Савчук підручник

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

“забравши” маси, що лежать між і S (задача регуляризації геоїда). Обидві ці задачі не розв’язуються однозначно через те, що не відома густина мас між і S. Тому розв’язок Стокса є наближеним розв’язком задачі визначення форми геоїда це так зване стоксове наближення [11]. Її строгий розв’язок вимагає регуляризації геоїда і редукування виміряних g на геоїд, що неможливо точно здійснити в принципі. Узагальненням теорії Стокса, із якої виключена необхідність регуляризації геоїда і редукування виміряних g, є теорія Молоденського. Щоб уникнути гіпотез і припущень, потрібно вважати потенціал та його похідні заданими тільки в тих місцях, в яких вони безпосередньо вимірюються, тобто на фізичній поверхні Землі. Крайова умова повинна бути задана також на фізичній поверхні Землі, тобто потрібно відмовитися від вивчення рівневої поверхні – геоїда, а перейти до вивчення нерівневої або кусково-рівневої поверхні. В цьому випадку можна побудувати гравітаційне поле в усьому зовнішньому просторі і вивчати форму поверхні, поза якою немає маси, що притягує, тобто фізичної поверхні Землі. Така постановка проблеми та її розв’язок належить М.Молоденському (40-60 р.р. ХХ ст.). В свої роботах він показав, що форма фізичної поверхні Землі і потенціал поза нею, можуть бути визначені, якщо мати в розпоряджені тільки дані спостережень на поверхні Землі, не застосовуючи при цьому модельні представлення внутрішньої будови Землі, переважно земної кори. Таку задачу стали називати задачею Молоденського. Дана задача буде полягати перш за все в тому, щоб отримати рівняння, яке пов’язує фігуру дійсної Землі з такими функціями, числові значення яких отримуються із астрономо-геодезичних та гравіметричних вимірювань на цій поверхні.

При вивченні фігури фізичної поверхні Землі так само, як і при вивченні рівневої фігури Землі методом Стокса, вводиться допоміжна (проміжна відлікова) поверхня – квазігеоїд. Відстань між точками квазігеоїда і еліпсоїдом називають висотою квазігеоїда або аномалією висоти. До її визначення і зводиться, в основному, задача визначення фізичної поверхні Землі або задача Молоденського [11].

272

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

Історично так склалося, що через недостатньо повну гравіметричну вивченність земної поверхні в цілому визначення відступів геоїда від поверхні прийнятого еліпсоїда вивчалося геометричними методами. Роль гравіметричних даних зводилася до їх використання при інтерполюванні тих чи інших величин. Оскільки такі класичні методи не втратили свого значення і в теперішній час, то розглянемо їх суть.

5.3.1. Астрономічне нівелювання

Підставимо знайдені значення часткових похідних у формулу (5.14) і отримаємо нові вирази для складових

Згідно формули (3.47) має місце ортогональне перетворення координат, тобто відрізки

273

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

складають ортогональну систему координат. З використанням (5.24) та (5.26) для часткових похідних отримаємо

Зауважимо, що часткова похідна по висоті приведена нами без доведення (детальніше див. [9]). Тепер формулу (5.25) можна записати у такому вигляді

Поскільки dx' dscosA та dy' dssin A (див. формулу 3.1), то

Проінтегрувавши останній вираз по ходовій лінії між точками Q1 та Q2 на земній поверхні, отримаємо перевищення геоїда між цими точками

Формула (5.27) і є формулою астрономічного нівелювання. У цій формулі перший інтеграл є головним, а другий – малою поправкою за відносний надлишок сили ваги.

Отже, сам процес астрономічного нівелювання полягає в наступному. Вздовж вибраної траси повинні бути визначені астрономічні та геодезичні координати точок, взятих на відстанях 5-10 км, їх наближені висоти (будь-яким методом). Необхідно також провести гравіметричне знімання. Після

274

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

отримання всіх необхідних даних визначають 2 1. Звісно, в

початковій точці астрономічного нівелювання висота геоїда над земним еліпсоїдом повинна бути відома. Отримання різниць

2 1 за формулою (5.27) є досить складною справою,

особливо це стосується обчислення другого члена. Взагалі ця поправка є порівняно незначною: в гірських районах вона може складати до 0.5м, а у рівнинних – до 0.1м. Зважаючи на величину даної поправки, а також на той факт, що вона визначається досить невпевнено, нею часто нехтують. Тому формулу астрономічного нівелювання часто записують у спрощеному варіанті

де A 0.171H sin2B cosA sin A .

