Савчук підручник
.pdf
l2 |
cos2 |
B |
y2 |
(1 tg2 B) |
|||
N 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
l4 |
cos4 |
B |
|
y4 |
. |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
N 4 |
|
||
y4 |
, |
|
3N 4 |
||
|
З врахуванням останніх двох виразів формулу (4.27) можна записати у наступному вигляді
|
|
m 1 |
1 |
|
(1 e'2 cos2 |
B |
x |
) |
y |
2 |
1 |
|
(5 4tg2B |
x |
) |
y4 . |
(4.28) |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
Nx |
2 |
|
|
|
|
24 |
|
Nx |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 e'2 cos2 B |
x |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
N |
2 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де R - середній радіус кривини еліпсоїда, то остаточно отримаємо |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m 1 |
y2 |
|
y4 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.29) |
||||||
|
|
|
2R2 |
24R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
В останньому члені формули (4.29) замість |
N 4 приведено |
R4 , що викличе похибку |
|||||||||||||||||||||
порядку e4 на сфероїдні члени, якими знехтувано у членах порядку l4 .
Масштаб зображення є дуже важливою характеристикою конформної проекції. Згідно формули (4.28) або (4.29) можна встановити величини і розподіл лінійних спотворень при
переході з еліпсоїда на площину. Так легко замітити, що із збільшенням ординати |
y лінійні |
|||||
спотворення зростають пропорційно y2 ; |
постійному значенню ординати |
y const |
||||
відповідає практично постійна величина масштабу m const . Величина радіуса |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
a |
1 e2 |
|
|
|
|
e2 sin2 B |
|
||||
1 |
|
|||||
із зміною широти змінюється звісно, але досить незначно. Тому лінії рівних спотворень довжин в проекції Гаусса-Крюгера розташовуються практично паралельно осі абсцис на всій смузі проекції від екватора до полюса, а звідси виходить, що проекцію Гаусса-Крюгера найбільш оптимально застосовувати для зображення смуги, яка витягнута на еліпсоїді з півдня на північ. Межами такої смуги служать лінії рівних спотворень довжин m const .
129
4.5.4. Формули для редукування напрямів і відстаней
Під редукуванням напрямів і відстаней розуміють перехід від напрямів і довжин геодезичних ліній на еліпсоїді до відповідних їм величин на площині. Редукція напрямів полягає у визначенні поправки за кривину зображення геодезичної лінії на площині, а редукція відстаней - знаходженні різниці довжини геодезичної лінії та хорди зображення геодезичної лінії. Після введення цих редукцій у виміряні величини, які приведені на поверхню еліпсоїда, ми отримаємо геодезичну мережу, редуковану з еліпсоїда на площину.
На практиці редукування мережі 1–го класу на площину проводиться тільки в окремих випадках і не має широкого розповсюдження, тому при виводі формул будемо орієнтуватися на мережі нижчих (2-4) класів.
Для редукування напрямів вважатимемо, що AB є геодезичною лінією на поверхні еліпсоїда в складі деякої замкнутої геодезичної фігури ABDC (рис. 4.5.б).
|
|
D |
y |
B |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
D |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
C |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
C |
y |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
Рис.4.5 |
|
|
|
|
|
Нехай геодезична лінія AB зображена на площині в виді кривої A' aB' (рис. 4.5.а). |
|||||||||
Кути в точках A' |
і B' |
між дотичними до кривої і хордою |
A' B' позначимо через 12 |
і 21. |
|||||
Координати точок |
A' |
і B' позначимо через x1 ,y1 |
і x2 ,y2 . Нехай точки C' і D' є основами |
||||||
ординат точок A' і B' відповідно. Із-за конформності проекції фігури ABCD і A’B’C’D’ будуть подібними, а відповідні кути у них рівними. Суми внутрішніх кутів складуть:
на еліпсоїді A B C D 360o ;
на площині A' B' C' D' 360o ( 12 21).
