Лекция №10. Элементы теории прогнозирования и идентификации систем управления

А.10.1. Элементы теории прогнозирования

Прогностика относится к числу быстро развивающихся наук. Это связано с потребностью в разработке прогнозов буквально во всех прикладных проблемах. Математический аппарат в прогнозировании и в планировании применяется все еще недостаточно. Это объясняется в первую очередь слабым знанием специалистами - прикладниками соответствующих математических методов и подходов.

Задача: ознакомить слушателей с современными методами прогнозирования. В работах, вышедших в последнее десятилетие, описано более 100 методов прогнозирования. Однако большинство из них являются модификация небольшого числа базовых методик, отличаясь от них количеством частных приемов или последовательностью их применения. По степени формализации все методы делятся на:

1. Интуитивные.

1.1. Индивидуальные экспертные оценки: метод "интервью"; аналитические докладные записки; написание прогнозного сценария.

1.2. Коллективные экспертные оценки: анкетирование; метод комиссий; метод "мозговой атаки"; синектика.

2. Формализованные.

2.1. Системно - структурные: функционально иерархическое моделирование; морфологический анализ; матричный анализ; структурное моделирование.

2.2. Статистико-математические: экстраполяция тенденций; метод огибающих кривых; статистическое моделирование; корреляционное и регрессионное моделирование; числовая аналогия; математическое программирование.

Важное место в ряду прогнозных методов занимают статистические, для которых характерны простота, возможность автоматизации, объективный характер прогноза.

Для последних рекомендован следующий порядок действий:

а) четкое формулирование целей и задач прогноза, выдвижение гипотезы о возможном механизме развития процесса,

б) выявление и анализ факторов,

в) выбор системы параметров, унификация единиц измерения,

г) сбор и систематизация статистических данных,

д) анализ исходных данных, логическое обоснование формы связи изучаемых величин,

е) построение математической зависимости,

ж) принятие окончательного решения о выборе пределов экстраполяции и вычисление значений параметров, соответствующих дате,

з) критическая оценка полученных данных с позиции предварительно выдвинутой гипотезы, проверка результатов.

Главное условие успеха прогнозирования - обоснованность используемых им предположений.

Мы разделяем методы статистического прогнозирования на: метод прямой экстраполяции, метод авторегрессии, метод регрессии и корреляции, метод функций с гибкой структурой.

Не существует в литературе единого мнения по вопросу, что надо найти в задаче статистического прогнозирования. Подавляющее большинство авторов придерживаются мнения, что "надо оценить значение случайного процесса в момент времени Т по его наблюдаемым(заданным) значениям на некотором множестве моментов времени, предшествовавших моменту Т".

Методы, основанные на регрессионном анализе, используют идею о том, что прогнозируемый процесс представим в виде суммы детерминированной функции , называемой трендом и стационарного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием, дисперсией и автокорреляционной функцией. Вторым условием является вид функции тренда, которая полагается известной с точностью до значений числовых параметров, определяемых на основе наблюдений. В третьих, предположение об экстраполяции тренда на период прогнозирования. Четвертым является предположение об экстраполяции случайной составляющей.

Последние два условия часто формулируют так: вероятность того, что факторы, оказывающие влияние на процесс, окажутся больше вероятности их изменения и вероятность того, что останется комбинированное воздействие этих факторов, также выше вероятности их изменения (подробнее см. книгу Раяцкиса Р.Л. Система моделей пла­нирования и прогнозирования, - М.: Экономика, 1976.)

Чаще всего уравнение регрессии выбирают в виде полинома, коэффициенты которого определяют из условия согласования с наблюдениями в смысле метода наименьших квадратов. Большую трудность представляет задача выбора тренда, который практически не является полиномом. Отсутствует в практических ситуациях и генеральная выборка.

Функцию тренда на практике чаще всего выбирают в виде полинома, ,, логарифмической зависимости,,(функция Гомпертца), (функция Пирла - Ленца и др.)

Метод группового учета аргументов Ивахненко А.Г. (упоминавшийся в восьмой лекции) применяется в задачах прогнозирования, распознавания образов, самоорганизации и оптимального управления с оптимизацией прогноза. Он основан на выборе функции модели по так называемому критерию селекции, представляющему совокупность критерия регулярности и критерия несмещенности.

