Лекция №8. Основы статистического моделирования

А.8.1. Общие соображения

Важное место в ряду методов матема­тического моделирования занимают статистические методы, преимущест­вами которых являются относительная простота, возможность автомати­зации и объективный характер модели и прогноза. У людей, впервые на практике сталкивающихся со статистическими методами, возникает иллюзия, что с их помощью можно сделать всё. Так как определенная корреляция может быть обнаружена практически между любыми явлениями (при этом часто нет предварительного качественного анализа явления), то часто находят либо несущественные зависимости, либо неправильно определяется их характер.

Конкретные статистические методы базируются на довольно жестких требованиях к качеству обрабатываемых данных и строгих гипотезах о характере поведения анализируемых величин. На практике же экономист имеет дело с информацией, качество которой неудовлетворительно. Обычно неизвестен и тип распределения переменных. Остаются две альтернативы: вообще отказаться от применения статистических методов, или применить разнообразные методы, не забывая о требованиях.

Под статистическим моделированием обычно понимают моделирование на основе статистики. Подавляющее большинство авторов придерживаете мнения, что здесь «требуется оценить значение случайного процесса в момент времени "Т" по его значениям на некотором множестве моментов времени, предшествовавших "Т"».

Методы, основанные на регрессионном анализе, используют предпо­ложение о том, что прогнозируемый процесс может быть представ лен в виде суммы детерминированной функции, называемой трендом стационарного случайного процессас нулевым математическим ожиданием, дисперсиейи автокорреляционной функцией. Вторым предположением является известный вид детерминированной фун­кции с точностью до значений числовых параметров, которые определя­ются на основе наблюдений. Третьим является предположение об экстраполяции тренда на период прогнозирования, четвертым – предположение об экстраполяции случайной составляющей.

Чаще всего уравнение регрессии (т.е. функциональной зависимости между математическими ожиданиями Сл.В.) выбирают в виде полинома, коэффициенты которого находят из условия наилучшего согласования с наблюдениями в смысле метода наименьших квадратов. Для оценки урав­нения регрессии сравнивают дисперсию, найденную по этому уравнению, и генеральную , при этом за генеральную берут дисперсию, опреде­ляемую по большей (по представительной) выборке –. Под уточненнымуравнением регрессии понимают увеличение степени полинома. Уравнение регрессии принимают за тренд, разность его с наблюдением - за случайную составляющую процесса, а точность прогнозирования случайной составляющей оценивают на основе границ истинного среднего черезвыборочное среднее и наблюденную дисперсию генеральной выборки.

Таким образом, применение регрессионного анализа для целей про­гностического моделирования процесса нельзя считать полностью обос­нованным и метод законченным. Большую трудность представляет проблема выбора тренда, который во многих случаях не может быть полиномом (например, является функцией вида ,,, функцией Пирла-Ленца и др.). По списку Хауштейна такихфункций семнадцать. Естественно, возникает вопрос "Почему мы отдаем предпочтение той или иной функции?" Обычно отвечают так: "Возьмем определенный критерий и с его помощью оценим отклонение, производную или какую-нибудь другую характеристику, которая является общей для выбранного класса функций" . Это соображение имеет тот недостаток, что в лучшем случае зависит от нашего математического кругозора, а при обработке этих данных на ЭВМ – от имеющегося в распоряжении машинного времени, необходимого для последовательного просмотра всех функ­ций с целью выбора наилучшей по принятому критерию.

Чисто прагматический метод Бейлинсона Я. Е. основан на предположении, что большинство экономических процессов описывается удовлетво­рительной функцией вида

где – полином степениk, - параметры задачи,n – объём выборки.

А.8.2. Элементы факторного анализа

Статистические методы опи­сания экспериментальных данных не обладают, как правило, свойством полноты исследуемой модели. Неполноту отдельных наблюдений во многих случаях удается компенсировать, опираясь на учет объективно существующей внутренней взаимосвязи между несколькими варьируемыми случайных признаками. Для этого разнородные группы изолированных наблюдений объединяют в сложный многокомпонентный комплекс той или иной качественной структуры в зависимости от целей исследования и особенностей его объектов изучения. Методы разложения квадратов отклонений для изучения взаимосвязей между отдельными случайными явлениями с помо­щью статистических комплексов получили название факторного анализа. Измерение и последующий анализ факторов (параметров, признаков), влияющих друг на друга и на конечный результат наблюдения – идеологическая основа, на которой базируется факторный анализ.

