Сферична астрономія

частина дуги добової паралелі над горизонтом дорівнює решті частини дуги, що знаходиться під горизонтом, тобто, час знаходження зірок над горизонтом дорівнює часу їх знаходження під горизонтом.

Для спостерігача, який знаходиться на північному полюсі Землі ( = 90°), видимий рух світил представлений на рис. 3.3 добовими паралелями AA`, SN (QQ`) і BB`. Раніше було доведено, що висота полюса hP дорівнює широті пункту спостережень, тому північний полюс світу PN буде суміщений з точкою зеніту Z, а південний полюс PS – з точкою надиру Z`. Вісь світу PNPS буде співпадати з прямовисною лінією ZZ`, небесний екватор – з небесним горизонтом.

Рис. 3.3. Видиме добове обертання небесної сфери ( = 90°)

Добові паралелі всіх зірок будуть паралельні площині небесного горизонту, тому всі зірки північної півкулі небосхилу будуть зірками, що не заходять, а зірки південної півкулі такими, що не сходять.

3.2. Сферичні координати світил в меридіані

Кожне небесне світило при добовому русі двічі перетинає небесний меридіан. Момент проходження небесного світила через меридіан називають кульмінацією. Для спостерігача, який знаходиться в широтній зоні 90°> >-90°, всі небесні світила мають дві кульмінації – верхню і нижню. У момент верхньої кульмінації небесне світило займає саме високе положення відносно горизонту, у момент нижньої кульмінації воно знаходиться у самому нижньому положенні відносно горизонту. Для прикладу, на рис. 3.4 показані добові паралелі трьох небесних світил. Верхні кульмінації світил позначені ВК, нижні

– НК.

41

Рис. 3.4. Кульмінації світил

Верхні кульмінації всіх небесних світил відбуваються на дузі меридіана PNZQSPS, нижні – на дузі PNNQ`Z`PS. У верхній кульмінації годинний кут світил t = 0h, у нижній – 12h. Оскільки сума прямого сходження і годинного кута світила дорівнює зоряному часу, тобто s t , тому в верхній кульмінації s , в нижній – s 12h . Горизонтні координати A і z небесних світил у кульмінаціях обчислюються із врахуванням розташування точки кульмінації по відношенню до точки зеніту на відповідній їй частині небесного меридіана.

Для небесних світил схилення яких більше за широту верхня кульмінація відбувається на дузі небесного меридіана PNZ, тобто на північ від зеніту. Горизонтні координати таких світил приймають наступні значення: азимут A = 180º, а зенітна відстань z (на рис. 3.4 цій умові відповідає світило 1).

Для небесних світил схилення яких менше за широту верхня кульмінація відбувається на дузі небесного меридіана ZQSPS, тобто на південь від зеніту. Горизонтні координати таких світил приймають наступні значення: азимут A = 0º, зенітна відстань (згідно рис. 3.4 цій умові відповідають світила 2 і 3).

Нижня кульмінація небесних світил, у яких > >- , відбувається на дузі меридіана PNNQ`Z` (на рис. 3.4 цій умові відповідають світила 1 і 2). Для

Наведені формули зв'язку між горизонтними і екваторіальними координатами світила у кульмінаціях використовуються при складанні робочих ефемерид для спостережень світил в меридіані. Крім того, за виміряною зенітною відстанню z і відомим схиленням світила можна

42

обчислити широту пункту або з відомою широтою визначити схилення світила.

3.3. Сферичні координати світил в горизонті

Як було зазначено раніше небесні світила, які перетинають лінію горизонту на протязі їх добового руху, є такими що сходять і заходять. У момент сходу або заходу такого світила його зенітна відстань z = 90º. Тому для пункту з широтою та відомими координатами α і δ світила можна визначити годинний кут t, зоряний час s і азимут A цього світила в моменти сходу та заходу. Ці величини отримують з розв'язку паралактичного трикутника

(рис. 3.5).

Рис. 3.5. Проходження світил через горизонт

Для розв'язання цього трикутника застосуємо формулу косинусів сторін

Zσ = z і PNσ = (90º - ):

(3.1)

(3.2)

Враховуючи що z = 90º, формулу (3.1), після нескладних перетворень, запишемо відносно cos t, а формулу (3.2) – відносно cos A

Отримані формули використовуються для розрахунку явищ сходу і заходу Сонця, планет, Місяця та зірок.

