Савчук підручник

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

де mM – середнє значення нормальної сили ваги по лінії М0М2.

За аналогією з отриманням виразу (5.33), формулу (5.34) можна перетворити

З формули видно, що перший член представляє суму виміряних перевищень в нівелірному ході, другий член є поправкою за непаралельність рівневих поверхонь нормального поля сили ваги, а останній член – це поправка за відхилення дійсного гравітаційного поля Землі від нормального.

Якщо від точок фізичної поверхні Землі відкласти по силових лініях нормального гравітаційного поля вниз їх нормальні висоти, то отримаємо поверхню квазігеоїда. Тоді нормальну висоту можна розглядати як висоту точки фізичної поверхні Землі над квазігеоїдом.

Геодезична висота HM точки M дорівнює сумі нормальної висоти HM і аномалії висоти м . Аномалія висотим дорівнює відрізку M2M і називається висотою

квазігеоїда над відліковою поверхнею (див. рис. 5.3). Суттєвих поправок за те, що геодезичні висоти відкладають не по силових лініях нормального поля, а по нормалях до еліпсоїда, не виникає. Якщо відліковою поверхнею є референцеліпсоїд, то

а якщо рівневий еліпсоїд нормального поля, то

282

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

Висоти N визначають за допомогою глобальних гравітаційних моделей Землі, висоти (аномалії висот) методом астрономічного чи астрономо-гравіметричного нівелювання.

Перевагою нормальних висот над ортометричними є те, що вони відповідають такому поділу геодезичної висоти H на гіпсометричну і геоїдальну складові, при якому кожна з них може бути однозначно і строго визначена лише за вимірами на фізичній поверхні Землі.

Порівнюючи формули (5.33) і (5.35), можна побачити, що ортометричні висоти відрізняються від нормальних на

яка визначається наближено. Ця величина якраз характеризує

квазігеоїд співпадає з геоїдом, коли Hвим. 0 або gm m . Це означає співпадання ортометричних і нормальних висот на рівні

283

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

5.4.4. Динамічні висоти

Система ортометричних висот, як і система нормальних висот мають спільний недолік, а саме, рівнева поверхня у загальному випадку буде мати різні висоти, оскільки будуть

різними gm в різних точках даної рівневої поверхні чи різною буде нормальна сила ваги m (залежить від широти). Цей

недолік ортометричних і, в деякій мірі, нормальних висот, що є значною перешкодою при використанні висот в інженерних задачах, і особливо задачах гідротехнічного характеру, усувається введенням так званих динамічних висот, тобто введенням такої системи висот, в якій висота всіх точок одної і тої ж рівневої поверхні буде постійною. Порівнюючи вирази (5.32) і (5.34), можна побачити, що інтегральний множник у них однаковий і повністю характеризує положення точки по висоті,

оскільки числова величина інтегралу gdh в будь-якій точці одної і тої ж рівневої поверхні є постійною. Змінними величинами у формулах (5.32) і (5.34) є gm і m . Тому, якщо

замінити їх на якесь фіксоване значення сили ваги, то тоді указані формули будуть виразом динамічної висоти, яка при переміщенні точки по рівневій поверхні не змінюється.

Позначивши динамічну висоту через H дин. та прийнявши за фіксоване значення нормальної сили ваги на

284

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

Динамічні висоти, як і геопотенціальні величини, однакові для всіх точок одної рівневої поверхні; вони не залежать від шляху нівелювання. За фіксоване значення сили

ваги не обов’язково приймати 450 ; можна взяти, наприклад,

середнє значення сили ваги для даного району. Такі висоти будуть володіти також всіма властивостями динамічних висот.

Формула динамічної висоти (5.41), у результаті перетворення, аналогічного до попередніх, приводиться до вигляду

Динамічні висоти не знайшли застосування в питаннях, що пов’язані з дослідженням та визначенням фігури Землі, за винятком окремих випадків інженерної практики, де суттєвою є умова сталості висот однієї рівневої поверхні.

5.5. Редукування геодезичних вимірювань з фізичної поверхні на поверхню земного еліпсоїда

5.5.1. Поняття про редукційну задачу

Результати геодезичних вимірювань, які виконуються на земній поверхні, відносяться до різних рівневих поверхонь. Це ж саме відноситься і до результатів астрономічних спостережень. Для визначення взаємного положення пунктів в єдиній системі координат за результатами геодезичних і астрономічних вимірів останні повинні бути приведені до однієї рівневої поверхні або взагалі до однієї, певним чином встановленої, відлікової поверхні.