Под факторным анализом понимается математико-статистическое изучение конечных результатов в зависимости от изолированного или сов­местного действия факторов, а также качественные и количественные оценки эффективности этого действия не только при большом, но и при сравнительно малом числе экспериментальных наблюдений в процессе.

Схема факторного анализа проходит, как известно, две стадии:

а) стадия выявления действующих на результат основных факторов;

б) стадия статистического анализа оценивания действия данных факторе.

Предложим вниманию читателя конкретный пример из области геометрии. Обозначим через - фактор "умения",- фактор "знания",- фактор "навыки" при обучении .Для темы "Подобие треугольников", логично рассмотреть следующие основные варианты факторов и:

– умение видеть и узнавать подобные треугольники (задан, № 5 );

– умение видеть и узнавать подобные треугольники (задан. № 6 );

– знание первого признака подобия (например, по двум углам);

– знание второго признака подобия (например, по трем сторонам);

– знание третьего признака подобия(по углу и отношению сторон);

– навык находить соответствующие элементы в подобных треугольниках;

– навык составлять отношение пропорциональных сторон.

Если мы устраним все присоединяющиеся в процессе исследования дополнительные подфакторы и максимально ослабим все прочие, то при измерении эффекта изолированного действия каждого из трех основных факторов иможно сравнивать и их вариантыдруг с другом при прочих адекватных условиях процесса.

Покажем действие этих приемов на общем трехфакторном комбинаци­онном комплексе вида:

		Ср.шк. Ср.шк. № 22 № 26		Ср.шк. Ср.шк. №22 №26		Ср.шк. Ср.шк. №22 №26
Фактор (умения) Вариант		18	12	23	23
		23	18	16	19
Фактор Вариант		13	11	16	18	20	16
		15	17	18	20	20	20

Здесь в клетки таблицы-комплекса внесены числа, показывающие, сколько учащихся справилось с тем или иным типом упражнений по заданиям №5 и №6. Общий объем выборки берем равным 25.

Два варианта и главного фактора можно сравнить лишь так: сравнивается с . Для характеристики этих двух вариантов фактора «умения» мы можем вычислить среднюю величину: складывая 8 чисел верхней части таблицы, получим 152, тогда первое среднее арифметическое равно 19. Аналогично для варианта второе среднее арифметическое будет равным 17. Эти результаты мы занесем в сводную вспомогательную таблицу.

	19
	17

Отсюда видно, что вариант фактора выше, чем вариант того же фактора на (+2) (при прочих равных условиях).

Такого рода сопоставление мы будем именовать в дальнейшем «поиском», произведенном в определенном интересующем нас «разрезе», а «разрез» характеризуем соответствующими условными буквенными обозначениями. Для данного случая – это . Полученная выше разность средних величин, равная (+2) и будет служить числовым измерителем (мерой) эффекта действия основного фактора на результативный случайный признак .

Если бы мы захотели получить разность по градациям вариантов и(то есть приняли бы факторза главный), то мы смогли бы это сделать уже не в одном, а в нескольких возможных разрезах (в зависимости от той или иной группировки трех вариантов основного фактора«знания»).

Так, например, осуществив поиск в разрезе ,мы пришли бы к разности средних величин, равной (-3,4 ). Но это не единственный разрез, по которому можно осуществить поиск для исследования влияния главного фактора на поведение результативного признака .

Допустим, что фактор «знания» необходимо нам учесть в разрезе . Чтобы показать,что этот поиск ведется только на материале варианта в исходной таблице, мы прибавим буквенные обозначения к принятому ранее обозначению поиска и окончательно запишем его в виде (). Тогда данный поиск после соответствующих вычислений нам даст разность средних величин, равную (-3).

Поиски такого рода мы назовем «частными» в отличие от вышеприведенных «общих» поисков, поисков вида и . Примеры общих и частных поисков нам дадут возможность определить эффективность изолированного (одиночного) действия основных факторов ина поведение случайного результативного признака.

На основе общих и частных поисков в тех или иных разрезах исходной таблицы-комплекса, можно уже сделать предварительные выводы:

а) Вариант фактора выше, чем вариант того же фактора в среднем на (+2);

б) Вариант фактораниже, чем варианттого же фактора в среднем (-3,4);

в) Вариант фактора ниже, чем вариант того же фактора в среднем (-3,2);

г) Вариант фактора ниже, чем варианттого же фактора в среднем на (-1,6).

