ортогональных логарифмических спиралей.

Перейдем к определению напряжений и нагрузки в предельном состоянии. Решение поставленной задачи здесь можно существенно упростить, принимая во внимание, что касательное напряжение trj равно нулю, а напряжения sr и sj

являются функциями только переменной r , причем sj > sr . В этом случае ус-

ловие пластичности (2.13) принимает вид

(sr - sj )2 + 4t2rj = 4t2т Þ sj - sr = 2 tт .

Добавив к полученному уравнению условие, выполняемое вдоль линии скольжения a , а именно:

где x - постоянная вдоль линий скольжения a , будем иметь два уравнения, ко-

торые рассматриваем как уравнения с двумя неизвестнымиsr и sj . Отметим,

что вместо условия, выполняемого вдоль линии скольжения a , можно взять аналогичное условие вдоль линии b .

Решение представленной системы уравнений позволяет получить:

ного сечения цилиндра. Выполняя граничное условие на внутреннем контуре при r = a , будем иметь:

42

С учетом найденного значения постоянной x напряжения принимают вид

Выполняя теперь граничное условие на внешнем контуре приr = b , получим соотношение, определяющее предельное давление p пр :

Окончательно, для напряжений будем иметь:

Отметим, что полученные соотношения для напряжений полностью совпадают с теми, которые следуют из решения упругопластической задачи о нагружении толстостенной трубы внутренним давлением для случая, когда материал не имеет упрочнения.

2.4. Тело с цилиндрической полостью, растягиваемое на бесконечности (решение Л.А. Галина).

43

состоянии, и решение находится достаточно просто методом Колосова- Мусхелишвили1 с использованием функций комплексного переменного.

При достаточной величине нагрузок p и q вокруг цилиндрического отверстия возникают пластические области (зоны). Не вникая в историю постепенного развития этих областей, рассмотрим случай, когда пластическая зона I полностью охватывает отверстие, тогда как остальная часть телаII остается в упругом состоянии. Поверхность, разграничивающую области I и II , обозначим через C .

Решение поставленной задачи, как задачи о плоской деформации, сводится к изучению напряженного состояния в упругой и пластической областях в плоскости x y и определению формы кривой C , которая заранее неизвестна.

Поскольку пластическая зона I расположена вокруг кругового отверстия, при рассмотрении напряженного состояния в пластической зоне целесообразнее применять полярную систему координат.

Для плоского деформированного состояния при отсутствии объемных сил ре-

при выполнении условия пластичности

(sr - sj )2 + 4t2rj = 4t2т .

Совместное решение представленных уравнений достаточно сложно, однако в рассматриваемой задаче оно существенно упрощается за счет того, что границей тела является круговой контур. Рассматривая прямолинейную свободную границу в прямоугольной системе координат (разд. 2.3), показали, что вблизи такой границы всегда имеет место равномерное одноосное растяжение или сжатие, параллельное линии границы.Точно так же легко доказать, что у круговой границы (свободной или равномерно нагруженной) всегда реализуется осесимметричное поле напряжений.

Для осесимметричной задачи касательное напряжение trj равно нулю, а на-

пряжения sr и sj являются функциями только переменной r , причем sj > sr ,

и из трех уравнений остается только два:

________________________________________

1 Сапунов В.Т. Прикладная теория упругости. Ч.2. М.: МИФИ, 2008. – 140 с.

44

sj - sr = 2 tт ,

Отметим, что осесимметричное поле напряжений уже строилось при решении задачи о нагружении толстостенной трубы внутренним давлением, но с использованием свойств линий скольжения. Естественно, полученные там соотношения для напряжений совпадают с представленными при p пр = 0 .

