Сферична астрономія

які в багатьох теоріях рефракції приймають температуру повітря t 10 C і атмосферний тиск P 760мм рт.ст., показник заломлення повітря біля

збільшенням зенітної відстані рефракція зростає і в горизонті при нормальних атмосферних умовах дорівнює 35'24". Однак згідно з формулою (6.9) при z 90 значення рефракції стає нескінченно великим. Тому формулу (6.9) можна використовувати лише для наближеного обчислення астрономічної рефракції при спостереженні світил на зенітних відстанях z<70°. При z>70° цю формулу використовувати не можна, оскільки вона дає похибку визначення рефракції більшу 1″.

6.4. Диференціальне рівняння астрономічної рефракції

Для більш точного врахування астрономічної рефракції при спостереженнях світил на зенітних відстанях z>70° використовується теорія сферично-шарової атмосфери, на основі якої виведено диференціальне рівняння рефракції:

101

Інтеграл цього рівняння, тобто інтеграл рефракції запишеться так:

Під знаком інтеграла стоять дві змінні величини – висота над центром Землі r і відповідний їй коефіцієнт заломлення . Лише встановивши залежність r і між собою, можна інтегрувати диференціальне рівняння рефракції. Оскільки залежність густини атмосфери з висотою залишається невідомою, тому строгий розв’язок задачі є неможливим. Тому при побудові теорії рефракції прибігають до гіпотез, роблять ті або інші припущення про цю залежність. Є цілий ряд формул рефракції, які виводились різними вченими в зв’язку з дослідженнями будови земної атмосфери. Так, наприклад, формули Кассіні, Брадлея, Лапласа, Ньютона, Бесселя, Ковальського, Гюльдена, Радо та ін.

Для всіх, так званих, класичних теорій рефракції характерним є те, що в кінцевому рахунку розв’язок отримується у вигляді ряду, розміщеного за зростаючими непарними степенями tgz :

висоти, від коефіцієнта заломлення біля поверхні Землі тощо. Однак, значення цих коефіцієнтів неможливо визначити на основі фізичних досліджень, тому частіше всього для цього використовуються вимірювання величин z на різних зенітних відстанях.

6.5. Аберація

Явище аберації полягає в тому, що спостерігач, який рухається зі швидкістю, співрозмірною зі швидкістю світла, бачить світило не в тому напрямку, за яким він бачив би його, у той же момент, перебуваючи у спокою. Аберацією називається різниця між спостережуваним (видимим) напрямком на світило та істинним, яке було б у той же момент у нерухомого спостерігача.

102

Вобчисленні географічних координат точок земної поверхні, визначених

застрономічних спостережень, крім виміряних величин, приймають участь екваторіальні координати і . Ці координати отримані зі Землі, що обертається навколо своєї осі та Сонця. Лінійна швидкість обертання точок земної поверхні залежить від широти місця спостереження. На полюсах вона дорівнює нулю, а на екваторі досягає 0,464 км/сек. Середня швидкість руху Землі навколо Сонця дорівнює 29,75 км/сек. Ці величини хоча й малі порівняно зі швидкістю світла, що дорівнює 299792,5 км/сек, але співмірні з нею, тому вплив аберації на координати світил повинен враховуватись.

Окрім добового обертання і річного руху навколо Сонця Земля разом з усією сонячною системою рухається в просторі зі швидкістю 19,5 км/год. Аберація, що виникає з цієї причини, називається віковою. Вікова аберація може спостерігатися лише у світил, що не приймають участь у русі сонячної системи.

Оскільки швидкість руху сонячної системи та її напрямок змінюються дуже повільно, то вікове абераційне зміщення зірок може розглядатися як стала величина. Тому зміни, які вносить у координати зірок вікова аберація, можна не враховувати.