В дальнейшем при более детальном исследовании взаимосвязи вариантов и основного фактора "навыки" будет показано, что предварительный вывод г) на основе лишь сравнения средних для и не обладает свойством устойчивости и статистически не до­стоверен.

Приступим далее к описанию приёмов вычисления эффективности совместного действия основных факторов ина поведение результативного признака .

Меру эффективности, например, главного фактора , равную в данном случае (+2), нельзя в общем случае рассматривать изолированно от действия других действующих главных факторов и . Её нужно трактовать как некоторый средний итог нескольких аналогичных сравнений в пределах отдельных вариантов других факторов (например, по отдельным градациям фактора "знания") и в этом смысле выводы а) — г) и были названы нами как предварительные.

Чтобы детализировать последнее, произведем два частных поиска и, то есть сравним результаты применения вариантов и фактора «умения» к вариантам и фактора "знания". Мы получим так называемый 57 «комбинаци­онный поиск» по двум основным факторам и без учета варианта фактора . Отсюда уже более наглядно просматривается преимущество варианта перед вариантом факто­ра в разрезе первых двух вариантов основного фактора . Кроме того мы наблюдаем так называемый первый тип эффективности 57, состоящий в том, что обе средние разности иполучаются с одним я тем же знаком, а их общая разность (+1,5) не равна нулю.

Первый тип эффективности указывает на то, что главный фактор оказывает на результативный признак действие одного и того же характера (вариант фактора выше, чем вариант того же фактора как для первого варианта фактора , так и для второго варианта этого же фактора, а различие в этом действии лишь количественное).

Аналогично, первый тип эффективности мы наблюдаем и в комби­национном поиске , построенном на двух частных поискахи. Здесь частные поиски дают соответствующие средние разности (+3,4) и (+2,1), а общая их разность комбинированного поиска будет равна (+1,3) (см. данные исходной таблицы-комплекса). Следовательно основной фактор и в этом случае обладает статистической устойчивостью.

Второй тип эффективности можно проследить на примере комбинационного поиска , принимая факторв ка­честве главного и рассматривая его в разрезе вариантов и фактора. Здесь поискприводит к результату 0 и соответственно. Общая разность частных поисков будет равна (+2,8). Второй тип эффективности характеризуется тем,что в одном из сопоставляемых вариантов частных поисков разность средних нулевая.

Третий тип эффективности можно проследить на примере комбинационного поиска , тогда получим соответст­венно для частных поисковиразности средних равные (-4,75) и (+1,75) и их общую разность для комбинационного поиска (-6,5). Здесьхарактерным является разли­чие в знаках у двух сравниваемых количественных характеристик эффективности (соответственно (-) и (+) ).

Последнее обстоятельство говорит о том, что в комбинационных поисках иварианты и главного фактора ведут себя в сочетании о вариантами и фактора в вариантами ифактораразнохарактерно, что указывает на то, что предварительный выводг) не обладает свойст­вом статистической устойчивости.

Действительно, ведь вариант фактора «навыки» означал навык находить соответствующие элементы вподобных треугольниках, в то время, как вариант требовал навыка составления отношения пропорциальных сторон. Аналогично можно рассмотреть комбинационные поиски и двойные факторные сочетания вариантов ,и главного фактора «знания» с вариантами факторов и . Это приводит к следующим оценками соответственно в комбинационном поиске, то есть приходим к первым типам эффективности в обоих комбинационных поисках. Сравнивая вариантыив направлении основного фактора, мы опять приходим к первому типу эффективности.

Значит, главный фактор «знания» оказывает на результатив­ный признакдействия одного и того же характера как для первого вариантаосновного фактора, так и для второго вариантатого же фактора.

Таким образом, предварительные выводы о сравнении вариантов и , ,и, сделанные на основе анализа изолирован­ного (одиночного) воздействия факторов и на результативный признак(выводыа) - в)) подтверждаются, а для варианта в сравнении с вариантом фактора (выводг) ) – нет.