Введем в рассмотрение«пластическую» функцию напряжений F p . Напом-

ним, что для осесимметричной задачи в полярных координатах компоненты -на пряжений через функцию напряжений представляются формулами:

С учетом найденных значений sr и sj для пластической функции напряже-

ний F p будем иметь:

В упругой области II решение построим с использованием метода Колосова - Мусхелишвили. Бигармоническая функция упругих напряжений Fe может быть

представлена в виде

Fe = Re [ zj(z)+ c(z)] ,

где j(z) и c(z) - аналитические функции комплексной переменнойz = x + iy

( z = x - iy - сопряженная комплексная переменная).

45

Компоненты упругих напряжений при этом вычисляются по формулам:

sx + sy = 4 Re F1(z) ,

s y - sx + 2i txy = 2[z F1¢ (z)+ Y1(z)] ,

где F1(z )= j¢(z) , Y1 (z)= y¢(z)= c¢¢(z).

Для определения аналитических функций F1(z) и Y1 (z) нужно использовать граничные условия на бесконечности и условия непрерывности напряжений на

При записи представленных соотношений использовались известные формулы теории упругости:

- формулы преобразования напряжений при замене системы координат

sx + sy = sr + sj ,

s y - sx + 2i txy =(sj - sr + 2i trj )e - 2ij ; - граничные условия на бесконечности

sx + s y = N1 + N2 ,

s y - sx + 2i txy = - (N1 - N 2 )e -2i a ,

где N1 и N2 - значения главных напряжений на бесконечности; a - угол между направлением N1 и осью x .

Отметим, что поскольку линия раздела упругой и пластической зон(кривая C ) неизвестна и подлежит определению наряду с комплексными функциями, соотношений (2.16) недостаточно для решения упругой задачи.

Решение Л.А. Галина строится несколько иначе, используя то обстоятельство, что введенная пластическая функция напряжений F p является бигармонической.

Действительно, можем записать:

46

Введем в рассмотрение новую бигармоническую функцию F = Fe - F p , кото-

рая будет определять новое поле напряжений:

где операторы L (F ) и M (F ) введены для упрощения дальнейших записей.

Очевидно, что вместо бигармонической функции упругих напряженийFe

можем разыскивать новую бигармоническую функциюF . Учитывая соотношения (2.16), граничные условия для функции F будут иметь вид:

- на бесконечности

F2 (z) и Y2 (z )) имеют форму соотношений (2.16):

47

Так же, как и раньше, представленных условий (2.17) недостаточно для решения задачи, поскольку контур C неизвестен.

Проведем конформное отображение упругой области в плоскостиz на плоскость z , так чтобы контур C перешел в окружность g единичного радиуса, а

бесконечно удаленная точка плоскости z - в бесконечно удаленную точку плоскости z . В этом случае отображающая функция w(z) будет иметь структуру:

где b - вещественная положительная постоянная; bn - коэффициенты, вещест-

венные вследствие симметрии контура C относительно оси x .

Преобразования граничных условий (2.17) при конформном отображении проведем, учитывая следующие соотношения теории упругости:

F2 [w (z)]= F (z) , Y2 [w (z)]= Y (z) , F¢2 [w (z)]= F¢(z)/ w¢(z) .

Соответственно, для определения неизвестных функцийF(z) , Y(z) и w (z) будем иметь:

48

Соотношения (2.18) позволяют определить функции F (z ) , Y (z ) и w (z ).

Не останавливаясь на промежуточных выкладках, приведем окончательный вид функции w (z ):

Как известно, представленная функция отображает внешность эллипса. Следовательно, контур C , разграничивающий пластическую I и упругую II области, является эллипсом. Уравнение эллипса имеет вид

x 2 y 2

b2 (1+ k2 + b2 (1)- k2 =1 . )

Поскольку решение задачи построено в предположении, что пластическая зона полностью окружает круговое отверстие радиусомa , необходимо выполнение

условия: b (1 - k)> a .

p = 2,4tт и q = 3,0tт .

При заданном значении, например, нагрузки q = 3,0tт можно найти наименьшее значение нагрузки p ( p £ q ), которое следует из условия, что меньшая полуось эллипса будет равна a . В этом случае получим, что p =1,95tт .

49