Сферична астрономія

називається колом широти світила.

Першою координатою є дуга D кола широти від екліптики до світила. Ця дуга називається екліптичною широтою світила і позначається літерою b . Відраховується вона від 0° до +90° за напрямком до північного полюса екліптики і від 0° до -90° – до південного.

Другою координатою є дуга D екліптики від точки весняного рівнодення до основи кола широти світила. Ця координата називається екліптичною довготою світила і позначається буквою l . Вона також може бути виміряна двогранним кутом між площинами кола широти точок рівнодень і кола широти заданого світила або сферичним кутом R при північному полюсі екліптики. Екліптична довгота, як і пряме сходження, відраховується від 0° до 360° від точки весняного рівнодення проти ходу годинникової стрілки, тобто в напрямку, протилежному добовому обертанню небесної сфери.

Рис. 2.8. Елементи екліптичної системи координат

В екліптичній системі координати b і l не залежать від добового руху небесної сфери. Екліптична система координат застосовується при вивченні рухів небесних тіл сонячної системи, а також при вивченні видимого річного руху Сонця.

2.3.4.Географічна система координат

Угеографічній системі координат положення пунктів спостережень задається на поверхні Землі двома координатами – географічними широтою і

31

довготою. Географічні координати можуть бути астрономічними, геодезичними та геоцентричними. Якщо поверхню Землі представити сферою, центр якої співпадає з центром мас Землі, то центр цієї сфери стане точкою перетину прямовисних ліній. З практики виконання геодезичних та астрономічних вимірювальних робіт відомо, що всі вони пов'язані з напрямками прямовисних ліній – вертикальна вісь обертання вимірювального приладу співпадає з напрямком прямовисної лінії в точці спостережень. З проведених астрономічних спостережень можна отримати астрономічну широту φ як кут між напрямком прямовисної лінії в пункті спостережень і площиною земного екватора, та астрономічну довготу λ як кут між астрономічними меридіанами - початковим (Гринвіцьким) і пункту спостережень. Невід’ємною частиною площини астрономічного меридіана є прямовисна лінія.

Поверхня Землі не є сферичною, а має форму близьку до еліпсоїда. Важливе значення має і нерівномірність розподілу мас всередині Землі. Тому за математично строго описану поверхню відносності Землі приймають поверхню еліпсоїда (рис. 2.9). У цьому випадку використовують геодезичну широту В – кут між нормаллю до поверхні еліпсоїда в даній точці і площиною земного екватора, і геодезичну довготу L – кут між геодезичними меридіанами: початковим (Гринвіцьким) і пункту спостережень. Геодезичний меридіан у своїй площині вміщує нормаль до поверхні еліпсоїда.

Рис. 2.9. Широти пункту земної поверхні.

Геоцентричні широта і довгота L пункту земної поверхні використовуються у випадку виконання на цьому пункті спостережень

32

близьких до Землі небесних світил і об'єктів. В цій системі координат геоцентрична широта φ` – це кут між радіус-вектором пункту спостережень, що знаходиться на поверхні Землі, і площиною земного екватора. Геоцентрична довгота вважається такою, що дорівнює геодезичній довготі.

Для отримання сферичних астрономічних координат пунктів спостережень доцільно спроектувати всі кола, лінії і точки, що відносяться до земної поверхні, на небесну сферу. Навколо точки М (місце знаходження спостерігача) земної поверхні опишемо небесну сферу, центр О якої поєднаємо з цією точкою (рис. 2.10). Положення будь-яких точок на побудованій небесній сфері можна визначати у топоцентричній горизонтній або у топоцентричній екваторіальній системі небесних координат.

Перша з цих систем, як було вказано раніше, пов’язана з площиною небесного горизонту, перпендикулярного до прямовисної лінії. В цій системі координат положення полюсу світу PN задається висотою hP відносно горизонту або зенітною відстанню zP відносно зеніту Z (рис. 2.10).

Друга система пов’язана з площиною небесного екватора, перпендикулярного до осі світу та паралельного земному екватору. В цій системі положення зеніту Z точки М задається схиленням z (рис. 2.10).

Дуга представляє собою проекцію Гринвіцького меридіана

на небесну сферу та є колом схилення точки G (рис. 2.10). Тому кут в точці PN буде дорівнювати годинному куту t, як кут між початковим колом екваторіальної системи координат та колом схилення точки небесної сфери.

географічні координати: географічна широта і географічна довгота . Згідно записаного маємо: hP Z , t .

33

Рис. 2.10. Елементи географічної системи координат

Основне коло астрономічної географічної системи координат – земний екватор, площина якого перпендикулярна осі обертання Землі. Вісь обертання Землі безупинно робить коливання в тілі Землі, тому розрізняють миттєву вісь обертання (миттєвий екватор, миттєві астрономічні координати) і середню вісь обертання (середній екватор, середні астрономічні координати).

