Добавил:

Yragan2404 Yragan в дс | @yragan2404 | ну, короче, вы поняли. Пишите сразу сообщение, отвечу по возможности. Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Семинары Алексеевой

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.11.2022

Размер:

16.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

z l, v 0, v 0.

l	z l0 ,		0,
		v
				0.
	l0	v

y	z 0,	v 0,

			0.
		v

z l, v 0, v 0.

l	F
	F
	l0

z 0, v 0, v 0.

Порядок расчета

1.Изобразить пунктиром форму оси стержня при потере устойчивости.

2.Показать систему координат (начало координат – нижний конец стержня).

3.Записать ГУ и пронумеровать их.

4.Выбрать функцию прогиба в виде полинома степени n

v(z) a	a z a		z	2	a z	3
		2
0	1				3

где n – число ГУ.

a		z	n
	n

5.Используя ГУ, выразить все коэффициенты a0 , a1 ,…, an 1 через an .

6.Взять интегралы и подставить в (2).

Пример 1.

Найти

Fкр

l 2

ГУ:

1)	при	z 0,	v 0;
		z 0,		0,
2)	при		v

3)	при	z l / 2,		v 0,
		z l,		0.
4)	при		v

Имеем четыре ГУ, берем функцию прогибов в виде полинома четвёртой степени

v(z) a

a z a

a z

2a2 z 3a3z

4a4 z

2a2 6a3z

12a4 z

Из 1) Из 2) Из 4)

Из 3)

 

a	0,
0

a	0	,
2		,
0 6a l 12a l						2			a
0 6a l 12a l									a
		3		4					3
		l		l	3			l	4
0 a		l	a	l			a	l
0 a			a				a
	1	2	3	8			4	16
		2		8				16

2a4l

		l	2		l	3			1	1	3
a a				a			a l	3				a l	3

1	3	4		4	8		4		2	8	8	4

Функция, удовлетворяющая ГУ

							v a
							v a
									4

		3		3		2		3
v	a4		l		6lz		4z		,
v	a4	8	l		6lz		4z		,
		8

3	l	3

8

z 2lz	3	z

a4 ( 12lz

4	,
	,


12z2 ) 12a (z2		lz) .
	4

Интеграл в числителе

l										l			2
			2										2
			2		dz EJmin 12a4 (z							2	lz)	dz
EJmin (v )					dz EJmin 12a4 (z								lz)	dz
0										0
				l				z4		2lz3 l2 z2 dz
	EJmin 144a42							z4		2lz3 l2 z2 dz
		0
2	z5				z4		2		z3 l				2 5		1	1	1
144EJmina4			2l			l					144 EJmina4l
144EJmina4			2l			l					144 EJmina4l
		5			4			3		0					5 2		3

144EJmina42l5 301 4,8EJmina42l5

Интеграл в знаменателе

			l			2			l				3		3						2				3			2
			(v )				dz a4							l		6lz							4z					dz
			(v )				dz a4							l		6lz							4z					dz
		0							0				8
l		9																9
		9																9
a42					l6		36l2 z4				16z6								l4 z2					3l3z3 48lz5						dz
a42		64			l6		36l2 z4				16z6							2	l4 z2					3l3z3 48lz5						dz
0		64																2
0
a42	9		l6 z 36l2					z5					z7				9		l4			z3				3	z4			z6 l
										16														3l		3			48l
	64							5		16			7					2				3		3l			4		48l	6
	64							5					7					2				3					4			6	0
																															0
		2				7	9		36			16				3				3								2 7
	a4			l																				8 0,8767a4l
	a4			l					5			7				2				4				8 0,8767a4l
						64			5			7				2				4

Критическая нагрузка

	4,8EJ		a		2 5			EJ
F		min			4	l	5, 475		min
				2		7
кр	0,8767a				l			l	2

			4

Приводя к формуле Эйлера

F	5,475	EJ

кр		l

min 2

2 2

	2	EJ
		EJ	min


				2
			l
			l
5,475

5,475

1,34

Точное решение для данной задачи (предыдущий семинар)

	2
F	2,331 EJ		min
		2
кр	l

5,	434EJ		min


	l	2
	l

1,347

(погрешность – 0,7 %)

Энергетический метод дает завышенное значение	F	и заниженное
	кр

значение по сравнению с точным методом.

Пример 2.

l 2

Найти F		, .
	кр
		ГУ:
		1)	при			z 0,	v 0		,
						z 0,

		2)	при				v 0,
		2)	при
		3)	при			z l,	v 0,
						z l,
		4)	при			z l,	v 0.
		4)	при
	F	Берем полином четвёртой степени
	F							2				3								4
		v(z) a				a z a z		2	a z			3	a						z	4	,
		v(z) a				a z a z			a z				a					4	z
				0		1	2				3							4
				a		2a	z 3a z			2	4a				z		3
		v		a		2a	z 3a z				4a				z				,
				1		2		3					4						,
					2a2 6a3z 12a4 z									2		.
				v	2a2 6a3z 12a4 z											.

Из 1)

a0 0,

Из 2)

a1 0 .

Из 3)

0 a l

a l

Из 4)

0 2a

l 3a

4 .

Выразим a2 , a3 через a4 .

Из 3):

a a l a l

из 4):

3 a3l

2a l	2
2a l
4

a l a l		2	3	a l 2a l		2
		2				2

3	4		2	3	4
			2

1	a l a l		2
			2

2	3	4
2

2a4l

a	2a	l	2	a	l	2

2	4			4

Функция прогибов, удовлетворяющая ГУ:

a	l
4

2	.

v a4 l 2 z2 2lz3 z4 ,

	a4 2l	2	z 6lz	2	4z	3	2a4 l	2	z 3lz	2	2z	3	,		2a4 l	2	6lz 6z	2	,
v														v

Интеграл в числителе

l				l				l							2
	2								2					2	2

		dz EJmin					2a4			6lz 6z					dz
	EJmin (v )	dz EJmin					2a4			6lz 6z					dz
0				0
			l									2
		2			2						2	2
		2	l		2	6lz					2		dz
	4EJmin a4		l			6lz				6z			dz
			0

l
4EJmina42 l4	36l2 z
0
		2 z		3
				3
4EJmina42 l4 z 36l
4EJmina42 l4 z 36l			3
			3
2 5		12
4EJmina4l	1	12

2 36z4 12l3z 12l 2 z2 72lz3 dz

	z5	12l3	z2	12l 2		z3		z4		l
36							72l
36	5		2			3	72l	4
	5		2			3		4		0
										0
36							2 5
	6 4 18				0,8EJmina4l				.
5	6 4 18				0,8EJmina4l				.
5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Сопротивление материалов

#
08.11.202213.28 Mб19Лекции Алексеевой.pdf
#
08.11.202216.16 Mб7Семинары Алексеевой.pdf
#
08.11.202226.78 Кб2Универсальный шаблон с основной надписью.docx