Савчук підручник
.pdf
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда
біномінальний ряд з подальшим почленним інтегруванням. Маємо
(1 e2 sin2 |
B) 32 |
1 |
3 |
e2 sin2 B |
15 |
e4 sin4 B |
35 |
e6 |
sin6 B .... |
|||||||
|
8 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
16 |
|
|
|
|
||||||
Замінивши в цьому виразі парні степені синуса |
||||||||||||||||
косинусами кратних дуг згідно відомих рівнянь |
|
|
|
|||||||||||||
sin2 |
B |
1 |
( cos2B 1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin4 |
B |
1 |
(cos4B 4cos2B |
|
6 |
), |
|
|
|
|
|
|||||
8 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin6 |
B |
|
1 |
( cos6B 6cos4B 15cos2B |
20 |
), |
||||||||||
|
32 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
та згрупувавши |
|
постійні члени |
і |
|
позначивши їх |
буквами |
||||||||||
A,B,C,D,..., отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
B2
X a(1 e2 ) (A 2Bcos2B 4Ccos4B 6Dcos6D ...)dB.
B1
Звідси, після почленного інтегрування і підстановки границь, знайдемо остаточно
|
|
A(B |
|
B ) |
|
B |
(sin2B |
|
sin2B ) |
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X a(1 e |
|
) |
|
|
(sin4B2 |
sin4B1 ) |
|
(2.52) |
||||||
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(sin6B2 |
sin6B1 ) ... |
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
73
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда
Коефіцієнти A,B,C,D визначаються із наступних виразів, основним аргументом яких є ексцентриситет еліпсоїда
A 1 3e2 |
45e4 175 e6 |
... |
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
64 |
256 |
|
|
|
||||||||
B |
3 |
e2 |
|
15 |
e4 |
525 |
e6 ... |
|
|
|||||||
4 |
|
|
512 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
. |
(2.53) |
||||||
|
15 |
|
|
|
|
|
105 |
|
|
|
|
|||||
C |
e4 |
|
e6 |
... |
|
|
|
|||||||||
64 |
256 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
|
35 |
|
e6 |
... |
|
|
|
|
|
||||||
512 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
За формулою (2.52) можна знайти довжину дуги земного меридіана будь-якої довжини, взявши при цьому необхідну кількість членів розкладу.
Для обчислення довжини дуги меридіана від екватора (B1 00 ) до будь-якої паралелі з широтою В , формула (2.52) отримає наступний вид
|
2 |
|
B |
|
C |
|
D |
|
X a(1 e |
|
) AB |
|
sin2B |
|
sin4B |
|
sin6B ... (2.54) |
|
2 |
4 |
6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Формулу (2.54) |
можна представити ще в такому виді |
|||||||
X A0B A2 sin2B A4 sin4B A6 sin6B ..., (2.55)
де коефіцієнти A0,A2,A4,A6 визначаються через параметри прийнятого еліпсоїда
74
|
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
A0 |
a(1 e |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
e |
2 |
|
45 |
|
e |
4 |
|
175 |
e |
6 |
|
|
||||||||||
|
) 1 |
4 |
|
|
64 |
|
|
256 |
|
... , |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
15 |
|
|
4 |
|
|
|
525 |
|
6 |
|
|
|
||||||
A2 |
|
|
a(1 e |
|
) |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
... , |
|
||||||||
2 |
|
4 |
|
|
16 |
|
|
512 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.56) |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A4 |
|
|
a(1 e |
|
) |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
... , |
|
|
|
|||||||||
4 |
|
64 |
|
|
256 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
35 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A6 |
|
|
a(1 e |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
|
|
512 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Формулами (2.55) і (2.56) ми будемо користуватися в розділі 4.
Вираз для довжини дуги меридіана при малих відстаннях (довжини сторін або ланки тріангуляції 1 класу) можна отримати на основі застосування формули Тейлора з введенням середнього аргумента.
Позначимо довжини дуг меридіанів від екватора до точок з широтою B1,B2 та Bm через X1, X2 та Xm . Крім того,
B |
|
|
(B2 B1) |
; |
B B |
|
B . Тоді можна написати |
m |
|
2 |
|||||
|
2 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
X2 X1 X f (B2 ) f (B1) f (Bm 2B) f (Bm 2B).(2.57)
Приймаючи різницю широт між двома точками B малою величиною, запишемо ряд за степенями В
|
|
dX |
|
B |
|
|
d |
|
X |
B |
|
|
|
d |
|
X |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
X Xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dB |
m |
2 |
|
|
|
|
dB |
|
|
8 |
|
|
|
|
dB |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|||
|
dX |
|
B |
d |
|
X |
|
B |
|
d |
|
X |
|
B |
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
Xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dB |
m |
2 |
|
dB |
|
|
|
|
8 |
|
|
dB |
|
|
|
|
48 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
||||||
або
B3 ...
48
,
...
