- •Основы математического моделирования
- •Введение
- •А. Теоретическая часть лекция №1. Понятие общей теории систем, системного подхода и системного анализа
- •Лекция №2. Показатели и критерии оценки систем. Шкалы
- •Лекция №3. Введение в математическое моделирование
- •Лекция №4. Практическая оптимизация математических моделей (часть I)
- •Лекция №5. Практическая оптимизация математических моделей (часть II)
- •Лекция №6. Диалоговые системы оптимизации
- •Лекция №8. Основы статистического моделирования
- •Лекция №9. Статистические методы исследования операций в экономике
- •Лекция №10. Элементы теории прогнозирования и идентификации систем управления
- •Например, критерий вида
- •Библиографический список
- •Б. Практическая часть
- •Б.1. Моделирование развития промышленного предприятия на основе параллельных структурных элементов а.В. Прокшин, о.А. Кракашова, б.Ю. Сербиновский
- •Содержание
- •Введение
- •1. Задача производства продукции и распределения ресурсов в условиях их ограниченности
- •Из табл. 1 можно получить также зависимость
- •2. Задача развития предприятия
- •3. Задача распределения работ n цехам
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Б.2. Разработка математической модели сложного движения а.Владимиров
- •Огибание неподвижной прямой линии дугой окружности
Лекция №2. Показатели и критерии оценки систем. Шкалы
А.2.1. Показатели и критерии оценки систем
Существенные свойства в соответствии с представлением системы как семантической модели можно условно классифицировать не только по уровню сложности, но и по принадлежности к системообразующим (общесистемным), структурным или функциональным группам. Ниже приведены характерные показатели существенных свойств систем:
• общесистемные свойства целостность, устойчивость, наблюдаемость, управляемость, детерминированность, открытость, динамичность и др.;
• структурные свойства состав, связность, организация, сложность, масштабность, пространственный размах, централизованность, объем и др.;
• функциональные (поведенческие) свойства результативность, ресурсоемкость, оперативность, активность, мощность, мобильность, производительность, быстродействие, готовность, работоспособность, точность, экономичность и др.
При таком рассмотрении показатели качества можно отнести к области общесистемных и структурных свойств систем. Свойства же, которые характеризуют процесс функционирования (поведение) системы, можно назвать операционными свойствами или свойствами операции, поскольку искусственные системы создаются для выполнения конкретных операций.
В общем случае оценка операционных свойств проводится как оценка двух аспектов:
1) исхода (результатов) операции;
2) алгоритма, обеспечивающего получение результатов. Качество исхода операции и алгоритм, обеспечивающий поучение результатов, оцениваются по показателям качества операции, к. которым относят результативность, ресурсоемкость и оперативность.
Результативность Э операции обусловливается получаемым Целевым эффектом, ради которого функционирует система.
Ресурсоемкость R характеризуется ресурсами всех видов (людскими, материально-техническими, энергетическими, информационными, финансовыми и т.п.), используемыми для получения целевого эффекта.
Оперативность О определяется расходом времени, потребного для достижения цели операции.
Оценки исхода операции (аспект 1) учитывает, что операция проводится для достижения определенной цели - исхода операции. Под исходом операции понимается ситуация (состояние системы и внешней среды), возникающая на момент ее завершения. Для количественной оценки исхода операции вводится понятие показателя исхода операции (ПИО), вектора, , компоненты которого суть показатели его отдельных свойств, отражающие результативность, ресурсоемкость и оперативность операции.
Оценка алгоритма функционирования (аспект 2) является ведущей при оценке эффективности. Такое утверждение основывается на теоретическом постулате, подтвержденном практикой: наличие хорошего «алгоритма» функционирования системы повышает уверенность в получении требуемых результатов. В принципе, требуемые результаты могут быть получены и без хорошего алгоритма, но вероятность этого невелика. Это положение особенно важно для организационно-технических систем и систем, в которых результаты операции используются в режиме реального времени.
В совокупности результативность, ресурсоемкость и оперативность порождают комплексное свойство - эффективность процесса - степень его приспособленности к достижению цели. Это свойство, присущее только операциям, проявляется при функционировании системы и зависит как от свойств самой системы, так и от внешней среды.