Во всех приведенных выше примерах комбинационных поисков и двойных факторных сочетаний были выполнены общие комбинационные поиски. При помощи основной таблицы-комплекса можно выявить и ряд дополнительных интересующих исследователя деталей, изучая, например, частные комбинационные поиски вида и т.д. (являющиеся примерами т.н.тройных факторных сочетаний). Такого рода частные поиски мы рассматриваем далее при выводе статистических оценок достоверности.

В разобранной процедуре различных поисков априори предпола­гается, что любая простая или сложная разность средних величин являлась достоверной и говорила о наличии закономерностей связи двух или нескольких сопоставляемых средних в разрезе рассматрива­емых факторов. Обычно принято считать, что значительные по своей абсолютной величине разности средних гарантирует большую надежность статистических выводов, а малые требуют некоторой ос­торожности в качественной их интерпретации: разности очень малых значений следует призвать явно случайными,

К настоящему времени в факторном анализе достаточно подробно разработаны критерии и способы оценки достоверности выводов, учитывающие все эти соотношения и позволяющие сделать обоснованные и объективные заключения о надежности любых выявленных в процессе факторного анализа количественных различиях.

С помощью такого рода приёмов вычислим сначала меру случайно­го варьирования возможных значений результативного признака , составляющий данный статистический комплекс (в качестве его берём исходную таблицу).

Варьирование всех двадцати возможных значений результативного признака вызывается взаимосвязью трёх изучаемых в данном эксперименте по теме «Подобие» основных факторовии возможных сочетаний по два и по три в том иди ином разрезе. Это варь­ирование выражается в различиях исходных данных, наблюдаемых по от дельным столбцам, строкам и клеткам исходной матрицы.

Случайное же их варьирование, названное взаимодействием всех суммарно учтённых при данных наблюдениях в эксперименте прочих факторов определяет колебания значения признака внутри отдельных клеток этой таблицы.

С этой целью измерим среднюю величину случайных всех возможных значений результативного признака (числа выполнивших тот или иной тип упражнений в заданиях №5 и №6). Составим вспомогательную таблицу-комплекс, изображенную на следующем рисунке:

		15	23
		20,5	17,5
		12	17	18
		16	19	20

Данная таблица получена из исходной таблицы вычислением средних значений внутри каждой клетки.

Сравнивая каждое значение с соответствующим средним в данной клетке, мы можем судить об отклонениях признака отто есть. Так, например, сравнивая 18 и 12, стоящие в первой верхней клетке исходной таблицы-комплекса на с общим средним этих чисел, равным 15, получим первые два отклонения, равные соответственно 3 и (-3). Поступая ана­логично со всеми двадцатью возможными значениями, составляющими исходную таблицу-комплекс, можно получить двадцать соответствую­щих отклонений и построить вспомогательную таблицу, изображённую на рисунке, состоящую из квадратов отклонений.

		9	9	0	0
		6,25	6,25	2,25	2,25
		1	1	1	1	4	4
		1	1	1	1	0	0

Находим далее сумму квадратов всех отклонений, используя данные исходной таблицы-комплекса, тогда имеем:

.

Эта сумма является величиной случайного варьирования всех двадцати значений Х результативного признака около внутригрупповых средних значений .

Дисперсия результативного признака будет равна квадрату среднего квадратического отклонения, в данном случае , а само средне квадратическое.

Вычисленные средние величины подвержены менее сильным колебаниям и под влиянием случайных воздействий варьируют в значительно более узких пределах, определяемых величиной так называемой средней ошибки по формуле , гдеN – общее число значений.

Так, например, возвращаясь к общему поиску , мы получим два средних значенияи. Каждое из этих значений было вычислено изисоответствующих возможных первоначальных значений признака . Следовательно, средняя ошибка этих средних значений будет равна . Здесь.

Этот результат обычно приписывается к соответствующим средним значениям с двойным знаком. Итак, имеем. Аналогично со средним значением.

В дальнейшем будем вычислять не средние ошибки , а их квадраты, то есть=0,51, тогда, аналогично.

Теперь вычислим найденную величину квадрата средней ошибки во вспомогательную таблицу вида :

	19(0,51)
	17(0,51)
Разность	+2(1,02)

По ходу факторного анализа нас интересуют не средние значения 19 и 17, а их разность (+2). Средняя ошибка этой разности будет равна:, квадрат ее равен 1,02. Это значение 1,02 и записано в последней таблице на предыдущем рисунке в скобках рядом с оцениваемой разностью средних. Достоверность разности (+2) определяется путем сравнения ее с соответствующей средней ошибкой. В рассматриваемом примере общего поискаимеем, то есть данная разность (+2) превышает квадрат средней ошибки примерно в 2 раза.