75
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда
dX |
|
1 |
|
|
3 |
X |
|
|
3 |
|
|
|||
|
d |
|
|
|
|
|
||||||||
X |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
... |
(2.58) |
|
24 |
dB |
3 |
|
||||||||||
dB m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
||||||
Індекс “m” при коефіцієнтах цього ряду означає, що
di X
вони обчислюються за середнім аргументом Bm . Похідні dBi
(і=1,3), можна знайти на основі першої формули (2.49) послідовним диференціюванням:
dX |
|
Mm , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dB |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d2 X |
|
|
|
3ae2 |
(1 e2 )sin2B |
m |
|
|
3e2M |
m |
sin2B |
m |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m |
|
|
|
2Wm |
|
|
|
|
|
|
2Wm |
|
|
|
|
|
|||
d3 X |
|
|
|
3ae2 |
(1 e2 )cos2B |
m |
|
|
|
5e2 sin2B |
m |
tg2B |
m |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dB |
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
Wm |
|
|
|
|
|
|
|
|
4Wm |
|
|
|
|
||
Тут W визначається формулою (2.21).
Останній вираз з точністю до членів з e2 можна записати
ddB3 X3 m 3Mme2 cos2Bm .
Підставивши значення похідних у (2.58), остаточно отримаємо
X Mm B 81ae2 (1 e2 )cos2Bm B3 ...,(2.59)
де Mm обчислюється через Bm за формулою (2.39).
Другий член в правій частині формули (2.59) на широтах 45-55 складає всього лише 0,002м при B 30'. Тому для малих різниць широт В, дугу меридіана можна розглядати як дугу кола з центральним кутом, який рівний різниці широт її
76
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда
крайніх точок , і описану радіусом меридіанного перерізу, рівному Mm , тобто
X Mm B. |
(2.60) |
B2 |
|
Наближенене значення інтегралу X MdB |
можна |
B1 |
|
обчислити на основі застосування чисельних методів розв'язування означених інтегралів. Серед них: формули трапецій, Сімпсона, Гаусса, Чебишева тощо. В розділі 1
b
приведено два методи обчислення інтегралу f (x)dx: формули
a
(1.10) для методу Сімпсона та (1.11) для методу Гаусса. Застосуємо вказані формули для обчислення довжини дуги
меридіана між точками з широтами B1 та B2 .
В першому випадку розділимо інтервал інтегрування на дві частини з кроком h B2 2 B1 . Для кожної вузлової точки
k(k 0,1,2) з кроком h за аргументом Bk |
B1 |
kh знаходимо |
|||
значення підінтегральної функції Mk . |
Тоді, |
згідно |
(1.10), |
||
отримаємо |
|
|
|
||
X2 X1 |
(B2 B1) |
M1 4Mm M2 . |
(2.61) |
||
|
|||||
6 |
|
|
|
|
|
При застосуванні формули (1.11) виберемо дві вузлові точки (і=2). З врахуванням даних табл.1.1, визначимо аргументи
функції Mi . При i 1 аргументом буде значення широти
B1 (B2 B1 )0.21132487, а при i 2 - B1 (B2 B1 )0.78867513.
Остаточно, формула для обчислення довжини дуги меридіана методом Гаусса, буде
77
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда |
|
|
X2 X1 (B2 |
B)1 0.5M1 0.5M2 . |
(2.62) |
Вказані формули є |
рівноточними і дозволяють |
|
обчислювати довжину дуги меридіана при різниці широт до 50 з похибкою 0.001м. Для розширення широтного діапазону треба ділити інтервал інтегрування на більшу кількість частин (для методу Сімпсона) або вибирати більшу кількість вузлових точок (для методу Гаусса).
Можна поставити обернену задачу: при відомій довжині дуги меридіана X і її середній широті чи X , знайти різницю широт кінцевих точок чи широту B .
На основі (2.60) отримаємо
B (B |
B ) |
X |
. |
(2.63) |
|
||||
2 |
1 |
Mm |
|
|
Для визначення широти B за довжиною дуги меридіана X за основу можна взяти формулу (2.54)
B |
|
X |
|
B |
sin2B |
C |
sin4B |
D |
sin6B ....(2.64) |
||
a(1 |
e2 )A |
|
4A |
|
|||||||
|
|
2A |
|
|
|
6A |
|||||
Обчислення |
широти |
виконують |
методом послідовних |
||||||||
|
B |
X |
|
наближень, приймаючи в першому наближенні |
|
. |
|
a(1 e2 )A |
|||
Коли за основу взяти формулу (2.49), то отримаємо наступні вирази
78
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда
BI |
X |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BII BI |
A2 |
|
sin(2BI ) |
A4 |
|
sin(4BI ), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
BIII BI |
|
|
A2 |
sin(2BII ) |
A4 |
|
sin(4BII ) |
|
A6 |
sin(6BII ), (2.65) |
||||||||||||||
|
A |
A |
|
A |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
o |
|
|
||||
BIV BI |
|
|
A2 |
sin(2BIII ) |
|
A4 |
sin(4BIII ) |
|
A6 |
sin(6BIII ), |
||||||||||||||
|
A |
|
A |
|
A |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
o |
|
||
B BI |
A2 |
sin(2BIV ) |
|
A4 |
|
sin(4BIV ) |
A6 |
sin(6BIV ). |
||||||||||||||||
|
|
A |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
o |
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|||||||
Недоліком формул (2.64) та (2.65) при обчисленні широти є необхідність застосовування процесу наближень. Без наближень дана задача розв’язується методом перетворення (обертання) тригонометричних рядів. Якщо заданий тригонометричний ряд
y x p2 sin2x p4 sin4x p6 sin6x ...,
то наступний ряд
x y q2 sin2y q4 sin4y q6 sin6y ...,
буде оберненим по відношенню до заданого. Коефіцієнти в цих рівняннях пов’язані співвідношеннями
q2 p2 p2 p4 12 p23 ..., q4 p4 p22 ...,
q6 p6 3p2 p4 32 p23 ....
