Введение

Математика уже давно получила признание в качестве инструмента изучения явлений и процессов реального мира. Наиболее прозрачное и концентрированное выражение законов физики и техники получается тогда, когда привлекаются термины математики, т.е. термины той науки, которая среди прочих обладает удивительной универсальностью. И действительно, методы математического исследования составляют неотъемлемую часть очень многих областей знания. Такое неслучайное и тесное взаимоотношение мира реального, осязаемого экспериментально, и мира математического восхищало знаменитых представителей школы Николя Бурбаки. Вот что они по этому поводу писали: «То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, это, кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого и, может быть, мы их никогда и не узнаем».

Но, пожалуй, самая примечательная особенность любого закона, любой структуры, выраженных в терминах математики, это возможность сделать предсказания, осуществить прогноз, что, безусловно, является необходимой и неотъемлемой чертой любого научного исследования или описания.

У традиционного представителя технических наук, когда он слышит такие слова, как формула, закон, математика, обычно возникает ощущение о строго формализованном описании, о жестко формальных способах анализа, где нет места методам аналогии, приемам интуитивного и ассоциативного мышления, к которым он привык и которыми плодотворно пользуется в своей повседневной практике. Это верно, но лишь отчасти.

Традиционная, или, как еще её называют, чистая математика, действительно основана на формальных способах анализа и на формальных построениях в виде математических структур, систем аксиом, их непротиворечивости и т.д. В прикладной математике же все обстоит иначе. В подавляющем большинстве прикладных исследований математические рассуждения отнюдь не проводятся на чисто дедуктивном уровне. Они, как правило, носят рациональный характер. Здесь уже принципиально недостижима доказательность того же уровня, как в чисто математическом исследовании.

С другой стороны, к решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто математических исследованиях считаются второстепенными. Прикладная задача должна быть решена не только правильно, но и своевременно, экономно по затраченным усилиям. Решение задачи должно быть доступным для имеющихся вычислительных средств и пригодным для фактического использования, точность решения должна соответствовать поставленной задаче и т.д. Наилучшее выполнение всех этих, порой взаимоисключающих друг друга требований, условно называют оптимальностью решения.

Расширение области использования математики при анализе природных объектов, её применение в новых областях связаны с понятием «модель». Можно сказать, что прикладная математика – это наука о математических моделях. Более подробно – это наука о построении, исследовании, интерпретации и оптимизации математических моделей. Обычно в прикладном математическом исследовании можно условно выделить следующие основные этапы математического моделирования:

1. Выбор исходных теоретических положений, обобщение опыта и экспериментальных наблюдений, предложение гипотезы;

2. Математическая формулировка задачи – собственно построение математической модели, математическое моделирование;

3. Выбор метода исследования сформулированной задачи;

4. Проведение математического исследования модели;

5. Оценка согласованности математической модели с экспериментальной информацией;

6. Анализ и интерпретация модели;

7. Выводы, рекомендации, корректировка модели (либо её переформулировка, перестройка).

Построение модели по результатам наблюдений представляет собой формализацию, необходимую для определения основных признаков, связей, закономерностей, присущих объекту-оригиналу, и отсеивания второстепенных признаков. Для одного и того же объекта в зависимости от конкретных требований практики и типа решаемой задачи может быть построен ряд моделей, осуществлена формализация различных функций этого объекта или внешних воздействий на него. В этом в известной мере проявляется принцип декомпозиции, применение которого и дает возможность построить относительно простые модели. В дальнейшем оказалось, что во многих случаях модель, принятая при проектировании, существенно отличается от реального объекта, что значительно уменьшает, а зачастую и сводит на нет эффективность разработанной модели.

В связи с последним обстоятельством возникло одно из новых и важных направлений в теории управления, связанное с построением модели на основании наблюдений, полученных в условиях функционирования объекта по его входным и выходным переменным (получившее название идентификации систем управления). Задача идентификации: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными должна быть построена оптимальная в некотором уточняемом ниже смысле модель, то есть формализованное представление объекта. Задача идентификации базируется на современной теории управления и принятия решений, использующей быстродействующие вычислительные машины. При этом известна структура системы и задан класс моделей, к которому данный объект относится. Априорная информация об объекте достаточно велика. Если же последняя в широком смысле отсутствует или очень бедная, приходится предварительно решать большое число дополнительных задач. К числу последних относятся: выбор структуры схемы, задание класса моделей, оценивание степени стационарности, линейности объекта, действующих переменных, оценивание степени и формы влияния входных переменных на выходные, выбор информативных параметров и др.

Цель дисциплины «Основы математического моделирования», читаемой на протяжении ряда лет аспирантам первого года обучения и соискателям кандидатских диссертаций Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса, состоит в ознакомлении слушателей с основными принципами построения математических моделей реальных объектов, их интерпретации, оптимизации и адекватной объекту идентификации предложенной модели.

Теоретическая часть содержит элементы общей теории систем, системного подхода и системного анализа в современной науке, показатели и критерии оценки систем, шкалы, основные принципы построения и анализа математических моделей процессов и систем, вопросы практической оптимизации полученных математических моделей, основы факторного анализа и планирования эксперимента, способы и схемы диалогового, дискретно-целочисленного и статистического моделирования. Главное внимание уделено как математическому аппарату, так и построению адекватной математической модели. Показано, как надо избегать ошибок при использовании тех или иных математических методов, учитывать ограничения, накладываемые на используемый метод в разных ситуациях. Изложение сопровождено примерами решения конкретных прикладных задач.

В процессе изучения дисциплины «Основы математического моделирования» слушатель должен подготовить, оформить и защитить реферат, адекватно отражающий его научную деятельность по работе над диссертацией. Практическая часть содержит примерное содержание научных рефератов аспирантов первого года обучения, предоставивших свои работы авторам пособия.