Значить, 12 21, тобто сферичний надлишок рівний сумі поправок взаємнообернених напрямів. Як відомо (див. розділ 3), сферичний надлишок визначається формулою
RP2 ,
де P- площа фігури A’B’C’D’; P |
y1 y2 |
(x2 |
x1 ) ym x. |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ym |
x. |
|
|
|
|
|
|
12 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Приймаючи наближено, 12 |
21 |
, отримуємо |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
ym |
. |
(4.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2R2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
130
На практиці потрібно знати не тільки величину кута для даного напряму, але і як ввести його в цей напрям, щоб перейти на площині від кривих ліній до їхніх хорд. Оскільки відрахування кутів ведеться за ходом годинникової стрілки, то із рис. 4.5.а) легко видно, що для переходу від напряму A'aB' до хорди A'B' кут при точці A' потрібно відняти від напряму A'aB', а при точці B' - додати до напряму B'aA'. Отже, поправки 12 і 21 у взаємні
напрями мають протилежні знаки:
|
|
" |
" |
(x |
|
x )y |
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
12 |
|
2R2 |
2 |
|
1 |
m |
|
|
(4.31) |
|||
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
" |
(x |
|
x )y |
|
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
21 |
|
|
2R2 |
|
2 |
1 |
|
|
m |
|
||
Формулами (4.31) користуються для редукування напрямів в тріангуляції 3 класу і
нижче.
Поправки за редукцію алгебраїчно віднімаються від виміряних напрямів. Значення редукованих плоских кутів A’,B’ і C’ за виміряними на фізичній поверхні і
приведеними на еліпсоїд кутами A,B і C трикутника ABC отримують наступним чином
A' A ( AC AB ) A A ;
B' B ( BA BC ) B B ;
C' C ( CB CA ) C C .
Сума поправок за редукцію кутів трикутника рівна його сферичному надлишку з оберненим знаком, що служить контролем обчислення та . Справді,
A' B' C' A B C ( A B C ),
A B C A' B' C' ,
(A B C ) .
Втріангуляції 2-го класу для обчислення поправок за кривину зображення геодезичних ліній застосовують більш точні формули, які приведемо без доведення
|
|
|
|
x |
|
|
(2y |
y |
|
); |
|||
|
6R |
|
|
|
|
||||||||
|
12 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
(4.32) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
21 |
|
|
|
|
(2y2 y1 ), |
||||||||
|
6R |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
де Rm - середній |
радіус |
|
|
кривини, |
обчислений за широтою середньої точки заданої |
||||||||
геодезичної лінії.
Як видно з наведених формул, для обчислення редукцій повинні бути відомі плоскі прямокутні координати початкового і кінцевого пунктів. Визначимо необхідну точність цих координат. Для цього достатньо дослідити формулу (4.30). Продиференціювавши дану формулу за координатами x і y , знаходимо
d 2Rx2 dym 2yRm2 d x.
131
|
Позначивши dym d x dp, отримаємо |
|
|
|
|
|
||
|
|
dp" |
2R2 |
|
d " |
. |
|
|
|
|
ym x |
|
" |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Нехай: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для тріангуляції |
2-го класу d 0.01";ym 240км (на краю |
шестиградусної зони); |
|||||
|
x 15км, тоді |
dp 10м; |
|
|
|
|
|
|
|
для тріангуляції 3-го класу d 01.";ym 240км; x 10км, тоді |
dp 100м. |
||||||
Стосовно опрацювання кутомірних вимірювань нижчих класів (розрядів), то поправки за кривину (в межах шестиградусних зон) можна обчислювати за наближеною формулою:
"12 "21 0,00253 xкм ym,км ,
анаближені координати пунктів можна вибрати із карти або схеми геодезичної мережі. Нижче наводиться таблиця абсолютних величин поправок (редукцій) за кривину
зображення геодезичної лінії для різних значень ym та x
Таблиця 4.1
ym ,км |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
|
|||||
x,км |
|
|
|
|
|
5 |
0.6” |
1.2” |
1.9” |
2.5” |
3.2” |
10 |
1.3” |
2.5” |
3.8” |
5.1” |
6.4” |
20 |
2.5” |
5.0” |
7.7” |
10.1” |
12.6” |
Як видно із таблиці 4.1, в знімальних мережах ( x 5км) поправками за кривину, через їх незначні величини, в порівнянні з похибками вимірювання кутів, можна нехтувати.