79
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда
Якщо тепер за задану взяти формулу (2.55), то обернена до неї буде визначатися із виразу
B A0X A2 sin(2A0X) A4 sin(4A0X) A6 sin(6A0X), (2.66)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де коефіцієнти A0 , A2 , A4 , A6 |
|
знаходяться із співвідношень |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
A A |
|
|
1 |
|
A |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
A |
2 |
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
A0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
A |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A A |
|
|
|
|
3 |
|
|
A |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
A |
6 |
|
3 |
|
2 4 |
|
|
|
|
|
2 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|||||||||
2.6.2. Обчислення довжини дуги паралелі.
Рівняння довжини дуги паралелі інтегрується зразу в кінцевому виді, оскільки паралель є колом (див. рис. 2.9) з радіусом r N cos B
|
Y |
L2 N cosBL (L |
2 |
L )N cos B lN cos B. |
(2.67) |
||
|
|
L |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
що при |
|
одній і тій же різниці |
довгот |
||
l L2 |
L1 |
дуга |
паралелі |
на |
різних широтах буде |
мати |
|
неоднакову довжину, поскільки радіус паралелі залежить від широти.
80
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда
Обернена задача, тобто знаходження різниці довгот, розв'язується строго на основі формули (2.67).
2.6.3. Обчислення площі сфероїдної трапеції.
Для обчислення площі формулу (2.50), з врахуванням (2.67), представимо в наступному вигляді
B2 |
|
|
P b2 (L2 L1) |
(1 e2 sin2 B) 2 cosBdB. |
(2.68) |
B1 |
|
|
після чого використаємо прийом, аналогічний як при знаходженні інтегралу (2.51), а саме, підінтегральну функцію (2.68) розкладемо в біномінальний ряд:
(1 e2 |
sin2 B) 2 |
(1 2e2 sin2 B 3e4 sin4 |
B 4e6 sin6 |
B ...)cosB . |
||||||||||||||||||||
|
|
Застосовуючи загальну формулу інтегрування |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
sinn |
BcosBdB |
|
|
1 |
|
sinn 1 |
B, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
(sinB2 sinB1 ) |
|
|
e |
|
(sin |
|
B2 |
sin |
|
B1 ) |
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P b |
|
(L2 L1 ) |
|
e |
|
(sin |
|
B2 |
sin |
|
B1) |
|
|
|
|
|
(2.69) |
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
e |
6 (sin |
7 B |
|
sin7 |
B ) ... |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У формулі (2.69) B1,B2 та L1,L2 - геодезичні координати вершин сфероїдної (знімальної) трапеції.
81
Розділ 2. Геометрія земного еліпсоїда
Якщо задана номенклатура знімальної трапеції, площу якої необхідно обчислити, то перш за все необхідно визначити геодезичні координати B і L її вершин. Для цього спочатку з допомогою бланкової номенклатури карти знаходять координати вершин трапеції масштабу 1:1000 000, а потім за стандартною процедурою (методом поділу масштабів) геодезичні координати вершин, заданої певним масштабом, трапеції.
Числовий приклад.
|
Для листа карти M 36 масштабу 1: 1 000 000 |
В2=52 , |
||||||||
В1=48 , різниця |
довгот |
східної |
і |
західної |
рамок |
карти |
||||
L L 60 . |
Тоді, згідно |
формули |
(2.69), |
для |
еліпсоїда |
|||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
M 36 |
|
|
|
Красовського |
площа |
трапеції |
|
дорівнює |
||||||
P 191360км2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Коли |
мова |
йде про |
дійсну |
площу ділянок |
фізичної |
||||
поверхні Землі, то її підраховують не за приведеними формулами, а шляхом безпосереднього вимірювання площ на
топографічних картах чи планах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Для обчислення площі всієї поверхні земного еліпсоїда у |
||||||||||||||
формулі |
(2.69) |
треба |
|
прийняти |
L2 L1 |
2 , |
|||||||||
B |
, |
B |
. Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P 4 b2(1 |
2 |
e2 |
|
|
3 |
e4 |
|
4 |
e6 |
...). |
(2.70) |
||
|
|
|
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
7 |
|
|
|
||||
На основі цієї формули можна знайти радіус еквівалентної кулі Rк , площа якої дорівнює площі еліпсоїда P
4 Rк 2 4 b2 (1 23 e2 53e4 74 e6 ...),
звідки
82