Площина астрономічного меридіана, що проходить через довільну точку земної поверхні, містить прямовисну лінію в даній точці. Початковий меридіан

– початкове коло системи координат, проходить через Гринвіцьку обсерваторію (згідно з міжнародною угодою 1883 р). Початкова точка астрономічної географічної системи координат – точка перетину початкового меридіана з площиною екватора.

У геодезичній астрономії визначаються астрономічні координати точки земної поверхні широта і довгота , а також астрономічний азимут а вибраного напрямку. Широта відраховується від 0° на екваторі до +90° на північному полюсі та до -90° на південному полюсі. Довгота відраховується від Гринвіцького меридіана на схід E – східна довгота і на захід W – західна

довгота від 0° до 180° або в годинній мірі від 0h до 12h . Іноді довготу відраховують від 0° до 360° або від 0h до 24h .

Астрономічний азимут a напрямку – двогранний кут між площиною астрономічного меридіана точки спостереження і площиною, що вміщує прямовисну лінію точки спостереження та точку, на яку вимірюється напрям. Відлічується азимут від північного напряму меридіана до заданого напряму за годинниковою стрілкою від 0° до 360°.

Астрономічні координати пов'язані з фізичною поверхнею Землі, прямовисною лінією і віссю обертання Землі, геодезичні – з поверхнею

34

Ця формула називається формулою зоряного часу: сума годинного кута і прямого сходження світила дорівнює зоряному часу.

35

2.4.2. Зв'язок між координатами географічної, горизонтної та екваторіальної систем

Теорема 1. Географічна широта місця спостереження чисельно дорівнює схиленню зеніту в точці спостереження і дорівнює висоті полюса світу над горизонтом Z hP .

Доказ випливає з рис. 16. Згідно визначення географічна широта є кут між площиною земного екватора та прямовисною лінією в пункті спостереження, а схилення зеніту Z є кут між площиною небесного екватора і прямовисною лінією. Оскільки площини земного і небесного екватора паралельні, тому схилення зеніту і широта рівні.

Висота hP полюса світу і схилення зеніту Z рівні між собою як кути між взаємно перпендикулярними сторонами. Отже, теорема 1 встановлює зв'язок координат між географічною, горизонтною та екваторіальною системами. Вона покладена в основу визначення географічних широт пунктів спостереження.

Теорема 2. Різниця годинних кутів одного і того ж світила, виміряна в один і той же фізичний момент часу в двох різних точках земної поверхні чисельно дорівнює різниці географічних довгот цих точок на земній поверхні t2 t1 2 1 .

Доказ випливає з рис. 2.12, на якому показані Земля і описана навколо неї небесна сфера. Дві точки a і b земної поверхні, з яких виконуються спостереження світила , а також точку g (Гринвіч) спроектуємо за напрямом прямовисних ліній на небесну сферу. В результаті отримаємо точки А, В і G.

Рис. 2.12. Зв'язок між географічними і екваторіальними координатами

Дуги pnaps, pnbps і pngps є меридіанами точок a, b і g. Відповідно дуги PNAPS, PNAPS і PNGPS є проекціями названих меридіанів на небесну сферу.

36

Точка а має довготу λА, точка b – λB. Різниця довгот цих точок є двогранний кут між меридіанами цих точок і буде дорівнювати дузі a`b` земного екватора та дузі A`B` небесного екватора. Годинний кут є кутом між початковим колом та колом схилень світила. Тому годинний кут tA буде дорівнювати дузі CA`, а годинний кут tВ – дузі CB`. Різниця годинних кутів світила буде двогранним кутом між небесними меридіанами точок a і b та дорівнювати дузі A`B`. Звідси різниця довгот точок земної поверхні дорівнює різниці годинних кутів небесного світила. Друга теорема сферичної астрономії покладена в основу визначення довгот пунктів.

2.4.3. Паралактичний трикутник

Паралактичний трикутник представляє собою сферичний трикутник з вершинами PN , Z, (рис. 2.13). Цей трикутник утворений перетином трьох великих кіл: небесного меридіана (на рис. 2.13 представлений дугою PN Z ), кола схилення (дуга PN ) і вертикала (дуга Z ) світила.

Рис.2.13. Паралактичний трикутник

Кут q між вертикалом світила і його колом схилення називається паралактичним кутом. Елементи паралактичного трикутника відносяться до трьох систем координат: горизонтної ( A, z) , першої екваторіальної ( , t) і географічної ( ) . Зв'язок між цими системами координат може бути встановлений через розв'язок паралактичного трикутника.

Наприклад, у момент зоряного часу s в пункті з відомою широтою спостерігається світило з відомими координатами і . Необхідно визначити координати A і z . Розв'язок задачі виконується за формулами сферичної геометрії. Формули косинусів, синусів і п'яти елементів стосовно паралактичного трикутника записуються таким чином:

cos z sin sin cos cos cos t , sin z sin A cos sin t ,

sin z cos A cos sin sin cos cos t ,

де

t s .

Розділивши формулу (2.8 ) на (2.9), отримаємо формулу котангенсів:

37

Формули (2.7) і (2.10) є рівняннями зв'язку в зенітальних та азимутальних способах астрономічних визначень відповідно.