Перед виводом формул для редукцій відстаней розглянемо спочатку питання про різницю в довжинах зображення дуги геодезичної лінії на площині S та хорди d , шо стягує цю дугу.
q2
dS
q1
Рис.4.6
Нехай на рис.4.6 q1q2 - зображення дуги
геодезичної лінії на площині; d - її хорда; - кут між хордою і початковим елементом дуги q1q2 . Тоді
можемо записати
q2
d cos dS.
q1
Згідно таблиці 4.1, значення кута 15" при стандартних довжинах сторін геодезичних мереж. Тому для малих кутів можемо записати
cos 1 |
"2 |
1 3 10 9 . |
|
2 "2 |
|||
|
|
Отже, з похибкою на величину 3 10 9 можна прийняти, що cos 1 , тоді d S.
Із (4.12) можемо записати інтеграл
132
s |
|
d mds, |
(4.33) |
0 |
|
де масштаб m визначається формулою (4.29). |
|
Знайти інтеграл (4.33) в замкнутій формі надзвичайно трудно, |
поскільки масштаб |
зображення є досить складною функцією довжини геодезичної лінії. Проте такі фактори як порівняно невелика довжина геодезичної лінії (<30 км) і незначне віддалення від осьового меридіану (l 3o ) спрощують задачу знаходження інтегралу (4.33), і її розв’язання можна буде шукати наближеними методами.
Одним із наближених методів обчислення вказаних означених інтегралів є чисельний метод. Конкретно для даного випадку можна застосувати формулу Сімпсона, розділивши інтервал інтегрування на дві частини. Тоді інтеграл (4.33) може бути представлений
наступним наближенням |
|
|
|
|
|
d |
s |
(m 4m |
|
m ), |
(4.34) |
|
|
||||
6 |
1 |
m |
2 |
|
|
де |
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2R 2 |
|
|
|
24R 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
mm 1 |
|
|
ym |
2 |
|
|
|
|
ym |
4 |
|
|
, |
(4.35) |
|||||
|
|
2R |
|
2 |
|
|
24R |
|
|
|
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||||||
m2 1 |
|
|
y22 |
|
|
|
y24 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
2R |
|
2 |
|
24R |
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Якщо обчислення проводяться з геодезичними координатами, то для масштабів зображення можна використати формулу (4.27)
При довжинах ліній, що не перевищують 30 км, у всіх трьох виразах для масштабу зображення радіус кривини R можна обчислювати тільки для середньої точки, а в членах
четвертого порядку прийняти y14 y24 ym4 .
Для ординат можемо записати такі очевидні співвідношення
2y |
m |
|
y y |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4y |
m |
2 y 2 |
2y y |
2 |
y |
|
2 |
, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
y y |
|
|
y |
, |
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
y |
2 |
y |
|
|
y |
( y)2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
|
2 |
y |
|
|
y |
|
( y)2 |
|
|||||||||||||||||||
y |
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
m |
|
m |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y y |
|
|
y |
|
|
2 |
|
|
( y)2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставивши |
|
|
|
|
в |
|
рівняння (4.34) |
|
вирази |
|
|
для |
|
масштабів |
|
|
(4.35) та використавши |
||||||||||||||||||||||||||||
приведені вище співвідношення, отримаємо остаточну формулу |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d s |
1 |
|
ym |
2 |
|
|
|
( y)2 |
|
|
ym |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.36) |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
24R |
|
|
|
|
24R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Із отриманої формули видно, що лінія на площині в проекції Гаусса-Крюгера завжди довша від ліній, що зображуються з еліпсоїда. Третій і четвертий члени формули (4.36) при ym 320км (максимально можливі значення на краю шестиградусної зони) і s 20 км
складають 6 і 8 мм відповідно, тому в роботах, де не вимагається висока точність або коли розміри зони є меншими (l 30 ), можна користуватися формулою
|
|
d s s |
ym |
2 |
|
|
. |
|
(4.36’) |
||||
|
|
2R2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Підрахуємо тепер, з якою похибкою допустимо знати в (4.36) ординату ym середньої |
|||||||||||||
точки редукованої лінії. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При похибці в ym , рівній ym , отримаємо в d |
похибку d , згідно (4.36’), рівну |
||||||||||||
|
|
d s |
|
ym |
|
y |
|
, |
|||||
|
|
2R2 |
|
m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ym |
|
2R2 |
|
d . |
|||||||
|
|
|
y |
m |
s |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Якщо |
поставити |
вимогу, щоб d |
не |
|
|
|
перевищувало 0.001 м, то, приймаючи |
||||||
R 6400км, |
ym 330км |
і s 20км, отримаємо, |
|
що |
ym 12м. |
||||||||
134
4.6. Практика застосування проекції Гаусса-Крюгера.