Явище аберації було відкрито в 1725 р. англійським астрономом Джемсом Брадлеєм. Уявімо собі спостерігача, який рухається по осі BA у напрямку до точки A (рис. 6.3). У точці N він проводить спостереження світила . Промінь світла, що йде від світила, досягає об'єктива O в деякий момент часу T1 , а окуляра, тобто перехрестя ниток, що збігається з фокальною

площиною об'єктива в точці N , у момент T2 .

переміститься по осі ВА у напрямку до точки A на величину NM = v , де v – швидкість руху спостерігача. Труба інструмента займе положення MO , паралельне NO , а зображення світила буде зміщено у бік, протилежний напрямку руху спостерігача на величину v . Отже, для того щоб зображення

103

світила попало в перехрестя ниток, спостерігач, що переміщається, повинен змінити напрямок труби. Він повинен нахилити трубу в напрямку свого руху з таким розрахунком, щоб за час точка N перемістилася б у M і тут збіглася б зі зображенням світила. Очевидно, спостерігач повинен нахилити трубу на кут ONO . При цьому він побачить світило в напрямку M .

Отже, напрямок M буде видимим напрямком на світило, а M – істинним. Кут між істинним напрямком на світило і напрямком руху спостерігача, тобто MA NA, позначимо буквою ψ, а кут між видимим напрямком на світило і напрямком руху спостерігача, тобто MA, позначимо буквою f. З рис. 6.3 видно, що ψ > f. Різниця ψ - f = a і є кутом аберації. Точка А, в якій напрямок руху спостерігача перетинається з небесною сферою, називається апексом руху спостерігача. Таким чином ми приходимо до висновку, що внаслідок аберації світило виглядає зміщеним у напрямку до апекса по дузі великого кола, що проходить через світило і апекс.

Зв'язок величини аберації зі швидкістю руху спостерігача та швидкістю поширення світла виражається формулами, отриманими при розв’язку трикутника . У цьому трикутнику NO M a , а O NM f . Якщо швидкість поширення світла позначити через c , а швидкість руху спостерігача через v , то O M c , a NM v . Відповідно, маємо:

поставити кут f чи ψ. Якщо кути а і ψ замінити відповідними їм дугами, то формула (5.3) прийме вигляд:

104

Отже, під впливом аберації світило зміщується до апекса по дузі великого кола, що проходить через світило і апекс на величину, що визначається формулою (6.11). Точка небесної сфери , в яку проектується світило для спостерігача, що знаходиться у стані спокою, називається істинними місцем світила . Його координати називаються істинними координатами.

Точка небесної сфери , в яку проектується світило для рухомого спостерігача, називається видимим положенням або видимим місцем світила

. Координати, що відносяться до видимого положення, називаються видимими координатами. Інакше кажучи, координати світила, що не спотворені впливом аберації, називаються істинними, а спотворені впливом аберації – видимими координатами світила.

6.6. Річна аберація

Річною аберацією називається позірне зміщення світила, що викликане річним рухом спостерігача навколо Сонця. Для врахування аберації на пряме сходження і схилення світила потрібно вивести формули, що встановлюють залежність між істинними і видимими координатами. При цьому необхідно знати сталу річної аберації і кут ψ, для визначення якого потрібно знати напрямок на апекс А (рис. 6.4). При визначенні апекса річної аберації орбіта Землі навколо Сонця приймається за коло. Вектор річної швидкості Землі буде лежати в площині орбіти Землі, тобто в площині екліптики. Тому широта bA апекса річної аберації завжди дорівнює 0°, а довгота апекса lA, як видно з рис. 6.4, є меншою від довготи Сонця l на 90°, оскільки STA= 90°.

A

Рис.6.4. Річна аберація.

Отже, положення апекса річної аберації в будь-який момент часу може бути визначено координатами:

105

Величину коефіцієнта річної аберації отримаємо, підставивши у формулу (6.11) значення середньої швидкості руху Землі по орбіті, що дорівнює 29,75 км/сек., і значення швидкості світла, що рівне 299 792,5 км/сек.