Контрольні питання та приклади розв'язування задач до розділу 2.

Питання 1. Дати визначення допоміжної небесної сфери. Питання 2. Перелічити елементи полярної системи координат.

Питання 3. В якій точці знаходиться центр топоцентричної небесної сфери?

Питання 4. Перелічити найбільш застосовувані системи небесних координат.

Питання 5. Перелічити основні точки небесної сфери. Питання 6. Перелічити основні кола небесної сфери.

Задача 1. Обчислити зенітну відстань світила, якщо висота світила дорівнює -13°.

Зенітна відстань та висота світила пов’язані між собою співвідношенням z+h=90°, тому зенітна відстань буде 103°.

Задача 2. Обчислити полярну відстань світила, якщо схилення світила дорівнює 83°.

Полярна відстань та схилення світила пов’язані між собою співвідношенням δ+Δ=90°, тому полярна відстань буде 7°.

Задача 3. Обчислити висоту полюса для пункту з широтою φ = 49°. Висота полюса та широта пункту ріні між собою, тому висота полюса

дорівнює 49°.

Задача 4. Обчислити схилення точки зеніту для пункту з широтою φ =

49°.

Схилення точки зеніту дорівнює широті пункту, тому схилення точки зеніту дорівнює 49°.

38

Розділ 3 ВИДИМИЙ ДОБОВИЙ РУХ НЕБЕСНОЇ СФЕРИ

3.1. Види добового руху світил

Видимий добовий рух небесної сфери відбувається зі сходу на захід, що обумовлено добовим обертанням Землі навколо осі. При цьому, як було вказано раніше, світила переміщаються по добових паралелях, що паралельні небесному екватору. По відношенню до горизонту даного пункту вид добового руху світила залежить від схилення цього світила. Для спрощення подальших пояснень небесну сферу представимо як її ортогональну проекцію на площину меридіана зі сторони точки заходу для пункту з широтою 0° < φ < 90° (рис. 3.1). При такому проектуванні площина небесного горизонту зображується прямою NS, небесний екватор – прямою QQ`, добові паралелі – прямими, паралельними екватору, перший вертикал – прямою ZZ`. За видом добового руху світила є такі, що не заходять, сходять і заходять, не сходять, перетинають перший вертикал, не перетинають перший вертикал – мають елонгацію.

Добові паралелі NB і SD, що проведені через точки півночі N і півдня S, розділяють побудовану проекцію небесної сфери на три зони (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Ортогональна проекція небесної сфери на площину меридіана

1) зона NPNВ, в якій знаходяться світила, що не заходять – їх добова паралель не перетинає лінію горизонту та схилення цих світил повинно бути >(90º - ) або > N оскільки схилення точки півночі N = (90º - );

2) зона NBSD, в якій знаходяться світила, що сходять і заходять – їх добова паралель перетинає лінію горизонту, а щодо схилень цих світил повинна виконуватися умова -(90º - ) (90º - ) або S N , виходячи з

39

3) зона SPSD, в якій знаходяться світила, що не сходять – їх добова паралель не перетинає лінію горизонту, а щодо схилень цих світил повинна виконуватися умова <-(90º - ) або < S оскільки S = -(90º - ).

Проведемо добові паралелі ZA і Z`C, що відповідно проходять через точки зеніту Z і надиру Z`. В результаті такої побудови отримуємо три зони:

1)зона APNZ, в якій знаходяться світила, що мають елонгацію – їх добові паралелі не перетинають перший вертикал, а щодо схилень цих світил повинна виконуватися умова > або > Z оскільки схилення точки зеніту Z = ;

2)зона АZСZ`, в якій знаходяться світила, що перетинають перший

вертикал, а щодо схилень цих світил повинна виконуватися умова або Z Z , оскільки схилення точки зеніту Z = ;

3) зона Z`CPS, в якій знаходяться світила, що мають елонгацію – їх добові паралелі не перетинають перший вертикал, а щодо схилення цих світил повинна виконуватися умова -90° - .

Для спостерігача, який знаходиться на земному екваторі ( = 0°), видимий рух небесних світил представлений на рис. 3.2 добовими паралелями Aa`A`a, ZWZ`E (QWQ`E) і Bb`B`b. Оскільки висота полюса hP дорівнює широті пункту спостережень, то hP = 0° та північний полюс світу PN переміститься в точку півночі N, а південний полюс PS – в точку півдня S. Вісь світу PNPS буде знаходитися в площині небесного горизонту і співпадати із полуденною лінією NS. Небесний екватор QWQ`E буде співпадати з першим вертикалом ZWZ`E, верхня точка небесного екватора Q – з точкою зеніту Z, а нижня точка небесного екватора Q` – з точкою надиру Z`.

Рис. 3.2. Видиме добове обертання небесної сфери ( = 0°)

Добові паралелі всіх зірок будуть перпендикулярні площині небесного горизонту, тому всі вони будуть зірками, що сходять і заходять. При цьому

40