Областю зображення або |
областю розповсюдження системи плоских прямокутних |
координат є к о о р д и н а т н а |
з о н а, обмежена двома меридіанами, з різницею довгот в |
2l0 , переважно в 6о - шестиградусна зона. Номерація зон, а відповідно і довгота осьового меридіана, пов’язана з прийнятою номенклатурою карт. Кожна шестиградусна зона відповідає одній колоні листів карти масштабу 1:1 000 000 і, якщо N є номером колони, то номер шестиградусної зони n визначається за формулою n N 30.
Осьовий меридіан шестиградусної зони проекції Гаусса-Крюгера збігається із середнім меридіаном відповідної колони карти масштабу 1:1 000 000. Звідси виходить, що довгота осьового меридіана може бути знайдена за формулою Lo 6n 3o . Довгота
межового меридіана шестиградусної зони відносно осьового рівна l 3o .
В топографічних роботах крупного масштабу застосовуються триградусні зони, а в спеціальних роботах можуть і ще вужчі, але при цьому координати опорних пунктів даються і в шестиградусній зоні.
Прямолінійне зображення осьового меридіана і екватора, які приймаються за осі декартових координат, дозволяють створити в кожній координатній зоні самостійну систему плоских координат, яка використовується у всіх видах геодезичних і топографічних робіт, що виконуються в межах однієї зони.
Системи координат в кожній зоні проекції Гаусса-Крюгера абсолютно ідентичні: плоскі координати x і y, обчислені за геодезичними координатами B,l в будь-якій координатній зоні, мають одні і ті ж значення.
Для однотипного способу аналітично виражати положення будь-якої точки земної поверхні Баумгарт (1919) вніс пропозиції:
оптимальним вважати поділ на триградусні зони;
виключити з вжитку від’ємні ординати шляхом додавання до них 500 000 м;
за осьові меридіани прийняти меридіани 3, 6, 9, 12о, … східної довготи, відносячи їх до Грінвіча, а перед ординатою вказувати відповідні їм номери
Таблиця 4.2
Lo |
0о |
3о |
6о |
9о |
12о |
15о |
… |
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
Врезультаті цих пропозицій, отримана вище вказаним чином ордината називається
ум о в н о ю о р д и н а т о ю. Наприклад, Y=7 490891,297 означає, що точка з цією ординатою розташована в 7 зоні, її істинна ордината рівна y=-9108,703, а довгота осьового
меридіана Lo 7 3 210 .
Пропозиції Баумгарта були прийняті багатьма державами.
В Україні на даний час за осьові прийняті меридіани 3, 9, 15, 21о, … східної довготи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
Киї |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
е |
д |
і |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
7 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
р |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
5 |
0 |
51 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
21 |
27 |
33 |
39 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
м |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
и |
|
|
0 |
6 |
12 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
4 |
|
E |
Рис.4.7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||
1 |
й |
|
|
|
|
|
0 |
18 |
24 |
30 |
360 |
42 |
|
48 |
|
5 |
|
|
|
||||||||||||
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
відносно Грінвіча (див. рис. 4.7), тобто з інтервалом в 6о; номерація їх відповідає
приведеному ряду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 4.3 |
Lo |
3о |
9о |
15о |
21о |
27о |
33о |
… |
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
… |
Система координатних зон створює незручності при обчисленні геодезичної мережі, а також при проведенні топографічних знімань у випадках, коли геодезична мережа або частина земної поверхні, на якій проводять знімання розташована не в одній, а в двох або навіть в декількох зонах. Хоча ці незручності переборюються порівняно просто, проте ширину зони стараються вибрати якомога більшою і тим самим зменшити труднощі, що можуть виникати в таких випадках.