Віднесення результатів астрономічних спостережень і геодезичних вимірювань до поверхні геоїда полягає, в основному, у введенні поправок за висоту пунктів над рівнем Світового океану. Оскільки поверхня геоїда має досить складну форму, а її розміри не відомі, то при математичному

285

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

опрацюванні результатів геодезичних вимірювань поверхня геоїда замінюється більш простою геометричною відліковою поверхнею – земним еліпсоїдом. Розміри земного еліпсоїда і його положення або орієнтування в тілі Землі повинні бути встановлені так, щоб його поверхня була близькою до поверхні геоїда.

Укласичному методі визначення геодезичних координат треба здійснити перехід від довжин ліній і горизонтальних напрямів, виміряних на фізичній поверхні Землі, до довжин відповідних геодезичних ліній і до напрямів цих ліній на референц-еліпсоїді. Виникає так звана редукційна задача вищої геодезії.

Редукційною задачею називають теорію переходу від безпосередньо виміряних на фізичній поверхні Землі величин (довжин ліній, горизонтальних напрямів та вертикальних кутів, прискорень сили ваги) до відповідних їм величин на поверхні прийнятого еліпсоїда.

Укласичній геодезії обчислення планових координат

B - геодезичної широти і L -геодезичної довготи пунктів прийнято виконувати окремо від геодезичних висот H . Подальше опрацювання геодезичної мережі ведеться на поверхні земного еліпсоїда і є, фактично, розв’язком двовимірної задачі. При цьому можна, в залежності від практичної необхідності, виконати проектування елементів мережі вже з поверхні еліпсоїда на сферу або площину.

Технологія обчислення геодезичних широт і довгот передбачає проектування пунктів тріангуляції з фізичної поверхні Землі на поверхню земного еліпсоїда, переважно, на референц-еліпсоїд. Проекції цих пунктів утворюють ряд точок на поверхні референц-еліпсоїда, що з'єднуються геодезичними лініями. В результаті цього отримують мережу, що складається із сфероїдних трикутників. Із розв'язування цих трикутників визначають довжини їх сторін (довжини геодезичних ліній), а в подальшому, шляхом розв’язування головних геодезичних задач від вихідного пункта мережі, використовуючи при цьому виміряні горизонтальні напрями, знаходять геодезичні

286

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

координати B,L решти пунктів та геодезичні азимути A для

всіх можливих напрямів.

Існує два методи розв’язання редукційної задачі: математично строгий метод - метод проектування, і наближений - метод розгортання.

Для застосування методу проектування вже повинна бути з достатньою точністю відома фігура Землі. А саме, потрібно знати:

з похибкою декількох мінут геодезичні координати B,L пунктів та геодезичні азимути A напрямів;

з похибкою 1-3 м, а в деяких випадках і точніше, геодезичні висоти пунктів H ;

з похибкою 1-2 " складові відхилення прямовисної лінії

і .

Наближені значення геодезичних координат B,L, які

необхідні для редукування тріангуляції, можна зняти з топографічної карти або обчислити шляхом розв’язування прямих геодезичних задач на поверхні еліпсоїда, використовуючи при цьому виміряні (не редуковані) горизонтальні напрями.

Геодезичну висоту H представляють у вигляді суми H H ', де H - нормальна висота, що визначається з високою точністю із геометричного нівелювання, ' - висота

квазігеоїда над референц-еліпсоїдом. Останні висоти визначають із астрономічного чи астрономо-гравіметричного нівелювання.

Складові відхилення прямовисних ліній ,

безпосередньо можуть бути обчислені тільки для тих пунктів, де виконані астрономічні визначення широт і довгот. Для решти пунктів їх отримують методом непрямої інтерполяції з використанням гравіметричних даних.

При початковому опрацюванні тріангуляції перерахованих вище даних, необхідних для проведення редукування, ще немає. Можна отримати тільки висоти пунктів над геоїдом (квазігеоїдом) із геометричного нівелювання та

287

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

обчислити наближені значення координат B,L і азимутів

напрямів A. З цими даними для редукування результатів геодезичних вимірювань на поверхню референц-еліпсоїда використовується метод розгортання.

