Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

С учетом полученного значения постояннойC уравнение, определяющее функцию w = w (r ), принимает вид

Оценку величины wa проведем, рассматривая давление на контуре отверстия,

которое определяется напряжением sr , соответствующим данному состоянию:

71

деформаций, естественно) утолщение пластинки. Действительно, записав соотношения (3.2) в полярной системе координат, можем связать скорости радиальной xr и окружной деформаций xj :

определить скорость относительного утолщения пластинки xz :

sj +sr

xz = -xr - xj Þ xz = - 2sj - sr xj .

Поскольку при давлении p max = 2 tт на контуре r = a имеем, что sr = -2tт ,

sj = -tт , и соответственно, xz ® ¥ .

Система уравнений, описывающих пластическое состояние материала в рассматриваемой задаче, является гиперболической. Слияние характеристик (точка

контура отверстия реализуется режим DE . Соответственно, условие пластичности имеет вид

sj - sr = 2tт = sт .

Из дифференциального уравнения равновесия

72

Согласно условию пластичности Треска - Сен-Венана радиальное напряжение sr по величине не может превысить предел текучести sт = 2tт , что соответству-

ет максимальному давлению p max = 2 tт . Отсюда можно найти максимальный радиус пластической зоны:

Построение распределения напряжений в пластической и упругой зонах пластины при заданном отношении c / a не составляет труда.

3.3.Растяжение полосы, ослабленной круговыми вырезами.

Решение задачи построим с использованием условия пластичности Мизеса- Генки.

Пусть полоса ослаблена симметричными круговыми вырезами радиусом a (рис. 3.10). Вблизи круговой части контура возникают осесимметричные поля напряжений. Следовательно, напряжения в этих зонах определяются уже известными форму-

лами (3.13):

действующими на линии, соединяющей центры вырезов(как нормальными напряжениями на этой линии):

73

a+h

P = 2 ò sj dr . a

Принимая во внимание дифференциальное уравнение равновесия

где значение w0 определяется соотношением:

Напомним, что для осесимметричного поля напряжений, примыкающего к круговому контуру получили, что по мере удаления от контура угол между харак-

величины h = h0 и предельной продольной растягивающей силыP* соответст-

вуют значению w0 = p/ 6 :

h0 =1,07a , P* = 2,07tт a .

Результат, полученный для h0 ( h0 =1,07a ), соответствует утверждению, что

осесимметричное поле напряжений может распространяться не далее, чем на расстояние r = c1 = 2,07a .

74

усиления (отношение предельной продольной силы P* к значению Pт* ) в этом случае будет равен:

Если h > 1,07a , осесимметричные пластические области имеют те же размеры,

Коэффициент усиления в этом случае будет равен:

В заключение отметим, что решение рассмотренной задачи, как задачи плоской деформации, приводит к несколько большим значениям коэффициентов усиления.

75

4. Экстремальные принципы и энергетические методы решения задач теории пластичности

Втеории пластичности, как и в теории упругости, большое значение имеют общие теоремы. К ним, прежде всего, относятся теоремы о единственности решения, об экстремальных свойствах решения, теоремы приспособляемости упругопластических конструкций при действии циклических нагрузок.

Теоремы об экстремальных свойствах решения(экстремальные теоремы), помимо общего значения, открывают путь прямого построения решений, минуя интегрирование дифференциальных уравнений. В нелинейных задачах теории пластичности подобная возможность является весьма заманчивой.

Вдеформационной теории пластичности экстремальные принципы и теоремы являются обобщениями соответствующих принципов и теорем для упругого тела: принципа возможных работ; теорем о минимуме потенциальной энергии (принципа Лагранжа) и

оминимуме дополнительной работы(принципа Кастильяно). Для приближенного решения частных задач здесь используются те же энергетические методы (главным образом, метод Рэлея – Ритца).

Впоследнее время при решении задач пластичности с использованием теории течения широкое распространение получило применение схемы (модели) жесткопластического тела.

Модель жесткопластического тела подразумевает полное пренебрежение упругими деформациями. В такой постановке тело остается совершенно недеформируемым(«жестким»), пока напряженное состояние в нем(или в какой-либо его части) не станет удовлетворять условию пластичности(текучести) и не возникнет возможность пластического течения. При этом некоторые части тела могут оставаться жесткими, и нужно найти такие решения в пластических зонах, чтобы скорости (деформаций или перемещений) соответствовали скоростям движения жестких частей.

Отметим, что модель жесткопластического тела не всегда при-

годна - условия ее пригодности существенно зависят от характера рассматриваемой задачи. Тем не менее, концепция жесткопластического тела уже позволила построить ряд новых решений и скорректировать формулировки многих задач теории пластичности.

76

Соответственно, получили свое развитие и экстремальные принципы в теории жесткопластического тела.

4.1. Экстремальные принципы для жесткопластического тела

Поскольку внутренние усилия (напряжения) в жесткопластическом теле не могут где-либо превысить локальный предел пластичности (текучести), внешние нагрузки на тело не могут увеличиваться беспредельно. При достижении нагрузками некоторых критических значений наступает неограниченное возрастание деформаций1 при постоянных нагрузках (предельное состояние или пластическое разрушение), вследствие которого тело становится неспособным воспринимать дальнейшее увеличение внешних .сил Такие критические нагрузки называют обычнопредельными нагрузками, а теоремы, определяющие предельные нагрузки, - тео-

ремами о пластическом разрушении.

Отметим, что предельное состояние жесткопластического тела определяется конечной комбинацией нагрузок в момент возникновения неограниченного пластического течения. Очевидно, что путь нагружения выпадает из рассмотрения, так же как и начальные напряжения и деформации. В этом смысле можно говорить о независимости предельной нагрузки от пути нагружения и начальных напряжений.

Экстремальные принципы (теоремы) для жесткопластического тела приводят к эффективным способам определения предельной нагрузки.

4.1.1. Основное энергетическое уравнение

Рассмотрим тело, занимающее объем V и ограниченное поверхностью S = SF + Sv . На части поверхности SF заданы поверхностные силы, составляющие которых по координатным осямx , y , z обозначим, как обычно, через X , Y и Z . На оставшейся час-

_____________________________

1 Следует помнить, что речь идет омалых деформациях и данное определение относится к начальной стадии пластического течения.

77

сти поверхности Sv заданы скорости перемещений, составляющие которых обозначим через v0x , v0 y , v0z . Будем полагать, что объемные силы отсутствуют.

. . .

Отметим, что введенные поля напряжений и скоростей перемещений в остальном произвольны и, вообще говоря, не связаны ме-

жду собой.

78

Докажем, что для всякой сплошной среды справедливо следующее основное энергетическое уравнение:

òòò (sxxx + syxy + . . . + tzxhzx )dV = òò (X vx + Y vy + Z vz )dS . (4.4)

V S

Заменяя составляющие поверхностных сил X , Y и Z на их значения в соответствии с граничными условиями(4.2), представим поверхностный интеграл в виде

òò (X vx + Y vy + Z vz )dS = òò [(sxvx + tyxvy + tzxvz )l +

S S

+ (tyxvx + syvy + tyzvz )m + (tzxvx + tzy vy + sz vz )n ]dS .

Преобразуем поверхностный интеграл в объемный, используя формулу Остроградского - Гаусса:

Будем иметь:

79