В литературе термин «эффективность» связывается и с системой, и с операцией, и с решением. Образуемые при этом понятия можно считать эквивалентными. В конечном счёте каждое из них отражает соответствие исхода операции поставленной цели. Обычно нужно иметь в виду, что одна или несколько операций реализуются системой. Для большинства операций процедура оценки эффективности решений носит характер прогнозирования.
Выбор критерия эффективности - центральный, самый ответственный момент исследования системы.
Считается, что гораздо лучше найти неоптимальное решение по правильно выбранному критерию, чем наоборот - оптимальное решение при неправильно выбранном критерии.
Процесс выбора критерия эффективности, как и процесс определения цели, является в значительной мере субъективным, творческим, требующим в каждом отдельном случае индивидуального подхода. Наибольшей сложностью отличается выбор критерия эффективности решений в операциях, реализуемых иерархическими системами.
Математическое выражение критерия эффективности называют целевой функцией, поскольку ее экстремизация является отображением цели операции. Отсюда следует, что для формирования критерия эффективности решений в операции прежде всего требуется определить поставленную цель. Затем нужно найти множества управляемых и неуправляемых характеристик системы, реализующей операцию. Следующий шаг - определение показателей исходов операции. Только после этого возможны выбор и формирование критерия эффективности. Показатели (функции показателей) исходов операции, на основе которых формируется критерий эффективности, принято называть показателями эффективности. В отдельных операциях показатель исхода операции может прямо выступать критерием эффективности.
Конкретный физический смысл показателей определяется характером и целями операции, а также качеством реализующей ее системы и внешними воздействиями.
В отдельных системах в качестве показателей результативности могут рассматриваться показатели ресурсоемкости или оперативности, однако качество операции в целом не может быть охарактеризовано ни одним из перечисленных частных свойств в отдельности, а определяется, подобно ПИО, их совокупностью .
Хотя конкретные операции достаточно многообразны, существует ряд общих принципиальных положений, которыми необходимо руководствоваться при формировании системы критериев эффективности решений.
В зависимости от типа систем и внешних воздействий операции могут быть детерминированными, вероятностными или неопределенными. В соответствии с этим выделяют три группы показателей и критериев эффективности функционирования систем:
• в условиях определенности, если ПИО отражают один строго определенный исход детерминированной операции;
• в условиях риска, если ПИО являются дискретными или непрерывными случайными величинами с известными законами распределения в вероятностной операции;
• в условиях неопределенности, если ПИО являются случайными величинами, законы распределения которых неизвестны.
Критерий пригодности для оценки детерминированной операции
определяет правило, по которому операция считается эффективной, если все частные показатели исхода операции принадлежа! области адекватности.
Критерий оптимальности для оценки детерминированной операции
определяет правило, по которому операция считается эффективной, если все частные показатели исхода операции принадлежат области адекватности, а радиус области адекватности по этим показателям оптимален.
Критерий пригодности для оценки эффективности вероятностной операции
определяет правило, по которому операция считается эффективной, если вероятность достижения цели по показателям эффективности не меньше требуемой вероятности достижения цели по этим показателям.
Критерий оптимальности для оценки эффективности вероятностной операции
определяет правило, по которому операция считается эффективной, если вероятность достижения цели по показателям эффективности равна вероятности достижения цели с оптимальными значениями этих показателей.
Основной проблемой оценки эффективности вероятностных операций является неясность способа определения требуемых вероятностей. Это связано с отсутствием достаточной статистики. Известно, что применение методов классической теории вероятностей допустимо при повторяемости опытов и одинаковости условий. Эти требования в сложных системах выполняются не всегда.
Наибольшие трудности возникают при оценке эффективности систем в условиях неопределенности. Для решения этой задачи разработано несколько подходов. Порядок оценки эффективности систем в неопределенных операциях составляет один из разделов теории принятия решений.
Выбор показателей для конкретной системы связан с анализом большого объема плохо структурированной информации, и поэтому в системном анализе сформулированы требования, следование которым позволяет обосновать применимость показателей в данной задаче оценки.
