Сапунов Теория пластичности 2011 (1)

2.Плоское деформированное состояние

2.1.Общие положения и определяющие уравнения

Плоская деформация, как известно, характеризуется тем, что точки тела, расположенные в одной плоскости, при деформировании тела не выходят из плоскости, причем во всех сечениях тела, параллельных этой плоскости, картина поля перемещений одинакова.

Плоское деформированное состояние(плоская деформация) реализуется, например, в длинном теле цилиндрической (или призматической) формы, при приложении поверхностных сил, перпендикулярных к его оси и не меняющихся по длине тела. При таких предположениях относительно формы тела и его нагружении можно считать, что все поперечные сечения находятся в условиях плоского деформированного состояния. Принимая, что ось z является осью тела, можем записать:

u = u (x, y) , v = v (x, y) , w = 0 .

В этом случае деформации ex , e y и g xy будут функциями пе-

ременных x и y , а деформации ez , g yz и g zx - равны нулю.

Поскольку сечения, перпендикулярные оси z , не искривляются, касательные напряжения tyz и tzx в этих сечениях равны нулю.

Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси z , являются главными, а напряжение s z - одним из главных напряжений. Все напряжения, отличные от нуля ( s x , s y , txy и s z ) при плоском деформировании будут функциями переменных x и y .

Величину главного напряжения s z , как и в теории упругости, можно связать с нормальными напряжениямиs x и s y . Действи-

тельно, условие ez = 0 с использованием соответствующего урав-

нения деформационной теории пластичности позволяет получить для несжимаемого материала:

11

Этот же результат также следует и из соотношений теории пластичности Сен-Венана - Леви - Мизеса для жесткопластического тела при xz = 0 .

Как известно, в теории упругости приведенных упрощений достаточно для формулировки и приемлемого аналитического решения задачи о плоском деформированном состоянии. В теории пластичности для достижения такого рода целей необходимы дополнительные упрощения, и, в первую очередь, упрощения касаются модели поведения материала (тела).

В дальнейшем будем рассматривать только

При этом некоторые части тела останутся жесткими, и нужно найти такие решения в пластических зонах, чтобы скорости смещений на их границах соответствовали скоростям смещения жестких частей.

Естественно, что использование схемы жесткопластического тела связано с определенными погрешностями решения тех или иных задач, а в некоторых случаях может привести и к неприемлемым

результатам. Например, если пластическая область заключена внутри упругой или же пластическое течение затруднено вследствие особенностей геометрической формы тела или специального характера граничных условий, то схема жесткопластического тела может привести к значительным погрешностям. С другой стороны, в технологических задачах(прокатка, волочение, прессование и т.д.), где имеют место большие пластические деформации, развитие которых не сдерживается, применение схемы жесткопластического тела вполне оправдано.

12

Кроме того, следует отметить, что решение задачи, построенное для жесткопластического тела, может и не совпадать с решением этой же задачи для упругопластического тела при E ® ¥ .

Тем не менее, концепция жесткопластического тела уже позволила построить ряд новых решений, хорошо подтверждаемых опытами, и сформулировать некоторые общие подходы к исследованию предельного состояния конструкций.

Некоторые особенности напряженного состояния при пло-

ской деформации. Прежде чем переходить к рассмотрению основных уравнений плоской деформации, выделим некоторые особенности напряженного состояния. Как уже отмечалось, площадки, принадлежащие плоскости, перпендикулярной оси z , являются главными, а напряжение sz = (sx + s y )/ 2 - одним из главных на-

пряжений. Величины и направления двух других главных напряжений определяются известными формулами сопротивления материалов:

Сравнивая значения всех трех главных напряжений, видим, что

13

Приведенные соотношения дают возможность определить наибольшее касательное напряжение, которое будет равно:

что, в свою очередь, позволяет переписать главные напряжения в виде

s1 = s + tmax , s2 = s , s3 = s - tmax .

Полученные соотношения указывают, что напряженное состояние при плоской деформации можно рассматривать как наложение всестороннего равного растяжения s =(sx + sy )/ 2 на напряжение

чистого сдвига tmax (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Основные уравнения плоской деформацииДля. плоского де-

формированного состояния при отсутствии объемных сил дифференциальные уравнения равновесия принимают вид

14

теории пластичности), либо скорости деформаций (с использованием уравнений теории пластичности Сен-Венана- Леви - Мизеса). В дальнейшем будем говорить об определении скоростей деформаций или скоростей перемещений.

При плоской деформации скорости деформаций связаны со скоростями перемещений зависимостями типа Коши:

Из шести физических уравнений Сен-Венана- Леви - Мизеса остается только три:

Используя выписанные соотношения, легко получить:

Присоединяя к уравнению(2.4) условие несжимаемости мате-

получаем два дифференциальных уравнения(2.4) и (2.5) относительно скоростей перемещений vx и vy .

Если на части границы тела(или на всей границе) заданы, например, скорости перемещений, то задача становится статически неопределимой. В этом случае необходимо совместное решение системы уравнений пластического равновесия (2.1) - (2.5), что связано с дополнительными математическими трудностями.

16

2.2.Свойства основных уравнений плоской деформации

иих решений

Если задача о плоской деформации является статически определимой, достаточно получить совместное решение дифференциальных уравнений равновесия (2.2) и условия пластичности (2.3). Очевидно, что предварительный анализ рассматриваемых уравнений имеет большое значение для облегчения построения решения.

2.2.1. Линии скольжения и их свойства. Уравнения М. Леви

Рассмотрим некоторые свойства системы уравнений (2.2) и (2.3) и ее решений.

Известно, что нормаль к площадке, на которой действует максимальное касательное напряжение, делит пополам угол между главными нормальными напряжениями. Поэтому, наряду с углом a , определяющим направление главного напряженияs1 = smax

относительно оси x , введем угол q = a - p , который определяет

4

положение площадки, где действует положительное максимальное касательное напряжение tmax (см. рис. 2.2).

Линию, которая в каждой своей точке касается площадки максимального касательного напряжения, называют линией скольжения. Поскольку всегда существуют две взаимно-перпендикулярные площадки, на которых действуют tmax , то, очевидно, всегда имеются два ортогональных семейства линий скольжения, которые будем определять как линии a и b (рис. 2.3).

Примем, что линии a откло-

влево на этот же угол. Условимся далее фиксировать направле-

17

Дифференциальные уравнения для описания семейств линий

txy = tт cos 2q .

18

Напряжения, представленные в форме (2.6), тождественно удовлетворяют условию пластичности(2.3). Подставляя соотношения (2.6) в дифференциальные уравнения равновесия (2.2), приходим к двум нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных относительно неизвестных функцийs = s(x, y) и

q = q(x, y):

Полученные уравнения обычно называют уравнениями М. Леви.

Методы построения решений систем уравнений подобных(2.7) и свойства этих решений прежде всего определяются типом системы. Покажем, что система уравнений М. Леви является системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.

Тип системы уравнений в частных производных обычно определяют с использованием «детерминантного» метода (см., например, [5]).

Пусть вдоль некоторой линии L в плоскости x, y известны значения искомых функций s(x, y) и q(x, y). В этом случае можно составить два дополнительных уравнения

которые вместе с уравнениями(2.7) вдоль линии L образуют четыре алгебраических неоднородных уравнения относительно частных производных:

19