(6.22)

Внаслідок річної аберації світила в різні дні року проектуються в різні точки небесної сфери. Геометричним місцем точок (проекцій) для кожної зірки є еліпс. Велика вісь еліпса розташовується паралельно екліптиці і дорівнює подвоєному значенню коефіцієнта річної аберації, тобто 40,992", а мала вісь є тим меншою, чим ближче до екліптики розташована зоря. Для зірок, розташованих у площині екліптики, еліпс перетворюється у відрізок дуги екліптики і ці зірки, внаслідок аберації, будуть здійснювати коливальні рухи в площині екліптики щодо свого істинного стану.

6.7. Добова аберація

Крім річного руху навколо Сонця, спостерігач, що знаходиться на поверхні Землі, переміщається в просторі, беручи участь у добовому обертанні Землі. Позірне зміщення світила, що викликається обертальним рухом Землі, називається добовою аберацією. Подивимося перш за все, яка точка буде апексом добової аберації. Для спостерігача в північній півкулі добове обертання Землі відбувається проти ходу годинникової стрілки у напрямку з заходу на схід. На рис. 6.5 зображена Земля, що прийнята в даному випадку за кулю.

Рис. 6.5. Добова аберація.

На рисунку, mm – географічна паралель; pMp` – географічний меридіан точки спостереження M. Оскільки миттєва швидкість точки M, що рухається по колу, в будь-який момент часу спрямована за дотичною до цього кола, то апексом добової аберації буде точка сходу E .

106

Лінійна швидкість переміщення спостерігача залежить від широти місця спостереження, досягаючи максимальної величини на земному екваторі і

де T = 86 164 середніх секунд у зоряній добі, a R – екваторіальний радіус Землі, рівний 6378 км, то швидкість добового руху на широті виражається формулою

Хоча величина v мала в порівнянні зі швидкістю поширення світла,

проте співмірна з нею. У цьому випадку буде мати місце позірна зміна напряму на видиме світило, що визначається формулою

відповідними їм дугами, приходимо до висновку, що під впливом добової аберації кожне світило зміщується до точки сходу по дузі великого кола на величину , що рівна

6.8. Паралакс

Паралактичним зміщенням в загальному сенсі слова називається явище, внаслідок якого один і той самий об'єкт спостереження в один і той же момент часу видно з різних точок за різними напрямками. Виняток становить випадок, коли точки спостереження лежать на одній прямій з об'єктом спостереження, по одну сторону від нього.

107

Відстані від Землі до тіл сонячної системи не є нескінченно великими у порівнянні з розмірами Землі. Тому напрямки на такі світила, як Сонце, Місяць, планети, проведені з різних точок земної поверхні, наприклад M і N (рис. 6.6), в один і той же момент будуть різними. Отже, кожне з названих світил буде проектуватися в різні точки небесної сфери ( SM і SN ). Дуга між

ними або кут p служать мірою паралактичного зміщення.

Отже, координати світила, що отримані в різних пунктах земної поверхні в один і той же момент, незрівнянні між собою. Те ж саме можна сказати про координати, отримані в одній і тій же точці земної поверхні, але в різний час доби, оскільки, ця точка внаслідок добового обертання Землі переміститься в іншу точку простору. Для того щоб спостереження, виконані в різних точках земної поверхні або в одній і тій же точці, але в різний час доби, можна було порівнювати між собою, їх необхідно віднести до якої-небудь однієї доцільно вибраної точки. За таку точку приймається центр Землі, тому що він розташований симетрично щодо всіх точок земної поверхні (у випадку, якщо Земля приймається за кулю) і не приймає участі в добовому обертанні Землі. Отже, в координати світила, отримані в будь-якій точці на земній поверхні, тобто в топоцентричні координати, необхідно ввести поправки за перенесення точки спостереження в центр Землі.

M

O

Рис. 6.6. Паралакс зірок.