Общими требованиями к показателям исхода операции являются:
• соответствие ПИО цели операции;
• полнота;
• измеримость;
• ясность физического смысла;
• неизбыточность;
• чувствительность.
Одним из основных требований является соответствие ПИО цели операции, реализуемой системой. Цели операции в значительной степени зависят от предназначения системы. Например, для такой ИС, как АСУ, целями операции могут быть обеспечение требуемых значений оперативности, достоверности, устойчивости и безопасности решения задач управления и передачи сообщений и др. Для каждой из выдвигаемых целей должны быть определены одна или несколько составляющих ПИО.
К числу основных требований к ПИО относится также его полнота. Суть этого требования заключается в том, что ПИО должен отражать желательные (целевые) и нежелательные (побочные) последствия операции по показателям результативности, ресурсоемкости и оперативности. Заметим, что одним из показателей правильности выбора составляющих ПИО и их полноты является монотонный характер функции полезности (ценности), построенной для каждой составляющей. Если при этом какая-либо из функций не монотонная, то это означает, что упущены одна или несколько составляющих ПИО.
Следующее важное требование к ПИО - измеримость ею составляющих с помощью либо натурного эксперимента, либо моделей операции. Если рассматриваемая операция не позволяет это сделать, ее целесообразно разложить на подоперации, обеспечивающие измеримость составляющих. Процесс декомпозиции операции на подоперации может быть многоуровневым. Например, операцию «Решение задач управления» можно разделить на подоперации: «Решение задач планирования» и «Решение задач оперативного управления», а последние, в свою очередь, - на «Решение задач учета», «Решение задач контроля» и т.д.
При определении задач ПИО необходимо стремиться к ясности их физического смысла, т.е. чтобы они измерялись с помощью количественных мер, доступных для восприятия. Однако достичь этого удается не всегда. Тогда приходится вводить так называемые субъективные составляющие ПИО. Например, такое свойство людей, как обученность, обычно не может быть определено с помощью характеристик, имеющих физический смысл. В этом случае часто вводят некоторую искусственную шкалу. Другой способ обеспечения измеримости составляющих ПИО переход к показателям-заменителям, косвенно характеризующим рассматриваемое свойство. Требование ясности физического смысла ограничивает возможности агрегирования частных показателей в один критерий. Так, например, не имеет физического смысла обобщенный скалярный показатель, составленный из частных показателей результативности, ресурсоемкости и оперативности.
Важным требованием к ПИО является минимизация его размерности, т.е. обеспечение неизбыточного набора составляющих. С ростом количества составляющих резко возрастает трудоемкость построения функции эффективности.
И, наконец, в группу основных требований к составляющим ПИО обычно вводят их относительно высокую чувствительность к изменениям значений управляемых характеристик.
Таким образом, набор составляющих ПИО может быть определен различными способами, поскольку к настоящему времени еще не существует формальной теории, обеспечивающей объективное решение этой задачи. Два лица, принимающие решение на одну и ту же операцию, могут определить различный состав ПИО. Важно лишь то, что, используя различные ПИО, они должны выбрать одинаковое решение - оптимальное.
А.2.2. Основные типы шкал измерения
В основе оценки лежит процесс сопоставления значений качественных или количественных характеристик исследуемой системы значениям соответствующих шкал. Исследование характеристик привело к выводу о том, что все возможные шкалы принадлежат к одному из нескольких типов, определяемых перечнем допустимых операций на этих шкалах.
Формально шкалой называется кортеж из трех элементов , где Х реальный объект, шкала,гомоморфное отображениеХ на .
В современной теории измерений определено:
эмпирическая система с отношением, включающая множество свойств , на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение . В процессе измерения необходимо каждому свойству поставить в соответствие признак или число, его характеризующее. Если, например, целью измерения является выбор, то элементы , рассматриваются как альтернативы, а отношение должно позволять сравнивать эти альтернативы;
знаковая система с отношением, являющаяся отображением эмпирической системы в виде некоторой образной или числовой системы, соответствующей измеряемой эмпирической системе;
- гомоморфное отображение Х на , устанавливающее соответствие междуХ и так, чтотолько тогда, когда.
Тип шкалы определяется по , множеству допустимых преобразований .