Похибка лінійної інтерполяції астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній m A визначається для рівнинних

районів виразом (5.21). Емпірична середня квадратична похибка астрономічного нівелювання (в м) по лінії довжиною L підраховується за формулою

Результати астрономічного нівелювання можуть бути суттєво покращені, якщо замість збільшення кількості астропунктів використати інтерпольовані значення астрономогеодезичних відхилень прямовисних ліній (див. § 5.2.3). Використання інтерпольованих відхилень прямовисних ліній

275

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

зменшує вплив нелінійності зміни астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній, але цілком не виключає його.

5.3.2. Астрономо-гравіметричне нівелювання

Астрономічне нівелювання може бути практично реалізоване при умові, що в кожній точці нівелювання відомі астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній. Це означає, що в кожній з цих точок необхідно виконати астрономічні визначення широти та довготи, а також передати на на ці точки геодезичні координати. Для значних територій це є надзвичайно складна робота. Відхилення прямовисних ліній можуть бути отримані чисто гравіметричним методом з допомогою формул Венінг-Мейнеса (5.19). В силу вказаних там причин цей метод теж є малопридатним для даної задачі. Ще у 1934 р. М. Молоденським був запропонований спосіб визначення висот геоїда, що базувався на можливостях астрономо-геодезичного та гравіметричного методів отримання відхилень прямовисних ліній. При цьому він дозволяв обійти труднощі, що зустрічалися у кожному методі зокрема. Цей спосіб був названий астрономо-гравіметричним нівелюванням. Суть цього способу полягає у тому, що відхилення прямовисної

лінії , між віддаленими пунктами Q1 і Q2 можуть бути

інтерпольовані за матеріалами гравіметричного знімання та астрономо-геодезичними даними. Інтерполювання проводиться згідно методики, що описана у § 5.2.3. Це дає змогу врахувати нелінійність зміни астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній між суміжними астрономічними пунктами.

Якщо витримані умови астрономо-гравіметричного методу, то середня квадратична похибка астрономогравіметричного нівелювання підраховується за формулою

(5.29). Враховуючи, що точність m A 0.5", середня відстань

5.4. Система висот в геодезії

276

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

5.4.1. Поняття висоти

Для того щоб знати фігуру реальної Землі, достатньо знати відстані від вибраного еліпсоїда точок фізичної поверхні Землі – висоти точок земної поверхні H . Тоді можна говорити про точне знання фігури Землі. Якщо геодезичні координати B,L визначають положення проекцій точок на еліпсоїд, то

висоти H визначають відступи точок від еліпсоїда по нормалі до нього. Точність буде залежати від густоти точок, у яких відомі значення висот земної поверхні над еліпсоїдом. Значення висот отримують, як правило, із нівелювань, проте отримані висоти віднесені не до еліпсоїда, а до деякої іншої поверхні - рівневої, за яку приймають рівень моря, тобто поверхні геоїда. Якщо припустити, що нівелірні висоти відраховуються від поверхні, яка визначається рівнянням W const і збігається з рівнем моря, то задача буде полягати у визначенні нівелірних висот точок фізичної поверхні Землі, а також у визначенні висот геоїда від вибраного еліпсоїда. Визначенні таким чином висоти H називають геодезичними висотами.

Практична роль, яку відіграють висоти, полягає в наступному:

висоти точок земної поверхні визначають рельєф, який потрібно відобразити на топографічних картах;

висоти, а особливо точні значення різниць висот окремих точок поверхні Землі, необхідні для проектування і будівництва різноманітних інженерних споруд;

знання висот необхідне для обчислення редукцій у безпосередньо виміряні на земній поверхні величини при переході на поверхню еліпсоїда.

Висота виміряна

Якщо прийняти, що початкова точка нівелірного ходу збігається з нуль-пунктом нівелювань O, то тоді перевищення hM точки М на фізичній поверхні Землі над нуль-пунктом О

277

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

нівелювання, одержане шляхом інтегрування виміряних між точками О і М елементарних перевищень dh (рис.5.2)

Виміряне перевищення складається з відрізків прямовисних ліній між рівневими поверхнями, які перетинають земну поверхню в точках стояння нівелірних рейок вздовж лінії нівелювання. Рівневі поверхні (див. рис. 5.2), що відображають загальний еліпсоїдний вигляд Землі та місцеві нерівномірності розподілу мас всередині земної кори, не паралельні між собою. Через непаралельність рівневих поверхонь виміряні висоти, визначені за результатами нівелювання різними трасами (наприклад ODM і ОСМ), є неоднозначні. Це означає, що

hвим. залежить від шляху прокладання лінії нівелювання.

