2. Задача развития предприятия

Такая задача сводится к поиску эффективного распределения инвестиций или иных ресурсов между N подразделениями предприятия. Задача развития предприятия может быть сформулирована следующим образом.

Пусть на расширение и (или) модернизацию производства выделяется некоторый объем инвестиций . Имеетсяn цехов, между которыми нужно их распределить. Обозначим через прибыль, которую приносит предприятию выделение i-му цеху денежных единиц. При этом: прибыль, получаемая каждым цехом, измеряется в тех же единицах; прибыль, получаемая любым из цехов, независимо от того, какое количество инвестиций выделено другим цехам; общая прибыль предприятия состоит из прибылей отдельных цехов. Функция имеет вид, показанный на рис.2.

Рис. 2. Функция прибыли

Эта кривая обладает следующими особенностями:

1. небольшое количество выделенного ресурса не приносит сколько-нибудь ощутимого эффекта (прибыли);

2. для каждого предприятия имеется точка, начиная с которой дальнейшее увеличение выделяемого объёма инвестиций этому предприятию не эффективно.

Сформулированные выше предположения приводят к функции цели:

.

Задача оптимального распределения возникает от того, что имеется ограниченный объём инвестиций , т. е.

.

Чтобы решить конкретную задачу распределённого объёма инвестиций, применим аппарат функциональных уравнений Р. Беллмана. Погружаем её в семейство подобных задач распределения. Вместо решения одной задачи с заданным объёмом инвестиций и фиксированным числом цеховn рассмотрим их семейства, в которых объём выделенных инвестиций может меняться от нуля дои число цехов – от 1 доn. Статическая задача распределения при таком подходе приобретает динамический характер. Введём последовательность функций , где- максимальная прибыль, которую получило бы предприятие от выделения объёма инвестицийодному первому цеху;- максимальная прибыль, получаемая предприятием от распределения инвестициймежду двумя первыми цехами; и т. д. Пусть, наконец,- максимальная прибыль, получаемая предприятием от распределения инвестициймеждуn цехами. Очевидно, что .

В двух случаях элементы последовательности имеют особенно простой вид:.

Пусть инвестиции распределяются между двумя цехами. Если- объём инвестиций, выделенный второму цеху, то его прибыль составит. Общая прибыль для двух цехов составит

.

Аналогично рассуждая, найдём рекуррентное соотношение, связывающее идля произвольных значений. В самом деле, пусть- объём инвестиций, выделяемыйk-му цеху. Тогда, каково бы ни было значение , согласно принципу оптимальности, оставшийся объём инвестицийраспределяется между остальнымиk-1 цехами наилучшим образом. Так как известно, то

.

Решение исходной задачи получим при ,k=n, т. е. из рекуррентного соотношения:

.

Найдя , гдеD – область определения исходной задачи; определим . Зная, находим. Следовательно,. Из выражения

находим и т. д., т. е. процесс разворачивается в обратном направлении, при котором находятся уже не условно-оптимальные, а оптимальные значения функции цели на каждом этапе и оптимальное выделение ресурса для одного, двух и более цехов.

Вычислительная схема решения задачи распределения инвестиций методом динамического программирования состоит в следующем. Так как при решении функциональных уравнений Р. Беллмана невозможно протабулировать все значения функции цели для каждого цеха ,, то промежутокразбивают, например, наn интервалов с шагом Δ, и считают, что функции иопределены только в точках, причём. Значениядля, отличных от точекkΔ, где получают интерполяцией. Приi=1 функция определена равенством. Множество значенийзаписывают в таблицу. Зная значения, переходят к вычислению значений функции:

.

В ходе вычислений устанавливаются не только значения , но и такие значения, при которых достигаем максимума выражение.

Переходим к отысканию функции и т. д. Пройдя весь процесс вычисления функций, получим

,

т. е. . На последнем этапе достигается значение функции целии оптимальный объём инвестиций, выделяемыйn-му цеху, т. е.. Затем процесс вычислений просматривается в обратном порядке. Зная, находим- объём инвестиций, подлежащих распределению между оставшимисяn-1 цехами. Так как раньше найдено значение

,

отсюда находим и, следовательно,и т. д. Продолжая процесс к началу, определяем. Тем самым будет завершен процесс определения оптимального плана распределения ограниченного объёма инвестиций.

Анализ модели показывает, что инвестиции будут распределяться в пользу более эффективного параллельного подразделения до тех пор, пока это оказывается экономически целесообразным, поэтому после определенного объема вложенных инвестиций сменяется объект инвестирования – инвестиции получает другое подразделение. Такая закономерность, с одной стороны, направлена на увеличение эффективности инвестиций и предприятия в целом, а с другой – служит обоснованием целесообразности создания и сохранения в процессе развития предприятия параллельных структурных элементов.