При виконанні геодезичних робіт ширина координатної зони може бути, в принципі, довільною. Врахування більшої кількості членів у формулах для перетворення координат та редукцій кутів і ліній не є перешкодою для сучасних методів та засобів обчислень. Наприклад, вся територія України, що простягається по довготі на 20о, може бути віднесена до однієї зони і формули (4.15-4.16) дозволяють обчислити плоскі прямокутні координати будь-якої точки з точністю до 0.01 м.
Зовсім іншою є справа в топографії. Так при створенні топографічних карт, основна вимога, що стосується до будь-якої картографічної проекції - це рівність відстаней, які виміряні на карті, відстанням на місцевості в масштабі карти. Максимальне спотворення s можна визначити на основі формули редукції відстаней (4.36’)
s |
ym |
2 |
s |
|
, |
(4.37) |
|
2R2 |
max |
||||||
|
|
|
|
||||
де smax - максимальна відстань, яку можна виміряти між двома найбільш віддаленими
точками в межах листа топографічної карти. Цю відстань можна обчислити на основі формул для сторін сфероїдної трапеції (див. розділ 2)
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
s |
max |
R |
cos2 B( L)2 ( B)2 , |
(4.38) |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
де B та L - розміри рамок трапеції (листа карти певного масштабу) по широті та довготі відповідно.
Значення ym , якому будуть відповідати максимальні лінійні спотворення, викликані масштабом проекції, для території України будуть в точці з координатами B 45o , l 3o . В цій точці y 236км. Тоді, згідно формул (4.38) та (4.37), отримаємо
|
|
Таблиця 4.4 |
Масштаби трапецій |
smax , км |
s, м |
1:25 000 |
13.5 |
9 |
1: 10 000 |
6.8 |
5 |
1: 5 000 |
3.4 |
2 |
1: 2 000 |
1.1 |
0.8 |
Точність відстані, виміряної між двома точками на топографічній карті, характеризується похибкою порядку 0.7 мм. В залежності від масштабу карти дана похибка відповідає величині d в метрах
136
|
Таблиця 4.5 |
Масштаби трапецій |
d , м |
1:25 000 |
18 |
1: 10 000 |
7 |
1: 5 000 |
4 |
1: 2 000 |
1 |
Як видно із наведених таблиць, для топографічних карт масштабного ряду до 1:2 000, лінійними спотвореннями при виконанні картометричних робіт можна знехтувати в межах однієї шестиградусної зони від широти 45о та більше. Для більш крупних масштабів величина лінійних спотворень sна краю шестиградусної зони є недопустимою, тому в цих випадках потрібно застосовувати триградусні зони.
Спотворення виникають не тільки при використанні карт, але і при самих топографічних зніманнях. Тому при встановлені ширини зони виходять також із інтересів топографічних робіт: вибирають зони такого розміру по довготі, при якому не виникало би потреби враховувати спотворення. Завдяки властивості конформності проекції кути контурів будуть зберігатися і питання відноситься, головним чином, до врахування спотворень відстаней. Справді, на краю шестиградусної зони при ym =250 км, (x2 x1 )=1 км значення
редукції буде менше 1” (див. формулу (4. )), тобто достатньо мала величина в порівнянні з похибками вимірювання кутів при розвитку знімальної основи (20-30”).
З достатньою для даного питання точністю ординату у можна обчислити за формулою
(див. 4.19)
y lRcosB.