Координати світил, віднесені до центру Землі, називаються геоцентричними. Видима зміна положення світила на небесній сфері, яку воно отримає при уявному переміщенні спостерігача з якої-небудь точки земної поверхні в її центр, називається добовим паралактичним зміщенням. Величина добового паралактичного зміщення залежить від відстані світила від спостерігача, від величини переміщення останнього, а також від зенітної відстані світила. Якщо світило спостерігається в зеніті (z = 0°), його

108

паралактичне зміщення дорівнює нулю. Якщо ж світило спостерігається в горизонті, його паралактичне зміщення досягає найбільшої величини.

Відстані до зірок в порівнянні з розмірами Землі нескінченно великі, тому напрямки на будь-яку зорю з різних точок земної поверхні практично тотожні, і добовий паралакс у зірок зі спостережень не виявлений. Проте розміри земної орбіти настільки значні, що напрямки на одну і ту ж зорю, проведені з різних точок земної орбіти, не збігаються, і при сучасній точності астрономічних спостережень ця розбіжність для ряду зірок може бути визначена зі спостережень. Отже, для зірок має місце паралактичне зміщення, що викликане рухом Землі по її орбіті навколо Сонця. Для порівняння спостережень однієї і тієї ж зорі, зроблених у різні пори року, їх відносять до центра Сонця. Координати світил, віднесені до центра Сонця, називаються геліоцентричними.

Отже, зміщення світил, що викликане переміщенням спостерігача по земній поверхні, або добовим обертанням Землі, називається добовим паралаксом, а переміщенням спостерігача по земній орбіті – річним паралаксом.

Для порівняння спостережень однієї і тієї ж зірки, зроблених у різні пори року, їх відносять до центра Сонця. Координати світил, віднесені до центра Сонця, як було зазначено раніше, називаються геліоцентричними. Таким чином, зміщення світил, викликаних переміщенням спостерігача на земній поверхні, або добовим обертанням Землі, називається добовим паралаксом, а переміщенням спостерігача по земній орбіті – річним паралаксом.

6.9. Добовий паралакс і його вплив на горизонтні координати Сонця

Для порівняння координат тіл сонячної системи, спостережених у різних точках земної поверхні, їх приводять до центру Землі. При цьому кут, під яким зі світила видно радіус-вектор точки спостереження, дорівнює добовому паралаксу світила. На рис. 6.7 лінія M M – напрямок на центр світила з точки спостереження М, а лінія O O - напрямок на центр того ж світила з центру Землі О. Кут M O між цими двома напрямками називається добовим паралаксом світила і позначається буквою p .

Позначимо відстань від центру Землі до центру світила через , а від точки спостереження М до центру світила – через , r – радіус-вектор точки М. Якщо продовжити радіус-вектор точки М, то отримаємо напрямок на

одною. Отже, кут, утворений площиною меридіана з площиною Z O , буде відрізнятися від кута, утвореного площиною меридіана з вертикальною площиною ZM . Але кут між площиною меридіана і вертикальною площиною ZM являє собою топоцентричний азимут А світила , а кут між площиною меридіана і площиною – геоцентричний азимут A'.

Приведення спостережень, зроблених в точці М, до центру Землі полягає

вобчисленні геоцентричних координат за топоцентричними даними.

Зтрикутника cM (рис. 6.7), в якому кут cM 180 z , за теоремою синусів отримаємо

значення при sin z 1, тобто при спостереженні світила на зенітній відстані z 90 . У цьому випадку він називається горизонтальним паралаксом світила.

Кут, під яким із центру світила, спостережуваного в горизонті точки, розташованої на земному екваторі, видно екваторіальний радіус Землі, називається горизонтальним екваторіальним паралаксом. Позначимо його буквою p0 . Для визначення p0 звернемося до рис. 6.8, на якому коло Mqq являє собою земний екватор. Напрямок з точки спостереження M на світило стосується земного екватора в точці M .

110