Обозначим нормированную разность средних значений через , тогда получимдля рассматриваемого в качестве примера поиска. В дальнейшем будем пользоваться не отношением, а его квадратом.

Показатели выражены в пятибалльной системе и баллы обычно обозначают буквой. Следующая таблица содержит выписку из упомянутой оценочной таблицы для числа степеней свободы от 10 до 11:

	1	2	3	4	5
	p=0,95	p=0,97	p=0,99	p=0,996	p=0,999
10 - 11	4.0-5.9	6.0-8.4	8.5-12.2	12.3-17.4	17.5-23.6

Принято считать, что балл = 1 яв­ляется достаточным для апробации предварительных экспериментальных данных, имеющих лишь ориентировочный (так сказать «разведывательный») характер. Балл=3 дает вполне удовлетворитель­ную гарантию доброкачественности (надёжности) статистических выводов оценивания в обычных условиях педагогического эксперимен­та. Балл= 5 даёт основание исследователю использовать подучен­ный в эксперименте результат для обобщений, носящих уже принципиальный характер. Баллы=2 и=4 имеют соответствующие промежуточные значения.

Описанную процедуру статистического оценивания тех или иных выводов мы использовали при факторном анализе взаимосвязи при формировании знаний, умений и навыков по данный педагогического эксперимента по теме «Подобие» на примере выполнения заданий №5 и №6. При этом учитывались данные исходной таблицы-комплекса при всевозможных типах общих, частных и комбинационных поисков по различным направлениям комплекса.

Интересно отметить, что если описанную процедуру применить к общему поиску , то получим вспомогательную таблицу вида:

	17 (0,51)
	18,6 (0,51)
Разность	(-1,6) (1,02)

По приведенным данным показатель будет равен приблизительно 2,5. Он не попадает ни в один из рассматриваемых интервалов вспомогательной таблицы значит балл =0. Таким образом, мы не имеем основания различия в общем поискемежду вариантами и считать достоверными, что еще раз не подтверждает предварительный вывод г) о том, что вариант по эффективности ниже, чем вариант главного фактора .

В таком же порядке проводится вычисление для оценки достовер­ности совместных двойных и тройных факторных сочетаний.

Так, например, учитывая поиск в разрезе ( первого и второго вариантов главного фактора«знания» ), получим вспомогательную таблицу вида:

	15,8 (0,64)
	19,2 (0,64)
Разность	(-3,4) (1,28)

Среднее значение вычислено из восьми наблюдений, значит, при том же значении квадрата средней ошибки, равного 5,1, что и ранее, имеем.

Аналогично для второго среднего значения . Согласно вышеприведенным данным мы получим. Этот показатель попадает в третий из интервалов оценочной таблицы, то есть должен быть оценен баллом=3.

Учитывая поиск в разрезе (первого и третьего вариантов главного фактора«знания») получим вспомогательную таблицу вида :

	15,8 (0,64)
	19 (0,64)
Разность	(-3,2) (1,28)

Здесь среднее значение =19 вычислено из восьми наблюдений, значит, при том же значении, что и ранее, квадрат средней ошибки. Согласно приведенным данным показательпопадает во второй интервал оценочной таблицы, то есть должен быть оценен баллом=2.

Учитывая поиск в разрезе (сгруппированных данных первого и третьего вариантов и отдельно второго варианта факторав исходной таблице-комплексе), получим вспомогательную таблицу вида :

	16,9 (0,42)
	19,2 (0,64)
Разность	(-2,3) (1,06)

Здесь среднее значение 16,9 вычислено из 12 наблюдений, значит, при том же значении =5,1, что и ранее, квадрат средней ошибки равен примерно 0,42. Согласно приведенным данным показатель5,2. Этот показатель попадает в первый из интервалов оценочной таблицы, значит должен быть оценен баллом=1.

Учитывая поиск в разрезе (на основе сгруппированных данных второго и третьего вариантов и отдельно первого варианта факторав исходной таблице-комплексе) получим следующие результаты: показатель= 5,2 должен быть оценен баллом=1.

Аналогично, учитывая частный поиск , получим значение показателя, приблизительно равное 5,6, которое должно быть оценено баллом1.