Тоді, згідно формули (4.37), для відносного спотворення відстаней, напишемо
s |
|
1 |
l2 |
cos2 B. |
|
s |
2 |
||||
|
|
|
Південні райони України розташовані на широті біля 45о. Поставивши вимогу, щоб спотворення відстаней не переважало певної величини, отримаємо різні значення ширини
зони по довготі |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 4.6 |
Відносна |
1/1000 |
1/2000 |
1/5000 |
1/10 000 |
похибка |
|
|
|
|
Ширина зони |
3.5о |
2.5о |
1.5о |
1о |
Поскільки при зніманнях в кадастрових роботах, а також територій, що відводяться під будівництво великих інженерних споруд, допускаються досить незначні лінійні спотворення, щоб ними можна було знехтувати і лише в крайніх випадках враховувати за допомогою простих формул, то звідси і виходять при виборі ширини зони (див. табл.4.6).
Викладені положення дозволяють встановити наступний порядок дій при опрацюванні геодезичної мережі 2 класу в проекції Гаусса-Крюгера, якщо вихідними даними є геодезичні координати Bі L одного або обох пунктів вихідної сторони, її довжина s та азимут A і горизонтальні напрями на інші сторони мережі:
виміряні напрями приводять до поверхні еліпсоїда шляхом їх редукування з фізичної поверхні Землі;
137
від геодезичних координат (B,L) початкового пункта (пунктів) початкової (вихідної) сторони переходять до плоских прямокутних координат (x,y) цього пункта (пунктів), обчисливши також при цьому значення зближення меридіанів ( );
знаючи геодезичний азимут ( A) вихідної сторони (геодезичної лінії) та зближення меридіанів ( ) в початковому пункті, обчислюють наближено (без врахування поправки
за кривину зображення геодезичної лінії ) дирекційний кут зображення геодезичної лінії на площині
12 ' A12 1 .
Коли дані про геодезичний азимут відсутні, тоді, при відомих геодезичних координатах другого пункту початкової сторони, шляхом розв’язування оберненої геодезичної задачі на еліпсоїді, знаходять його значення або переходять від геодезичних координат цього пункта до його плоских прямокутних координат, а значення дирекційного кута на площині в цьому випадку знаходять за відомою формулою
tg 12 y2 y1 . x2 x1
проводять попереднє (наближене) розв’язування трикутників (для тріангуляційної мережі) та обчислення сферичних надлишків трикутників;
за відомими координатами x та y початкового пункту, наближеним значенням
дирекційного кута 12 ' вихідної сторони, наближеними значеннями довжин сторін мережі розв’язують послідовно прямі геодезичні задачі на площині, в результаті чого знаходять наближені координати x та y всіх пунктів мережі. Для геодезичних мереж
нижчих класів (3 і 4) наближені координати можуть бути знайдені графічно з топографічної карти;
за наближеними координатами обчислюють довжину хорди d вихідної сторони та поправки за кривину зображення геодезичних ліній всіх напрямів. Сума поправок в кути і сферичний надлишок в кожному трикутнику повинна бути рівна нулю;
поправки вводять у виміряні напрями і отримують приведені на площину напрями хорд, після чого обчислюють приведені плоскі кути;
проводять врівноваження мережі і отримують врівноважені значення кутів;
за врівноваженими кутами та довжиною вихідної сторони (хорди) проводять остаточне обчислення довжин всіх сторін мережі;
знаходять точне значення дирекційного кута вихідної сторони
12 A12 1 12
ідирекційні кути всіх сторін мережі за формулою
n 1 n лів 180o ;
за координатами початкового пункта, довжинами d і дирекційними кутами всіх сторін обчислюють остаточні плоскі прямокутні координати x та y всіх пунктів мережі.
Відмітимо, що характерною особливістю супутникового методу визначення координат є забезпечення можливості прив’язки нової мережі до певної системи координат з виконанням відповідного їх перетворення. Більшість програмних комплексів може виконувати перехід від просторових декартових (чи еліпсоїдальних) координат системи WGS-84 в систему прямокутних плоских координат у заданій проекції, в тому числі і для проекції Гаусса-Крюгера.
При використанні проекції Гаусса-Крюгера можливі також випадки, коли
138