Семинары Алексеевой
.pdf
Второй профиль - круговое сечение, диаметр которого D равен стороне квадрата а
y |
|
M x = 2Fl |
|
M |
|
A |
|
M y |
= 3Fl |
x |
|
M к = 2Fl |
|
M 
M x2 M y2 Fl 
4 9 3,6 Fl.
точка A r 
|
t |
|
|
z |
|
|
Напряжения в точке А равны
σ |
M |
|
|
3,6Fl |
36,7 |
Fl |
, |
τ |
M |
к |
|
2Fl |
10,1 |
Fl |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
W |
|
|
|
D |
3 |
|
|
|
D |
3 |
|
W |
|
D |
3 |
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Fl |
|
|
|
|
Fl |
. |
|
|
|||||||||||||
экв2 |
|
|
σ 2 |
3τ2 |
|
|
36.72 |
3 10.12 |
40,8 |
|
|
||||||||||||||||
|
D3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D3 |
|
|
|
|
Поскольку диаметр D равен стороне квадрата а, то эквивалентное напряжение для квадратного сечения меньше, чем для кругового ( экв1 < экв2), значит, в данном случае квадратное сечение рациональнее.
Сопротивление материалов
К.т.н., доцент Елена Геннадьевна Алексеева
Расчет на прочность в общем случае НС
Два НС эквивалентны (равноопасны), если у них одинаковы коэффициенты запаса. При расчете на прочность данное напряженное состояние выражается через равноопасное ему одноосное растяжение, создаваемое эквивалентным напряжением экв f ( 1, 2 , 3 ) .
3
2
|
|
|
|
|
1 |
равноопасно |
|
||
|
|
|||
|
|
nз1 nз2 |
|
|
nт |
σтр |
nв |
σвр |
|
σэкв |
σэкв |
|||
|
|
|||
экв
1. Теория прочности максимальных касательных напряжений (Треска-Сен-Венана)
экв 1 3
2. Теория прочности энергии формоизменения (Хубера-Мизеса)
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
σ |
экв |
|
|
|
|
|
|
(σ σ |
2 |
)2 (σ |
2 |
σ |
3 |
)2 (σ |
3 |
σ )2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
σ |
|
|
1 |
(σ |
|
σ |
|
|
) |
2 |
(σ |
|
|
σ |
|
) |
2 |
|
(σ |
|
|
σ |
|
) |
2 |
|
6 (τ |
2 |
τ |
2 |
τ |
2 |
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
экв |
|
x |
y |
|
|
y |
z |
|
z |
x |
|
xy |
yz |
zx |
|||||||||||||||||||||||||||
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 и 2 применимы только для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. 3. Теория Мора
σэкв
σ1
k
σ3
,
kσвр , σвс
kσтр ,
σтс
.
|
|
Упрощенное плоское напряженное состояние |
||||||||||
точка А |
|
точка B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
1. |
σ |
экв |
|
σ2 |
4τ2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
σ |
|
|
σ |
2 |
3τ |
2 |
|
|
|
|
|
экв |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
x |
3. |
|
экв |
k |
3 |
1 k |
1 k 2 4 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z
Порядок расчета
1)Сначала надо построить эпюры изгибающих и крутящих моментов и найти опасное сечение.
2)В опасном сечении найти опасную точку и вычислить для этой точки эквивалентное напряжение.
3)Рациональным будет профиль, у которого эквивалентное напряжение меньше.
Решение
В соответствии с эпюрами, опасное сечение будет в заделке.
3Fl |
y |
z |
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
2Fl |
Fl
2Fl 
Fl
Рассмотрим первый профиль - квадратное сечение со стороной а. Для квадратного профиля следует рассмотреть две точки – А и В. Опасной будет та точка, в которой эквивалентное напряжение больше.
точка А
y
y 
M
Рис.
x
x = 2Fl 
A
B |
M y |
= 3Fl |
|
x |
|
M к = 2Fl |
|
|
14.4 |
точка B |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
точка А
σ |
M |
x |
|
M |
y |
|
2Fl 3Fl |
30 |
Fl |
; |
σ |
A |
30 |
Fl |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
W |
|
W |
|
a |
3 |
a |
3 |
экв |
a |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
σ |
M y |
|
3Fl |
18 |
Fl |
, |
τ |
M |
к |
|
|
2Fl |
|
9,62 |
Fl |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
W |
|
a |
3 |
a |
3 |
W |
|
|
|
3 |
|
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,208a |
|
|
|
|
a |
|
||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
В |
|
|
σ |
2 |
3τ |
2 |
|
Fl |
|
18 |
2 |
3 |
|
9,62 |
2 |
24,5 |
Fl |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
экв |
|
|
|
a |
3 |
|
|
|
a |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σA σ В , точка А опаснее, чем точка В,
экв экв
идля квадратного профиля экв1 30 aFl3 .
z |
z |
Второй профиль - круговое сечение, диаметр которого D равен стороне квадрата а
y |
|
M x = 2Fl |
|
M |
|
A |
|
M y |
= 3Fl |
x |
|
M к = 2Fl |
|
M 
M x2 M y2 Fl 
4 9 3,6 Fl.
точка A r 
|
t |
|
|
z |
|
|
Напряжения в точке А равны
σ |
M |
|
|
3,6Fl |
36,7 |
Fl |
, |
τ |
M |
к |
|
2Fl |
10,1 |
Fl |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
W |
|
|
|
D |
3 |
|
|
|
D |
3 |
|
W |
|
D |
3 |
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Fl |
|
|
|
|
Fl |
. |
|
|
|||||||||||||
экв2 |
|
|
σ 2 |
3τ2 |
|
|
36.72 |
3 10.12 |
40,8 |
|
|
||||||||||||||||
|
D3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D3 |
|
|
|
|
Поскольку диаметр D равен стороне квадрата а, то эквивалентное напряжение для квадратного сечения меньше, чем для кругового ( экв1 < экв2), значит, в данном случае квадратное сечение рациональнее.
