Семинары Алексеевой
.pdf
Интеграл в знаменателе
длина участка стержня, сжимаемого силой
l /2 |
2 |
|
|
l /2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 l /2 |
l |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|||||||||||
|
(v ) |
dz |
2a4 l |
|
z 3lz |
|
|
2z |
|
|
|
dz |
4a4 |
|
|
|
z 3lz |
|
|
|
2z |
|
dz |
|||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
l /2 |
l4 z2 9l2 z4 4z6 6l3z3 4l2 z4 12lz5 dz |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4a42 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
z5 |
|
|
|
|
z7 |
|
|
|
|
3 |
z4 |
|
|
|
|
|
z5 |
|
|
|
|
z6 |
l /2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4a42 |
l4 |
|
|
9l2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
6l |
|
|
|
|
4l2 |
|
|
|
12l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
5 |
7 |
|
|
|
|
4 |
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 7 |
1 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 7 |
|||||||||
4a4l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,5238 10 |
|
|
a4l |
||||||||||||||
|
3 8 |
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
6 64 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
32 7 |
|
|
4 16 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Критическая нагрузка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 5 |
EJ |
|
|
|
|
EJ |
|
|
2 |
|
|
2 |
EJ |
|
|
||
F |
|
0,8a |
l |
|
|
|
84 |
min |
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
min |
7 |
|
|
2 |
|
|
|
min |
|||||||
кр |
9,5238 |
10 |
3 |
2 |
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
a4l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
|
|
|
84 |
||
|
0,343
.
F
0,5 |
0,5 |
Проведем |
анализ |
полученного |
||
результата. |
При приложении силы |
в |
||
промежуточном сечении, стержень будет |
||||
более устойчивым. Значит, |
для него |
|
||
меньше, чем для такого же стержня |
с |
|||
силой сверху, что и получилось. |
|
|||
l
l0
F
EJmin 2
EJmin1
Замечание 1.
В случае различной жесткости
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
dz |
|
|
2 |
dz |
|
EJmin1(v ) |
|
EJmin 2 (v ) |
|
|||
Fкр |
0 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
||
|
l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
dz |
|
|
|
|
(v ) |
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
l
l0
F |
F |
2 |
|
F |
F |
1 |
|
Замечание 2. В случае действия нескольких сил, они должны быть выражены через один параметр, тогда
из баланса энергий |
U W Fi i : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
EJ |
|
2 |
dz F |
|
|
|
2 |
dz |
F |
|
|
|
2 |
dz |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
min |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
dz |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
(v ) |
dz (v ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJmin (v ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Fкр |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
l0 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
dz |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(v ) |
dz (v ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление материалов
К.т.н., доцент Елена Геннадьевна Алексеева
Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера
|
|
2 |
|
|
|
|
|
F |
|
2 |
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
E |
||
F |
|
min , |
|
|
|
кр |
|
||||
|
кр |
|
|
2 |
|||||||
кр |
|
( l) |
2 |
|
|
A |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
применима, если критическое напряжение в стержне не превышает предела пропорциональности кр пц , то есть когда пред ,
|
|
|
2 |
E |
|
|
|
|
|
пред |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
пц |
|
– предельная гибкость, при которой кр пц (сталь 3: пред 100 ).
При пред используют эмпирические формулы, полученные путем обработки результатов многочисленных экспериментов, например формулу Джонсона
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
кр |
|
тс |
|
тс |
|
пц |
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пред |
|
Для хрупких материалов в формуле заменяем тс на вс .
кр
тс
пц
Эмпирическая зависимость
|
|
|
|
|
|
пред |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
пц |
кр |
|
|
|
гипербола Эйлера
|
|
пред |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
кр |
пц |
|||
|
|
|
|
||
пред |
|
l
F |
Пример |
1. Найти критическую нагрузку |
Fкр и |
||
|
|
коэффициент запаса по устойчивости ny . |
|
||
|
|
|
|||
|
|
Дано: |
l 4 м, d 0,1 м , |
F 500 кН , сталь |
Ст3, |
d
пц 200 МПа, тс 240 МПа, |
5 |
E 2 10 |
Решение: 1. Найдем минимальный поперечного сечения.
МПа.
радиус инерции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
4 |
|
|
d |
2 |
|
|
Для круга: |
|
|
Jmin J x J y |
|
, |
A |
, тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
64 |
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
J |
|
|
d |
4 |
|
4 |
|
|
d |
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
min |
|
|
|
|
|
|
0,025 м . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
min |
|
|
A |
|
64 |
|
d |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Найдем гибкость стержня. С учетом закрепления стержня 0,7 , тогда
|
l |
|
0,7 4 |
112 |
(гибкость – величина безразмерная) |
|
imin |
0,025 |
|||||
|
|
|
|
3. Найдем предельную гибкость для материала стержня
|
|
|
|
|
2 |
E |
|
|
|
|
|
||
|
пред |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
пц |
|
4. |
Сравним и пред . Так как пред |
|||||
5. |
Критическое напряжение |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
2 10 |
100 . |
|
|
|
200 |
||
|
|
|
|
(112 100), то формула Эйлера применима.
|
|
|
|
2 |
E |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 10 |
||||
кр |
|
2 |
|
112 |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
157,2
МПа
.
6. Критическая сила
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
F |
|
|
|
6 |
|
0,1 |
|
6 |
Н 1234 кН |
||||
кр |
A 157, 2 10 |
|
|
|
|
1, 234 10 |
|||||||
кр |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
11 |
0,14 |
|
или |
|
F |
2EJmin |
|
|
|
|
2 |
10 |
64 |
1234 кН . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
кр |
( l)2 |
|
|
|
|
(0,7 4)2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Коэффициент запаса по устойчивости: |
n |
|
|
Fкр |
|
1234 |
2, 47 . |
||
y |
F |
|
500 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2.
Гибкость
Так как пред
Решим предыдущий пример с длиной стержня l 2 м.
|
l |
|
0,7 2 |
56 |
|
imin |
0,025 |
||||
|
|
|
( 56 100 ), то формула Эйлера НЕ применима.
Критическое напряжение определяем по эмпирической зависимости
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
кр тс тс |
пц |
|
|
|
240 240 200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
100 |
|
|
227, 46 МПа |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
пред |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критическая сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
A 227, 46 10 |
6 |
|
0,1 |
1,785 10 |
6 |
|
Н 1785 кН |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
кр |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент запаса по устойчивости: |
n |
|
|
Fкр |
|
|
|
1785 |
3,57 . |
|||||||||||||||
y |
F |
|
|
|
500 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||