Рис.5.2

Різниці в результатах нівелювання через різні шляхи проведення нівелювання в рівнинних районах можуть досягати сантиметрів, а у гірських районах – метрів. Через цю причину у замкнутих нівелірних ходах, вільних від всіх похибок вимірювань, будуть нев’язки. В подальшому цю нев’язку будемо називати теоретичною нев’язкою.

278

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

Вказана вище неоднозначність у визначені виміряної висоти, тобто залежність значення висоти точки від шляху нівелювання, недопустима в точних нівелювальних роботах на значній території.

5.4.1. Ортометричні висоти

Різниця потенцілів сили ваги між точками, що знаходяться на різних рівневих поверхнях, буде визначатися

формулою (5.2), а її числове значення CM (WM WO) у

поточній точці М і у нуль-пункті нівелювання О (див. рис.5.2), взята з оберненим знаком називається геопотенціальною величиною. Якщо між точками О і М виконано геометричне нівелювання та виміряні значення сили ваги g в точках стояння рейок, то геопотенціальна величина СМ точки М відносно точки О знайдеться за формулою

Геопотенціальна величина CM не залежить від шляху

нівелювання. Безпосередньо прирости геопотенціальних величин можуть використовуватися при врівноваженні полігонів геометричного нівелювання, оскільки теоретична сума цих приростів в замкнутому полігоні дорівнює нулю.

Відрізок CM (див. рис. 5.2) представляє відстань від нуль-пункта висот – геоїда до фізичної поверхні Землі, яку називають ортометричною висотою точки M і позначають

H g . Отже, ортометрична висота – це висота точки фізичної поверхні Землі над поверхнею геоїда, відкладена по силових лініях поля сили ваги (чи по прямовисних лініях), що проходять через цю точку. Числове значення ортометричної висоти Hg одержують діленням геопотенціальної величини СМ на середнє інтегральне (можна брати середнє) значення сили ваги

279

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

gm вздовж силової лінії (чи відрізка прямовисної лінії) СМ, тобто

Для точок одної і тої ж рівневої поверхні ортометричні висоти будуть різними настільки, наскільки різними є значення

gm в різних точках одної і тої ж рівневої поверхні. Проте

отримати ортометричну висоту точки за формулою (5.32) є проблематичним. Якщо значення інтегралу можна знайти порівняно легко (потрібно виміряти перевищення та знати прискорення сили ваги вздовж нівелірної траси), то величину

gm визначити точно неможливо. Для її визначення, необхідно знати густину мас, що лежать між фізичною поверхнею Землі і геоїдом в кожній точці силової лінії. Величина gm може бути

розрахована при певних модельних припущеннях розподілу сили ваги або густини в земній корі.

В результаті перетвореня формулу (5.32), опускаючи індекси для конкретної точки, приводять до наступного вигляду

H g OMdh 1m OM( m)dh 1m OM gdh ggmm OMdh. (5.33)

В цьому рівнянні перший інтеграл дає виміряну висоту, другий – поправку у виміряну висоту за непаралельність рівневих поверхонь нормального потенціалу, третій та четвертий дають поправки, що обумовлені аномаліями сили ваги.

При застосуванні ортометричної системи висот геодезична висота точки M (див. рис. 5.2) визначиться як сума її складових

HM HMg M ,

280

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

де M -висота геоїда над поверхнею еліпсоїда.

5.4.3. Нормальні висоти

Ортометричні висоти мають суттєвий недолік принципового характеру – вони не можуть бути обчислені точно, оскільки при цьому, як вже вище зазначалося, необхідно задаватися тією чи іншою моделлю розподілу мас в тілі Землі. Від цього недоліку ортометричних висот вільні нормальні висоти, які ввів Молоденський при розробці загальної теорії фігури Землі [11].

Нормальною висотою Н М точки М фізичної поверхні Землі (рис.5.3) називається відрізок М0М2 силової лінії, що проходить через точку M в полі нормального потенціалу сили ваги, між рівневими поверхнями U U0 (рівневий еліпсоїд) і

UM2 U0 CM .

Рис. 5.3

Числове значення нормальної висоти одержують за формулою

281