В соответствии с приведенными определениями, охватывающими как количественные, так и качественные шкалы, измерение эмпирической системы Х с отношением состоит в определении знаковой системы с отношением , соответствующей измеряемой системе. Предпочтения на множестве в результате измерения переводятся в знаковые (в том числе и количественные) соотношения на множестве .
Самой слабой качественной шкалой является номинальная (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам , или их неразличимым группам дается некоторый признак. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах.
Шкалы номинального типа задаются множеством взаимно однозначных допустимых преобразований шкальных значений.
Название «номинальный» объясняется тем, что такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются; никакие более тонкие соотношения между значениями не зафиксирова ны. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов.
Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов, поэтому шкалы номинального типа часто называют также шкалами наименований.
Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т. п. Единственная цель таких измерений выявление различий между объектами разных классов. Если каждый класс состоит из одного объекта, шкала наименований используется для различения объектов.
На рис. 2.1 изображено измерение в номинальной шкале объектов, представляющих три множества элементов А, В, С. Здесь эмпирическую систему представляют четыре элемента: , принадлежащих соответствующим множествам. Знаковая система представлена цифровой шкалой наименований, включающей элементы и сохраняющей отношение равенства. Гомоморфное отображение ставит в соответствие каждому элементу из эмпирической системы определенный элемент знаковой системы.
Следует обратить внимание на две особенности номинальных шкал.
Во-первых, элементам с и d поставлено в соответствие одно и то же значение шкалы измерения (см. рис. 2.1). Это означает, что при измерении эти элементы не различаются.
Во-вторых, при измерении в шкале наименований символы 1, 2, 3,... , п, используемые в качестве шкальных значений, являются не числами, а цифрами, служащими лишь для обозначения и различия объектов. Так, цифра 2 не является в два раза или на единицу больше цифры 1 в отличие от чисел 2 и 1.
Всякая обработка результатов измерения в номинальной шкале должна учитывать данные особенности. В противном случае могут быть сделаны ошибочные выводы по оценке систем, не соответствующие действительности.
Шкала называется ранговой (шкала порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.
Монотонно возрастающим называется такое преобразование , которое удовлетворяет условию: если , то и для любых шкальных значений из области определения . Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам. Измерение в шкале порядка может применяться, например, в следующих ситуациях:
• необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве. Это ситуация, когда интересуются не сравнением степени выраженности какого-либо их качества, а лишь взаимным пространственным или временным расположением этих объектов;
• нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;
• какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящим момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.
Примером шкалы порядка может служить шкала твердости минералов, предложенная в 1811 г. немецким ученым Ф. Моосом и до сих пор распространенная в полевой геологической работе. Другими примерами шкал порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров в торговле, различные социологические шкалы и т.п.
Любая шкала, полученная из шкалы порядка S с помощью произвольного монотонно возрастающего преобразования шкальных значений, будет также точной шкалой порядка для исходной эмпирической системы с отношениями.
Несколько более «сильными», чем порядковые шкалы, являются шкалы гиперпорядка. Допустимыми для этих шкал являются гипермонотонные преобразования, т.е. преобразования , такие, что для любых и
только когда ипринадлежат области определенияи.
При измерении в шкалах гиперпорядка сохраняется упорядочение разностей численных оценок
Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов. Тип шкал интервалов содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида , где шкальные значения из области определения ;а > 0; b - любое значение.
Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах:
.
Отсюда и происходит название данного типа шкал. Примером шкал интервалов могут служить шкалы температур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений: .
Другим примером измерения в интервальной шкале может служить признак «дата совершения события», поскольку для измерения времени в конкретной шкале необходимо фиксировать масштаб и начало отсчета. Григорианский и мусульманский календари две конкретизации шкал интервалов.
Таким образом, при переходе к эквивалентным шкалам с помощью линейных преобразований в шкалах интервалов происходит изменение как начала отсчета (параметр b), так и масштаба измерений (параметр а).
Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Однако кроме этого они сохраняют и отношение расстояний между паоами объектов. Запись
означает, что расстояние между и вК раз больше расстояния между ив любой эквивалентной шкале это значение (отношение разностей численных оценок) сохранится. При этом отношения самих оценок не сохраняются.