3.4. Сферичні координати світил в першому вертикалі

Як було зазначено раніше для спостерігача, що знаходиться в пункті земної поверхні з широтою від 0º до ±90º, небесні світила, схилення яких 0º<δ<φ, проходять перший вертикал над горизонтом. Такі світила мають верхню кульмінацію на дузі меридіана між верхньою точкою Q небесного екватора та зенітом Z (рис. 3.6). У випадку коли схилення світила 0º>δ>-φ, його добова паралель перетинає перший вертикал під горизонтом. Для такого світила його нижня кульмінація відбувається на дузі меридіана між нижньою точкою Q` небесного екватора та надиром Z`. Небесні світила, схилення δ яких дорівнює 0º, перетинають перший вертикал в точках сходу і заходу.

Для світила, яке перетинає перший вертикал, паралактичний трикутник стає прямокутним, оскільки площина першого вертикала перпендикулярна площині небесного меридіана (рис. 3.6). Тому азимут такого світила дорівнює 90º при проходженні західної частини першого вертикала або 270º – східної його частини.

Рис. 3.6. Проходження світил через перший вертикал

Прямокутний паралактичний трикутник розв’язується з використанням правила Непера-Модюі, яке у даному випадку має вигляд:

(3.6)

(3.7)

Для північної півкулі Землі ( > 0º) для світила з додатним схиленням ( > 0º) > 0, отже, годинні кути світила в моменти проходження західної і східної частин вертикала будуть

При від'ємному схиленні світила cos z < 0, тому світило проходить перший вертикал під горизонтом.

У геодезичній астрономії є ряд способів астрономічних визначень географічних координат, що ґрунтуються на спостережені світил у першому вертикалі. Формули зв'язку між горизонтними і екваторіальними координатами світила у першому вертикалі використовуються при складанні робочих ефемерид і для обробки спостережень.

3.5. Сферичні координати світил в елонгації

Небесні світила північної півкулі небесної сфери, схилення яких δ > φ, називають такими, що мають елонгацію. Для південної півкулі такими світилами є світила, схилення яких δ < -φ. При розгляді питання про кульмінацію світил було доведено, що верхня кульмінація таких світил відбувається на дузі меридіана між північним полюсом і зенітом для північної півкулі або між південним полюсом і надиром для південної півкулі. На рис. 3.7 добова паралель світила, що має елонгацію, представлена у вигляді малого кола з точками: ВК – верхня кульмінація, НК – нижня кульмінація, σW – положення світила у західній елонгації, σЕ – у східній елонгації.

S

Рис. 3.7. Елонгація світил

У моменти елонгації вертикал світила – лінія ZB для західної елонгації та лінія ZC для східної елонгації, має спільну з добовою паралеллю дотичну

45

пряму, тобто, видимий добовий рух світила відбувається уздовж його вертикала. Оскільки коло схилень, представлене на рис. 3.7 лініями PNσW і PNσЕ, завжди перетинає добову паралель під прямим кутом, то паралактичний кут PN Z стає прямим, а трикутник PN Z – прямокутним. Розв’язуючи

отриманий прямокутний паралактичний трикутник за правилом НепераМодюі, можна знайти вирази для t, z, A :

Оскільки світила, які мають елонгацію, можуть знаходитися у двох положеннях: західній або східній елонгації, то для західної елонгації шукані величини будуть

Спостереження світил в елонгації виконують при дослідженнях астрономічних теодолітів у польових умовах.

3.6. Ефемерида Полярної (зорі)

Ефемеридою світила називається таблиця його координат, в якій аргументом є час. У геодезичній астрономії ефемериди представляють собою таблицю координат світил, які будуть спостерігатися, в горизонтній системі координат (z, A) з кроком в часі, що забезпечує отримання шляхом інтерполювання цих координат з точністю 1'. Такі ефемериди називають робочими. Вони складаються на період спостережень для забезпечення швидкого знаходження світил на небесній сфері за допомогою орієнтованого в меридіані астрономічного приладу.

Зазначимо, що в основі конструктивної побудови всіх астрономічних приладів покладено основні елементи горизонтної системи координат. Горизонтальний круг приладу є паралельним до площини небесного горизонту, тому відлік горизонтального круга при орієнтованому в меридіані приладі буде відповідати азимуту світила. Оскільки площина вертикального круга приладу перпендикулярна площині горизонтального круга, тому площина вертикального круга співпадає з площиною вертикала світила. У всіх астрономічних приладах при наведені зорової труби в зеніт відлік вертикального круга дорівнює 0°. Це означає, що при наведені зорової труби приладу на світило по вертикальному кругу прочитуємо відлік, що дорівнює зенітній відстані цього світила.

