Савчук підручник

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

В загальному вигляді залежності між всіма вказаними змінами можна записати у вигляді системи диференційних рівнянь

ZZ0

H H0 P P0

представляють собою поправки до старих значень розмірів еліпсоїда (a, ) і координат (B,L,H,X,Y,Z) довільної точки

122

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

простору для отримання нових значень цих величин в другій системі геодезичних координат.

Часткові похідні в рівняннях ( 3.49) знаходимо шляхом диференціювання по відповідних змінних правих частин рівнянь (3.43). Раніше (див. п.3.5.2) нами вже отримано частину похідних (3.46). Аналогічним чином знаходять і інші похідні в

(3.49).

Підставивши ці похідні в рівняння (3.49) та після відповідних перетворень, отримаємо остаточно

(M H)dB dxsinBcosL dysinBsinL dzcosB

dH dxcosBcosL dycosBsinL dzsinB Na da Nsin2 Bd . (3.52)

Умовою застосування вказаних диференційних формул є паралельність осей обертання та площин початкових меридіанів обох еліпсоїдів.

Отримані вище формули можуть використовуватись:

для обчислення поправок в координати при переході до другої системи геодезичних координат (при відомих параметрах da, d , dx,dy,dz);

для встановлення нової системи геодезичних координат (визначення вказаних п’яти невідомих параметрів).

Поправки da, d легко знайти, поскільки параметри еліпсоїдів, що застосовуються в практичних роботах, переважно відомі. Що стосується інших трьох поправок, то вони визначаються наступним чином. За геодезичними координатами декількох пунктів Qi (i=1,2,...,n), відомими в двох системах координат, з допомогою формул (3.50-3.52) можна визначити

123

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

лінійний зсув dx,dy,dz одної системи відліку геодезичних координат відносно другої.

Вказану задачу можна сформулювати ще так. Дано координати окремих пунктів геодезичної мережі - (X,Y,Z), визначених з допомогою GPS в системі WGS-84. Обчислити параметри перетворення для геодезичної мережі, у якій більшість пунктів є з відомими координатами B,L,H в системі деякого референцного еліпсоїда, причому деякі з них є спільними (відомі координати в обох системах відліку).

Розв'язування цієї задачі дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

для спільних пунктів виконуємо перетворення декартових X,Y,Z, заданих в системі WGS-84 в геодезичні B,L,H координати за допомогою формул ( 2.33));

визначаємо три параметри перетворення dx,dy,dz на основі формул (3.50-3.52 );

для пунктів GPS, які не належать до спільних, використовуючи параметри перетворення, знаходимо координати (B,L,H)REF в системі референцного еліпсоїда;

Нехай референцна система XYZ визначена в іншій системі X0Y0Z0 положенням початку координат dx,dy,dz і кутамиx, y, z, на які треба повернути систему XYZ відповідно навколо осей X, Y, Z, щоб ці осі стали паралельні відповідно осям X0,Y0, Z0.

В такій постановці декартові координати із одної системи в іншу будуть перетворюватись за формулами:

124

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

При невеликих кутах повороту осей однієї системи координат відносно другої, що має місце в практиці, матриця перетворення R має елементи

У формулі (3.54) R’ - транспонована матриця R, - масштабний множник. Для більшості задач, що виникають при переобчислені координат сучасних систем координат можна вважати, що =1.

Перетворення (3.54) називається ще перетворенням або трансформацією Гельмерта.

Формулу (3.54) можна представити і в такому виді:

Кожен пункт Qi (i=1,2,...,n), координати якого відомі в двох системах координат, утворює систему рівнянь (3.55). Шукані параметри зв’язку двох систем координат можна обчислити з оцінкою точності, застосовуючи принцип найменших квадратів.

Розв'язування сформульованої вище задачі зв’язку двох систем координат дістанемо за допомогою наступного алгоритму:

1)для спільних пунктів виконуємо перетворення геодезичних координат B,L,H в декартові X,Y,Z за допомогою формул (2.32);

2)визначаємо шість параметрів перетворення dx,dy,dz і

x , y , z на основі формул (3.54) або (3.55).

125

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

3)для пунктів загальноземної системи координат, які не належать до спільних, використовуючи параметри перетворення, знаходимо координати (X,Y,Z)REF в референцній системі;

4)перетворюємо обчислені в попередньому кроці координати із декартових (X,Y,Z)REF в геодезичні (B,L,H)REF.

Точність переобчислених координат буде залежати:

від похибок формул, що застосовуються при обчисленнях;

від методів переходу виміряних елементів геодезичних мереж на поверхню референц-еліпсоїда;

від врівноважень, виконаних в геодезичних мережах кожної системи незалежно одна від другої.

126

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

3.6. Способи розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда.

3.6.1. Розв’язування головних геодезичних задач методом із середніми аргументами (формули Гаусса).

Пряма геодезична задача

Нехай на рис.3.7 крива Q1Q2 є геодезичною лінією між початковою точкою Q1 і кінцевою Q2.

P

Рис.3.7

Візьмемо точку Qo, розташовану на середині геодезичної лінії Q1Q2. Застосувавши формули (3.32) до кожної частини геодезичної лінії, отримаємо для широти

127

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Віднявши в (3.56) перше рівняння від другого знаходимо

Для різниць довгот та азимутів отримаємо аналогічно:

де нульовий індекс при похідних показує, що вони повинні обчислюватись за Bo і Ao. Отримані вирази мають перевагу перед формулами (3.32): члени з парними степенями відсутні, а в інших членах коефіцієнти при них зменшились в декілька раз. Проте координати точки Qo(Bo, Lo, Ao), яка розташована посередині геодезичної лінії Q1Q2, не будуть рівні середньому значенню координат цих точок (Bm, Lm,, Am).

Залежності між цими координатами можна отримати, якщо додати рівняння (3.56) і поділити на два:

128

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Як видно, ці залежності – малі величини другого порядку.

Приведені вище формули в загальному виді розв’язують поставлену задачу. Але поскільки ставиться за мету отримати різниці координат у функції Bm і Am, то потрібно встановити залежність між вказаними похідними. Вона виражається з допомогою ряда Тейлора:

Часткові похідні, що входять в дану формулу дорівнюють:

З похибкою на малі величини четвертого порядку, остаточно отримаємо

129

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

а з похибкою на величину третього порядку можна записати:

поправочних членів у формулі (3.58) і не приймаючи до уваги

Для різниці довгот та азимутів формули отримуються аналогічним чином. Запишемо ці формули в кінцевому виді

130

Розділ 3. Розв'язування геодезичних задач

Наведені скорочені формули для різниць широт, довгот та азимутів відрізняються від повних формул типу (3.58), які точні до величин четвертого порядку включно, лише на

відкинуті малі величини порядку s3 2 .

R3

В формулах (3.60)-(3.62) величини b,l,a – функції середньої широти Bm і середнього азимута Am, які невідомі. Невідомі також і аргументи b і l в поправочних членах вказаних формул. Тому пряма геодезична задача розвязується методом послідовних наближень наступним чином.

Приймаємо b і a рівними нулю, тобто

Bm B1, Am A1,

і з цими значеннями обчислюємо в першому наближенні bІ ,lІ ,aІ, а потім знаходимо

З цими наближеними значеннями знаходимо нові, більш точні значення Bm і Am та повторюємо обчислення b і a, а також l. Так поступають до тих пір, поки результати обчислень із двох суміжних наближень не стануть одинаковими.

Обернена геодезична задача.

При відомих значеннях B1,L1,B2 ,L2 ми можемо зразу

знайти

131