В социологических исследованиях в шкалах интервалов обычно измеряют временные и пространственные характеристики объектов. Например, даты событий, стаж, возраст, время выполнения заданий, разницу в отметках на графической шкале и т.д. Однако прямое отождествление замеренных переменных с изучаемым свойством не столь просто.
В качестве другого примера рассмотрим испытание умственных способностей, при котором измеряется время, требуемое для решения какой-нибудь задачи. Хотя физическое время измеряется в шкале интервалов, время, используемое как мера умственных способностей, принадлежит шкале порядка. Для того чтобы построить более совершенную шкалу, необходимо исследовать более богатую структуру этого свойства.
Типичная ошибка: свойства, измеряемые в шкале интервалов, принимаются в качестве показателей для других свойств, монотонно связанных с данными.
Применяемые для измерения связанных свойств исходные шкалы интервалов становятся всего лишь шкалами порядка. Игнорирование этого факта часто приводит к неверным результатам.
Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состоит из преобразований подобия , а> 0, где - шкальные значения из области определения Y; а - действительные числа.
Нетрудно убедиться, что в шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов. Действительно, пусть в одной шкале объектам и соответствуют шкальные значения и, а в другой и, где а > 0 - произвольное действительное число. Тогда имеем:
.
Данное соотношение объясняет название шкал отношений. Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. Известно, что при установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Так, производя измерение в килограммах, получаем одно численное значение, при измерении в фунтах - другое и т.д. Однако можно заметить, что в какой бы системе единиц ни производилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется. Этим же свойством обладает и измерение расстояний и длин предметов.
Как видно из рассмотренных примеров, шкалы отношений отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.
Шкалы отношений образуют подмножество шкал интервалов фиксированием нулевого значения параметра b : b = 0. Такая фиксация означает задание нулевой точки начала отсчета шкальных значений для всех шкал отношений. Переход от одной шкалы отношений к другой, эквивалентной ей шкале осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения), т.е. изменением масштаба измерений. Шкалы отношений, являясь частным случаем шкал интервалов, при выборе нулевой точки отсчета сохраняют не только отношения свойств объектов, но и отношения расстояний между парами объектов.
Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига , где - шкальные значения из области определения ;b действительные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета.
Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств. Действительно, если и - оценки объектов и в одной шкале, а и- в другой шкале, то имеем:
.
Примерами измерений в шкалах разностей могут служить измерения прироста продукции предприятий (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение численности учреждений, количество приобретенной техники за год и т. д.
Другим примером измерения в шкале разностей является летоисчисление (в годах). Переход от одного летоисчисления к другому осуществляется изменением начала отсчета.
Как и шкалы отношений, шкалы разностей являются частным случаем шкал интервалов, получаемых фиксированием параметра а: (а = 1), т.е. выбором единицы масштаба измерений. Точка отсчета в шкалах разностей может быть произвольной.
Шкалы разностей, как и шкалы интервалов, сохраняют отношения интервалов между оценками пар объектов, но, в отличие от шкалы отношений, не сохраняют отношения оценок свойств объектов.
Абсолютными называют шкалы, в которых единственными допустимыми преобразованиями Ф являются тождественные преобразования: , где е{х) = х.
Это означает, что существует только одно отображение эмпирических объектов в числовую систему. Отсюда и название шкалы, так как для нее единственность измерения понимается в буквальном абсолютном смысле.
Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и действительные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.
Абсолютные шкалы являются частным случаем всех ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотношения между числами оценками измеряемых свойств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т.д.
Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, такие, например, как степенная шкала ; а >0, b> 0, ,и ее разновидность логарифмическая шкала.
Не останавливаясь подробно на промежуточных вариантах, изобразим для наглядности соотношения между основными типами шкал в виде иерархической структуры основных шкал (рис. 2.2). Здесь стрелки указывают включение совокупностей допустимых преобразований более «сильных» в менее «сильные» типы шкал. При этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе .
Некоторые шкалы являются изоморфными, т.е. равносильными. Например, равносильны шкала интервалов и степенная шкала. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шкале отношений.