При польових астрономічних спостереженнях у північній півкулі для орієнтування астрономічного приладу часто використовують Полярну. Складання ефемерид Полярної виконується наступним чином. У пункті з

46

широтою для спостереження зорі з координатами , на проміжок часу від s1 до sk потрібно скласти таблицю значень A і z . Полярна відстань Полярної зорі не перевищує 1º. Тому паралактичний трикутник PN Z є вузьким сферичним трикутником (рис. 3.8).

47

3.7. Диференційні зміни зенітних відстаней та азимутів світил

Внаслідок добового обертання небесної сфери зенітні відстані та азимути світил, що є функціями часу, безперервно змінюються. Тому горизонтні координати обраховуються для певного моменту часу. Якщо відомі зміни горизонтних координат на певний проміжок часу, то можна виконати спостереження вибраного світила не лише в момент, для якого обчислені його горизонтні координати, але також у попередні і наступні моменти часу.

Для детального дослідження зміни горизонтних координат, отримаємо вираз похідних зенітної відстані й азимута за часом та їх значення в певні моменти часу. Залежність зенітної відстані від часу виражається формулою:

де t s .

Зміна зенітної відстані за одиницю часу, з достатньою для практичних цілей точністю, може бути виражена як перша похідна зенітної відстані за часом або годинним кутом. Для обчислення цієї похідної продиференціюємо

то, підставляючи рівняння (3.23) у (3.22) і, скорочуючи на sin z , отримаємо

відстань досягає екстремальних значень у меридіані, коли A =0º або 180º. У верхній кульмінації вона має мінімальне значення, у нижній – максимальне. Швидкість зміни зенітної відстані у меридіані дорівнює нулю, відповідно до цього, у меридіані світила рухаються паралельно до горизонту.

При проходженні світила через перший вертикал ( A =90º або 270º)

похідна dz досягає за абсолютною величиною максимального значення і має ds

вигляд:

48

У формулі (3.25) верхній знак відповідає проходженню світила через західну частину першого вертикала, нижній знак – через східну. З цієї формули випливає також, що в першому вертикалі всі зорі переміщаються в даному місці спостереження з максимальною і сталою для всіх зірок швидкістю.

Залежність азимута від часу виражається формулою п’яти елементів:

Після підстановки в рівняння (3.27) замість dz його значення за формулою

Права частина цього рівняння ідентична чисельнику формули (3.28), відповідно

аналогічно змінюється і швидкість зміни азимута. З цієї формули випливає, що при q =90º, похідна азимута за часом dAds 0 . Відповідно, при q =90º азимут

досягає своїх екстремальних значень, що відповідає найбільшому відхиленню зорі від меридіана, тобто її елонгації. У західній елонгації азимут має мінімальне значення, у східній – максимальне.

Паралактичний кут q світила, що має елонгацію, у верхній кульмінації рівний 180º, зенітна відстань мінімальна (sin z min) . Таким чином, швидкість зміни азимута у верхній кульмінації буде максимальною і рівною

dAds cossin z .

У нижній кульмінації зенітна відстань максимальна ( sin z max) і, відповідно, швидкість зміни азимута буде меншою, ніж у верхній кульмінації.

Якщо світило не має елонгації, то його азимут не має екстремальних значень, оскільки паралактичний кут q у таких світил завжди менший 90º.

49

Тому похідна азимута за часом таких світил завжди додатна, тобто азимут безперервно зростає. Для того, щоб більш детально дослідити зміну азимута у світил, що не мають елонгації, надамо формулі (3.28) дещо іншого вигляду

Із цієї формули випливає, що швидкість зміни азимута в першому вертикалі на заданому пункті є сталою для всіх зірок. Оскільки в точках сходу і заходу z = 90º, то і в цьому випадку другий член правої частини формули (3.30) буде рівний нулю і, відповідно, отримаємо формулу (3.31), тобто похідні азимута за часом є рівними для положення світила як в першому вертикалі, так

ів горизонті.

Зформули (3.30) випливає також, що у верхній кульмінації ( A = 0º)

другий член правої частини є додатним і, відповідно, швидкість зміни азимута максимальна; у нижній кульмінації ( A = 180º) другий член від’ємний і тому швидкість зміни азимута мінімальна.

Для підрахунку зміни азимута і зенітної відстані за невеликі проміжки часу s у формулах (3.24´) і (3.30) замінимо диференціали кінцевими змінами (приростами) і виразимо їх у мінутах дуги:

Формули (3.31) – (3.38) використовують на практиці при обчисленні ефемерид для підрахунку приростів азимута та зенітної відстані. На основі цих формул легко можуть бути складені таблиці, в яких даються прирости азимута і зенітної відстані, що відповідають десятихвилинним інтервалам часу.

Контрольні питання та приклади розв'язування задач до розділу 3.

50