При застосуванні методу розгортання геодезичну мережу фактично редукують прямовисними лініями на геоїд, використовуючи для лінійних редукцій висоти над рівнем моря, але вважають, що тим самим виконано редукування на референц-еліпсоїд. Метод розгортання можна трактувати як наближений метод проектування, коли при обчисленні редукцій не акцентується на різниці між геоїдом і референц-еліпсоїдом, а прямовисні лінії розглядаються як нормалі до референцеліпсоїда. Звісно, різниці між поверхнями референц-еліпсоїда і геоїда будуть відносно малими за величиною лише у тому випадку, коли розміри і орієнтування референц-еліпсоїда визначені під умовою якнайбільшої близькості його поверхні до поверхні геоїда. Проте навіть тоді не можна не рахуватися з впливом відступів геоїда на результати опрацювання геодезичних вимірів.

Впливи відступів геоїда від прийнятого референцеліпсоїда на результати геодезичних визначень можуть бути усунуті тільки застосуванням відповідних способів приведення геодезичних вимірів до поверхні референц-еліпсоїда. Математично однозначне визначення положення пунктів на поверхні референц-еліпсоїда може бути досягнуто тільки при проектуванні їх на цю поверхню нормалями до неї. Отже, правильне опрацювання геодезичних вимірювань, пов’язане з введенням у них редукцій - поправок, що однозначно визначаються відповідними відступами поверхні геоїда від прийнятого референц-еліпсоїда.

З теоретичних позицій для застосування вказаного методу проектування можна прийняти будь-який референцеліпсоїд, який характеризує фігуру Землі, в тому числі і загальний земний еліпсоїд. Якщо знати відступи геоїда від прийнятого еліпсоїда, то завжди можна достатньо точно визначити ті поправки, які повинні бути введені у результати

288

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

геодезичних вимірювань для віднесення їх до поверхні цього еліпсоїда. Проте, якщо відступи геоїда будуть досить значними, то відповідні їм редукції геодезичних вимірювань також будуть значними. В цьому випадку результати вимірів, особливо лінійних, після приведення їх до поверхні еліпсоїда будуть дуже відрізнятися від їх значень, отриманих на поверхні геоїда. З чисто практичних потреб їх використання необхідно, щоб вони не підлягали великим спотворенням, хоча і досить закономірним у математичному плані. Тому при опрацюванні геодезичних вимірювань методом проектування також необхідно застосовувати такий еліпсоїд, який за розмірами та орієнтуванням найбільш близько підходить до фігури геоїда на конкретній ділянці Землі, тобто референц-еліпсоїд.

Розглянемо формули, за якими обчислюють поправки в лінійні вимірювання (вимірювання відстаней між пунктами мережі світлоабо радіовіддалемірами чи GPS-методами ) та кутові вимірювання (горизонтальні напрями) для редукування їх на референц-еліпсоїд методом проектування.

5.5.2. Редукування лінійних вимірів

Якщо D- виміряна похила віддаль між віддалеміром на пункті A і відбивачем на пункті B , приведена до центрів знаків, то для редукування її на референц-еліпсоїд обчислюються геометричні поправки, зміст яких зрозумілий із рис. 5.4.

Поправка за нахил лінії

Визначається на основі відомої формули

D' D D1 2Dsin2 2 ,

де - кут нахилу даної лінії. Зважаючи на те, що кут нахилу є малою величиною, отримаємо

289

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

Тут

Рис. 5.4

У формулах (5.43): H1 і H2 - геодезичні висоти відповідно віддалеміра та відбивача; H 1,H 2 - висоти пунктів і B над квазігеоїдом; '1 , '2 - висоти квазігеоїда над

референц-еліпсоїдом.

Поправка за висоту

Визначається дана поправка із подібних трикутників

ABO та A0 B0O

перерізу еліпсоїда, що відповідає заданій лінії. Величину RA з достатньою точністю можна обчислити за формулою (2.43) або

290

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

де Bm - широта середньої точки лінії; Am - середній азимут лінії.

Враховуючи, що

sin2 2 12 1 cos ,

остаточно отримаємо інший вигляд формули для обчислення довжини хорди d

де H H2 H1 , а RA обчислюється за формулою (5.45).

291