Для построения модели по методу МГУА Ивахненко А.Г. все множество наблюдений разбивается на два: т.н. обучающее с элементами и проверочное с элементами. Сначала наблюдения ранжируются по дисперсии и вычисляется минимальное значение критерия регулярности, где- число обучающих значений,– число проверочных значений;- средняя квадратическая ошибка прогноза, построенного по обучающим значениям на проверочных. Если- значения прогноза из, тоопределяется следующей формулой:

, где .

Описание метода и соответствующей модели МГУА:

Пусть объект описывается зависимостью наблюдений Ф от переменных . Ивахненко заменяет эту неизвестную зависимость несколькими рядами частных зависимостей, называемыхрядами селекции. Первый ряд (как упоминалось в лекции № 8) содержит диады переменных ,:, где-число сочетаний изпо 2. Второй ряд селекциии так далее. Для каждой парной селекции функции Ф - полиномы.

Пусть - обучающие элементы,- проверочные элементы. Строятся всевозможные уравнения регрессии, затем, используя в качестве обучающей проверочную последовательность - уравнения регрессии . Каждое их уравнение оценивается по величине среднеквадратичного отклонения, рассчитанного по всем обеим последовательностям:

.

Из всех уравнений регрессии первого ряда селекции следует выбрать те уравнения, которые имеют меньшую оценку, где Ф определено заранее, и вычислить значения критерия смещения для первого ряда селекции, определяемое как среднее или максимальное из уравнений, соответствующих.

На втором ряду селекции производятся такая же процедура. Селекция продолжается до тех пор, пока убывает критерий смещения. Практически бывает целесообразно остановить ее, когда будет убывать слишком медленно.

Таким образом, метод МГУА позволяет сократить размерность модели, а также определить сложные функциональные зависимости, исходя из экспериментальных данных.

Следует заметить, что наилучшее согласование функции модели с наблюдениями не обязательно на основе МНК. Хауштейн Г. приводит помимо МНК также сумму модулей отклонений, сумму взвешенных квадратов отклонений, сумму квадратов отношений отклонений к заданным значениям функции модели и, наконец, сумму модулей упомянутых отношений. Существуют и другие критерии (см. например интересную для экономистов - практиков книгу Дерзского В.Г.)

А.10.2. Основы идентификации систем управления

В общем виде по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть рассчитана модель, оптимальная в определенном смысле и представляющая нормализованное описание предложенной системы. Читателю, желающему углубиться в тематику идентификации, рекомендуем для ознакомления превосходную монографию проф. Эйкхоффа П. (электротехнический факультет технологического университета в г. Эйндховене, Голландия) 4

По сути, теория оценивания параметров и состояний системы адекватна теории идентификации. Интерес стимулируется: желанием инженеров разобраться в технологии процесса с тем, чтобы добиться минимума затрат, повышения эффективности; изучением поведения исследователя при решении задач управления и обучения (в широком смысле); изучением динамики современных систем и т.п.

Более или менее теорией оценивания независимо от инженеров заинтересовались экономисты, статистики, эконометрики.

Разнообразную информацию по идентификации и оцениванию параметров можно увидеть в трудах ИФАК "Идентификация и оценивание параметров" (начиная с 1967 года).

Заде назвал идентификацией "определение по входу и выходу в

системы из определенного класса систем, которой эквивалентна заданная экспериментально система А".

Используя формулировку идентификации согласно Заде Дж., необходимо определить класс систем Кт = В, класс входных сигналов Х и понятие "эквивалентности". В дальнейшем испытываемую систему называют обычно объектом А, а элементы класса Кт - моделями. Эквивалентность часто понимается в смысле какого-либо критерия ошибки, или функции потерь, являющейся функцией (в общем, функционалом) от выхода объекта А и выхода модели В, т.е. Э = Э (), у - выход системы. Говорят, что две модели, эквивалентны, если Э() = Э(), то есть значения функций потерь для этих моделей одинаковы.

Всякая модель В дает информацию трех видов:

1) о структуре и форме математических тождеств, уравнений, блок-схем, сетей, графов, матриц связи и т.п.;

2) о значениях параметров, то есть величин, не зависящих от входных переменных системы А;

3) о значениях зависимых переменных (состояний) в фиксированный момент времени.

Под оцениваем параметров понимается экспериментальное определение значений параметров, характеризующих динамику поведения объекта А, в предположении, что структура модели В данного объекта А нам известна.

Термин "объект" используется в широком смысле (см. лекцию 1)

Критерием выбора оптимума служит функционал от выходных данных или от математического ожидания ошибок оценок параметров.