Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5277 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Yragan в дс | @yragan2404 | ну, короче, вы поняли. Пишите сразу сообщение, отвечу по возможности. Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана
Предмет:
Сопротивление материалов
Файл:

Семинары Алексеевой

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
08.11.2022
Размер:
16.16 Mб
Скачать
☆

Решение неоднородного ДУ

v C sin kz C cos

1

2

 

общее решение

kz

M

z

Sl

 

 

 

частное решение

ГУ: 1)

при z 0, v 0;

 

0 C

0 C

 

1 0

 

 

 

 

1

 

2

 

2)

при

z l, v 0;

 

C sin kl

M

l 0

 

 

 

1

 

S l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательное уравнение прогибов

C

0

2

 

C

1

S

 

; M sin kl

.

v

M sin kz

 

M

z

M sin kz

 

z

 

 

 

 

 

 

 

S sin kl

 

Sl

 

S

 

sin kl

 

l

 

 

M k cos kz

 

1

 

;

 

k

2 M sin kz

v

S

 

sin kl

 

l

 

 

v

 

 

 

 

 

 

S sin kl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изгибающий момент:

Поперечная сила :

M

 

 

EJ

 

 

k

2

EJ

x

M sin kz

M

 

 

 

 

 

 

 

x

v

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

S

 

 

sin kl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/k

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

dM

x

M

k cos kz

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

dz

 

 

 

sin kl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin kz sin kl

.

Изгибающий момент имеет экстремум, там где Qy 0 , значит

cos kz 0

,

 

Подставим числовые значения:

kz

 

 

,

 

 

 

*

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

4

J

 

 

 

x

12

 

 

 

 

 

z*

 

 

.

 

 

 

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,06)

4

 

8

 

 

 

108 10

м

4

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

3

 

 

k

2

 

 

65 10

 

0,3

 

 

 

 

 

EJ

11

108 10

8

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

м

2

 

,

k 0,548

1 м

.

Q

y

3

 

 

При 0,548 sin (0,548 4)

z 0,2,027

кН

;

Mx

0

.

При

z l,

Qy

3

0,548 cos(0,548

4)

1,183

sin (0,548

4)

 

 

 

 

кН

;

При

M

z

x

M

 

z

 

*

2

 

3 кНм .

 

2,863

м,

0,548

 

 

M x max M

sin(0,548 2,863)

1,232M 3,696 кНм .

sin (0,548 4)

 

 

S

2,027

M

l

 

 

1,183

 

 

Q

, кН

 

y

 

 

 

z

2,863 м

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

M

x max

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

x

, кНм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

6

M

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

2

 

 

 

 

 

b

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,696

 

 

 

 

 

 

3

 

 

6 3,696 10

3

 

 

 

 

 

 

65 10

 

 

 

 

 

 

 

 

0,06

2

 

 

 

0,06

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

120,7 МПа .

 

 

 

 

(18,06 102,66) 10

Метод Тимошенко (приближенный метод)

Если принять что изогнутая

 

v k

 

 

 

 

 

Т

 

k

 

1

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

S

 

 

1

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

ось имеет форму синусоиды, то

v

,

k

 

,

M

 

k

M

п

,

x

x

п

 

Т

п

 

 

Т

 

 

– коэффициент Тимошенко.

индекс «п» относится к величинам при действии только поперечных нагрузок

SЭ π2EJx – сила Эйлера в плоскости поперечной нагрузки

( l)2

Jx – момент инерции относительно той оси, относительно которой возникает изгибающий момент

Дает удовлетворительные результаты, когда сжимающая сила S 0,8SЭ .

Метод применим при такой поперечной нагрузке, при которой изогнутые оси стержня при поперечном изгибе и потере устойчивости подобны.

S

 

S

F

 

 

F

F

 

F

 

 

 

F

F

F

 

F

 

 

 

S

 

S

 

 

 

 

Метод применим

Метод НЕ применим

M

 

v

M

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

l / 2

 

 

l / 2

 

 

 

M

 

 

M

 

 

 

 

 

 

M

п

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

4 l

8

y

Пример 2.

 

x

d

Дано: S Найти:

0,3S

Э

,

 

 

 

 

v

A

?

 

 

 

 

M , l,max

d .?

Решение.

 

 

k

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

1

S

 

 

 

 

1 0,3

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SЭ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прогиб точки А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

Ml

2

 

v

 

 

 

M

 

 

2

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

EJx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8EJx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

Ml

2

 

 

 

 

5Ml

2

 

v

 

k

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

п

 

 

7

 

8EJ

 

 

 

 

28EJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

4

 

 

 

 

 

 

 

d

3

 

 

Для круглого сечения:

 

 

A

 

 

;

J

 

 

 

 

 

 

;

 

W

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

 

 

 

 

x

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сила Эйлера при

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

2

EJ

 

 

 

 

 

 

3

Ed

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

x

 

 

π

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Э

 

 

 

 

 

l

2

 

 

 

 

 

64l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальный момент:

 

 

 

 

M

 

 

 

 

k

 

M

п

 

 

 

10

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x max

 

x max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальное напряжение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

S M x max

0,3SЭ M x max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

Wx

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

Wx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Ed

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

10M

 

 

 

32

 

 

 

 

 

3π

2

Ed

2

 

 

320M

 

0,3 π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64l

2

 

d

2

 

 

7

 

d

3

160l

2

 

 

7 d

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

l

2Fl

 

2

l

l

3 l

2

 

 

A

A

A

M

 

S

F

 

 

Fl

F

 

Fl

 

 

M

 

 

1

 

Fl

п x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дано: l

3 м,

F 0,5 кН, S 100 кН,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b 0,08 м,

 

 

 

 

5

МПа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E 2 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти: v

A

?

 

max

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

0,08

 

341,3 10

8

м

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

12

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

Э

π2EJ x

π2 2 1011 341,3 10 8

 

 

 

 

( l)2

 

 

 

 

 

(2 3)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

1

187 кН.

 

 

 

 

 

 

Коэффициент Тимошенко :

 

kТ

1

 

 

 

 

1

 

2,15 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SЭ

 

 

187

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прогиб точки А от действия поперечной нагрузки

 

 

 

 

1

 

 

 

l

 

1

 

 

2

 

 

 

5Fl

3

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

v

 

 

Fl l

 

Fl l

l

 

 

 

 

5 0,5 10

 

3

 

 

 

16,5

10 3

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

8

п

 

EJx

 

 

2

 

2

 

 

3

 

 

6EJx

 

341,3 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 2 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При продольно-поперечном изгибе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

A

k

v

2,15 16,5 10 3 35,5 10 3 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальный момент:

 

M

x max

k

 

M п

 

2,15 2Fl 4,3Fl .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

x max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

S

 

A

 

M

 

 

S

 

6 4,3Fl

 

3

 

6 4,3

0,5

3

3

 

x max

 

 

 

100 10

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

b

2

 

b

3

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

0,08

 

 

0,08

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

91,22 МПа .

 

 

 

 

 

(15,63 75,59) 10

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности