Савчук підручник

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Обернена геодезична задача.

Нехай задані географічні координати 1, 1 і 2, 2 двох точок Q1 і Q2 (рис. 3.4б). Необхідно знайти найкоротшу відстань(довжину дуги великого кола) між даними точками та азимути1 і 2 з однієї точки на другу. Отже, обернена геодезична задача зводиться до перетворення географічних (сферичних) координат в полярні.

Розв’язування прямої і оберненої геодезичних задач на сфері, як легко можна побачити, представляє собою розв'язування полярного сферичного трикутника Q1PQ2 (рис.3.4б). В даному випадку розв'язування цього трикутника зводиться до визначення за двома сторонами і кутом між ними третьої сторони та прилеглих до неї кутів. Для розв'язування можна використати замкнуті формули сферичної тригонометрії:

Формули для розв’язування прямої геодезичної задачі:

де sin 2 визначається за формулою (3.20). Різниця довгот знайдеться, якщо розділити рівняння (3.12) на (3.17)

102

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

2 1 .

Шляхом ділення рівнянь (3.19) на (3.18) дістанемо формулу для оберненого азимута

Формули для розвязування оберненої геодезичної задачі: Для обчислення прямого азимута треба розділити

рівняння (3.12) на (3.14)

Формулу для sin отримаємо, якщо помножимо рівняння (3.12) на sin 1, а рівняння (3.14) - на cos 1 і додамо їх

sin cos 2 sin sin 1 (cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 cos )cos 1ysin 1 xcos 1.

(3.26)

103

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Обчислення арксинуса можна замінити обчисленням арктангенса, використавши формулу зв’язку, аналогічну (3.21).

Із трикутника Q1 PQ2 (див. рис. 3.4.б) можна отримати і інші варіанти формул для розв’язування прямої та оберненої геодезичних задач.

б) на поверхні еліпсоїда

В практиці розв'язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда між точками 1 і 2 використовуються різноманітні лінії, що дають однозначне положення точки 2 по відношенню до точки 1. За такі лінії можна прийняти прямий нормальний переріз, геодезичну лінію, центральний переріз, хорду тощо. Використання кожної з вказаних ліній вносить свої особливості в методи розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда. Ми будемо розглядати тільки ті методи, які базуються на використанні геодезичної лінії і найбільш часто зустрічаються в практиці.

Раніше нами були отримані диференційні рівняння, що характеризують зміну широти і довготи при переміщені вздовж будь-якої кривої на поверхні еліпсоїда

і зміна азимуту вздовж геодезичної лінії

Ці три рівняння представляють собою систему звичайних диференційних рівнянь першого порядку, що пов’язують чотири змінних - B, L, A, s, з яких довжина геодезичної лінії s прийнята як незалежна змінна.

104

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Проінтегрувавши їх по незалежній змінній s між точками Q1 і Q2,, отримаємо

Інтеграли (3.29) не виражаються в елементарних функціях, тому для їх наближеного розв'язування застосовують розклади в ряди або підінтегральних функцій або самих інтегралів з наступним почленним інтегруванням кожного ряду. При цьому для практичного застосування можливими є два варіанти їх розв'язування.

Поскільки розв'язування головних геодезичних задач на сфері виконується строго за формулами сферичної тригонометрії (див. п. 3.4.2.а), а форма земного еліпсоїда незначно відрізняється від сфери, доцільним є наступний порядок розв'язування:

обчислення за заданими елементами на еліпсоїді відповідних елементів на сфері, тобто здійснити перехід з еліпсоїда на сферу;

розв'язування головних геодезичних задач на сфері;

обчислення за елементами на сфері відповідних елементів на еліпсоїді, тобто провести зворотній перехід зі сфери на еліпсоїд.

Перехід з еліпсоїда на сферу, котре ще називають геодезичним зображенням, базується на зображенні геодезичної лінії еліпсоїда на сфері у вигляді дуги великого кола, причому кожній точці геодезичної лінії відповідала б єдина точка дуги великого кола як її зображення. Така відповідність вважається встановленою, якщо знайдені математичні залежності між елементами B, L, A, s в кожній точці геодезичної лінії на

105

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

еліпсоїді та елементами , , , у відповідній точці дуги великого кола на сфері.

В загальному вигляді ці залежності можна записати системою наступних диференційних рівнянь:

азимут A та квадрат ексцентриситета e2, як аргумент радіусів кривини M і N еліпсоїда.

Проінтегрувавши диференційні рівняння (3.30) при певних умовах, можна отримати необхідні формули для взаємного переходу з еліпсоїда на сферу. Одним із найбільш відомих способів розв’язування головної геодезичної задачі вказаним вище шляхом є спосіб Бесселя.

Саме такий варіант є практичним втіленням так званого прямого шляху розв’язування головних геодезичних задач. Прямий шлях полягає в безпосередньому розв’язуванні сфероїдного трикутника Q1PQ2 (див. рис.3.1) за відомими двома сторонами і кутом між ними, а саме:

в прямій геодезичній задачі відомі сторони Q1P = 900-B1; Q1Q2=s і кут A1, із розв'язування трикутника визначаються інші його елементи - різниця довгот l , котра служить для

визначення геодезичної довготи L2, сторона Q2P = 900 - B2 і

кут A2’ (A2 = 3600 - A2’);

в оберненій геодезичній задачі відомі сторони Q1P, Q2P та різниця довгот l ; із розв'язування трикутника визначається

106

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

строна s , кут A1 і кут A2’, за яким обчислюють азимут A2 = 3600 - A2’.

Сторони Q1P і Q2 P сфероїдного трикутника Q1PQ2 можуть досягати декількох тисяч кілометрів (наприклад, при розташуванні сторони Q1Q2 на широті 500, вказані сторони будуть біля 4 000 км). Розв’язування таких значних за розмірами трикутників пов’язано з досить великими труднощами, адже при цьому немає кінцевих замкнутих формул, поскільки сторони сфероїдних трикутників, що представляють собою дуги меридіанів і паралелей та геодезичні лінії на поверхні еліпсоїда, виражаються еліптичними інтегралами. Ось чому на практиці, при розв’язуванні сфероїдних трикутників, їх спочатку проектують на допоміжну сферу, на котрій виконують розв'язування, після чого здійснюють обернений перехід на еліпсоїд.

У всіх способах прямого шляху розв’язування головних геодезичних задач сферична поверхня використовується як проміжна інстанція, причому вона може бути використана і при виводі формул, і в процесі практичних обчислень. Способи, що базуються на прямому шляху, придатні для розв’язування прямих та обернених геодезичних задач на поверхні земного еліпсоїда при будь-яких віддалях між двома точками і з будьякою практично необхідною точністю.

Побічний шлях полягає у визначенні приростів (різниць) широт, довгот і азимутів у функції заданих величин, після чого за знайденими приростами визначаються остаточні величини.

Так, наприклад, при розв’язуванні прямої геодезичної задачі попередньо визначаються різниці:

В правих частинах цих рівнянь через f1, f2 і f3 позначені функції, що виражаються розкладами приростів широти, довготи та азимута в ряди за степенями довжини s:

107

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Кількість членів розкладів утримується в залежності від довжини s : чим більша відстань, тим більше членів в рядах (3.32) при одній і тій же точності обчислень треба утримувати.

Це і є розглянутий нами вище другий варіант розв'язування рівнянь (3.29), який відомий ще як непрямий або побічний шлях розв’язування головних геодезичних задач.

Перші коефіцієнти цих рядів задані рівняннями (3.27) і (3.28). Інші коефіцієнти знаходять шляхом послідовного диференціювання перших коефіцієнтів за змінними B і A як складних функцій. Так, наприклад, загальний запис для похідних вищих порядків широти буде мати вигляд

Часткові похідні для другої похідної будуть наступними

108

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Враховуючи відомі співвідношення та позначення (див. розділ 2):

отримаємо

звідки

dV 2 t. dB V

Часткова похідна

З врахуванням отриманих виразів та формули (3.28) остаточно отримаємо

109

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Аналогічним чином можна отримати і вирази для похідних вищих порядків. Приведемо без виводу вирази для похідних широти до п’ятого порядку включно

6sin2 Acos2 At2 (2 3 2 15 4 )

3cos4 A 4 23 2 19 4 5 2t2 (3 7 2) ,

Вирази для похідних шостого і вище порядків мають досить складний вид і мало перспектив на їх застосування в практичних обчисленнях.

Приведемо ще вирази для аналогічних похідних довготи та азимута

110

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

У виразах для похідних п’ятого порядку (3.34), (3.35), (3.36) знехтувано стисненням еліпсоїда ( =0) та прийнято, що M=N=R, де R - середній радіус еліпсоїда (земної кулі; можна прийняти R=a).

Практичні розрахунки показують, що з врахуванням похідних до третього порядку можна розв’язувати пряму геодезичну задачу на відстані до 40 км з точністю 0.0002” в широті та довготі і 0.001” в азимуті, а з врахуванням наведених похідних до пятого порядку і до 100 км з такою ж точністю.

Обчислення за цими формулами при “ручних” рахунках були надзвичайно громідзкими, тому застосовувались певні

111