Учитывая поиск в разрезе ( на основе сгруппированных данных первого и второго вариантов и отдельно третьего варианта фактора) получим =5,8 , которое оцениваем баллом =1.

Приступим далее к оценке достоверности более сложных комби­национных поисков. Учитывая комбинационный поиск в разрезе , то есть принимая фактор«знания» в качестве главного и рассматривая его в направлении основного фактора«навыки», получим следующую вспомогательную таблицу:

			Разность
	13,5 (1,28)	18,25 (1,28)	(-4,75) (2,56)
	20,0 (1,28)	18,5 (1,28)	(+1,5) (2,56)
Разность	(-6,5) (2,56)	(-0,25) (2,56)	(-6,25) (5,12)

Согласно приведенным данным этой таблицы видно, что показатель приблизительно равен 7,5 и должен быть оценен баллом=2.

В таком же порядке выполняются необходимые вычисления и для комбинационных поисков еще более сложной структуры. Так, например, сложный поиск в разрезе приводит нас к следующим двум вспомогательным таблицам, изображенным ниже.

			Разность
	15 (2,56)	23 (2,56)	(-8) (5,12)
	12 (2,56)	17 (2,56)	(-5) (5,12)
Разность	(+3) (5,12)	(+6) (5,12)	(-3) (10,24)

			Разность
	20,5 (2,56)	17,5 (2,56)	(+3) (5,12)
	16 (2,56)	19 (2,56)	(-3) (5,12)
Разность	(+4,5) (5,12)	(-1,5) (5,12)	(+6) (10,24)

Общая разность, характеризующая эффективность данного тройного сочетания этих факторов в последовательности будет таким образом равна (-3)-(+6)=-9. Квадрат средней ошибки этой разности равен 20,48. Показатель достоверности4 попадает в первый из интервалов оценочной таблицы и поэтому должен быть оценен баллом=1.

Аналогично можно рассчитать сложный комбинационный поиск , он приводит к результату6,1 и=2. В поисках,и, а такжепоказателине попадают даже в первый из интервалов оценочной. Следовательно для всей совокупности вышеупомянутых поисков баллы=0.

Поэтому мы не имеем оснований считать, что различия средних значений рассматриваемых поисков статистически достоверны (если принимать фактор «навыки» в качестве главного). Эти различия в средних значениях могли бы обнаружиться и при случайном варьировании исходных экспериментальных данных возможных значений результативного признакав данной их группировке.

Сделав сводку вышеприведенных общих, частных и сложных комбинационных поисков, которые можно сделать в пределах исходной таблицы-комплекса, мы приходим к следующим результатам:

№	Наименование поиска	Оценка	Балл
1		4	1
2		9	3
3		8	2
4		2,5	0
5		5,2	1
6		5,2	1
7		5,2	1
8		5,6	1
9		7,5	2
10		4	1
11		6,1	2
12		2,2	0
13		1,8	0

Таким образом, эффективными (в том или ином определенном разрезе) необходимо считать только такие факторы, которые при оценке достоверности их влияния на результативный признак получили оценку баллом=1 и выше.

На основании проведенных расчетов при помощи факторного анализа взаимосвязи и оценок достоверности статистических выводов по результатам педагогического эксперимента по теме «Подобие», можно подвести краткие итоги настоящего параграфа :

1) Первым эффективным фактором при формировании является фактор «знания» (см. поиск 2), далее фактор«умения» (см. поиск 1) и наконец нейтральным ( в смысле факторного анализа) является фактор«навыки» (см. поиск 4);

2) Наиболее эффективными двойными факторными сочетаниями являются («знания» + «навыки») (см. поиск 9), тройными факторными сочетаниями являются(«умения, знания, навыки») (см. поиски 10 и 11), причем в последовательностиболее предпочтительнее (баллвыше в поиске 11) нежели в последовательности;

3) На основании поисков 4, 12 и 13 можно считать статистиче­ски несостоятельными предложения предварительного вывода г).

Описанные процедуры позволяют исследователю статистически обоснованно доказывать различие сравниваемых средних величин, а не их равенство. Следовательно, оценка означает не равенство сравниваемых случайных средних возможных значений, а лишь указывает на отсутствие их различия. Быть может, они качественно и отличаются друг от друга, но предложенная методика еще не выяв­ляет этого различия. Таким образом, при использовании приемов факторного анализа устанавливается толь­ко эффективность действия отдельных факторов и их возможных соче­таний по два и по три, а нейтральность их необходимо выявлять до­полнительным косвенным путем.

Результаты математической обработки данных в рассмотренном иллюстративном модельном примере выполнения заданий №5 и №6 из темы «Подобие» дают возможность и охарактеризовать знания, умения и навыки учащихся в процессе их формирования по вышеупомяну­той теме.

4) То, что фактор «знания» явился первым главным фактором, наиболее эффективно влияющим на поведение результативного призна­ка, свидетельствует о том, что «знание учащимися признаков подобия треугольников» на данном уровне обучения имеет преимуще­ство перед умениями и навыками. Поэтому можно сделать вывод, что формированию знаний исследователем уделялось значительное внимание в учебном процессе. При этом следует заметить, что знание каждого из трёх признаков подобия треугольников в заданиях №5 и №6 определялось упражнениями, в которых следовало произвести действия, адекватные характеру этого знания (знание теоремы), и должно было сопровождаться использованием навыков-действий фиксирования соответствующее моментов треугольников и приёмов их соотношения между собой.

5) Следующий по эффективности действия на результативный случайный признак является фактор«умения», что нам даёт возможность говорить, что «умение видетьи узнавать подоб­ные треугольники» уже присутствует, но находится в стадии станов­ления. Умение «видеть и узнавать подобные треугольники» опреде­ляется содержанием вышеупомянутых заданий №5 и №6 , которые характеризуются совокупностью знаний и навыков. Из полученных оценок достоверности для вариантов и фактора«умения» вытекает, что вариант выше, чем вариант . Это объясняется тем, что в задании №5 учащиеся используют два признака подобия треугольников, изученные ими, а упражнения задания №6 ориенти­руют учащихся на использование трех изученных к этому времени признаков подобия треугольников»

В факторе , как и в любом умении, проявляется взаимодей­ствие системы навыков, положительный их перенос и использование в разных заданных ситуациях.

6) Нейтральным в описанном модельном примере является фак­тор «навыки». Отсюда можно заключить, что навыки «записывать соответствующие элементы в подобных треугольниках» и навыки «составлять соотношения пропорциональных отрезков» к моменту выполнения заданий №5 и №6 слабы, и на их отработку обучающему необходимо обратить внимание.

«Записывать соответствующие элементы в подобных треугольни­ках» и «составлять соотношения пропорциональных отрезков» мы от­несли к навыкам, так как их можно характеризовать действием по образцу, то есть для их формирования можно составить алгоритм.

Со второй половины 60-х годов факторный анализ получил признание в качестве универсального метода компактного пред­ставления больших массивов статистических и экспериментальных данных, он широко используется для обработки экспериментов в самых различных областях социально-экономических исследований.

Наиболее эффективные результаты дает приложение факторно­го анализа к тем областям, где существует необходимость выра­ботать комплексные надежные параметры, которые могут быть ис­пользованы как шкалы для соизмерения множества объектов, как критерии классификации объектов, где необходим учет множест­ва разноплановых характеристик, соизмеряемых с существенными ошибками и особенно там, где наиболее важные параметры про­цесса не поддаются непосредственному измерению.

Широкое применение находят методы факторного анализа (часто в комбинации с другими экономико-математическими ме­тодами) при исследовании задач экономики - изучении и пост­роении разного рода обобщенных показателей ( качество продук­ции, размер предприятия в широком смысле, уровень жизни, уро­вень интенсивности ведения хозяйства, типология предприятий, агрегирование отраслей, движение цен и пр. ).

Краткий перечень конкретных проблем, решаемых с помощью методов современного факторного анализа:

1. Минимизация описаний (то есть определение основных xaрактеристик различий между объектами наблюдений);

2. Формулировка и проверка гипотезы о природе основных аспектов различий между объектами наблюдений;

3. Выявление структуры взаимосвязей в наборе признаков изучаемого объекта;

4. Сопоставление структуры нескольких наборов признаков объектов наблюдений;

5. Построение некоторого обобщенного показателя (индек­са, шкалы);

6. Ранжирование объектов наблюдений.

7. Осуществление типологии объектов наблюдений.

Разнообразие круга приложений методов факторного анализа связано с тем, что они играют основополагающую роль при реше­нии такой универсальной задачи научного исследования, как за­дача типологии.