Добавил:

Justeeeek100500 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

Геодезия

Файл:

Лекції для екзамену.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

3.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Знаки перевищень hсері будуть оберненими до виміряних, оскільки визначають висоту H A точки A , а не висоти Hi . За кінцеву висоту точки A беруть її середнє вагове значення

									НА =	НА1 Р1 + НА2 Р2 + НА3 Р3	,	(9)
									НА =		,	(9)
	1				1			1		Р1 + Р2 + Р3
де Р =	1	; Р	2	=	1	; Р	=	1	.
де Р =		; Р		=		; Р	=		.
1	S1				3			S3
	S1				S2			S3

12.Вимірювання зенітних відстаней. Вертикальна рефракція

Ваналітичних мережах, тахеометричному зніманні та прокладанні ходів нівелювання для визначення перевищень вимірюють кути нахилу ν . Залежно від оцифрування вертикального круга чи установлення відповідної опції у електронному тахеометрі,

вимірюють або кути нахилу ν , або зенітні кути Z . Хоча Z – це кути, їх часто називають ще й зенітними відстанями. Залежність між кутами нахилу ν та зенітними кутами Z показана на рис. 3.

Нехай маємо нахилену пряму AB , початкова точка якої A збігається з початком системи прямокутних координат ZAY . Площина ZAY – прямовисна. Як видно з рис. 3

або		Z = 90o −ν ,		(10)
або		ν = 90o −Z .		(11)
		ν = 90o −Z .		(11)
Як відомо, для вимірювання кутів нахилу ν вводять поняття “місце нуля”				(М0), а
зенітних кутів (відстаней) – “місце зеніту” (MZ).
Z		B
Z		B
		S
	Z	ν
A			Y
A			Y

Рис. 3. Залежність між кутами нахилу ν та зенітними кутами Z .

Місцем нуля називають відлік вертикального круга, коли візирна вісь зорової труби і вісь рівня алідади вертикального круга – горизонтальні (для теодолітів з рівнем при алідаді вертикального круга).

Місцем нуля називають відлік вертикального круга, коли візирна вісь зорової труби горизонтальна, а вертикальна вісь обертання теодоліта – прямовисна (для теодолітів з компенсатором відліків вертикального круга).

Місцем зеніту називають відлік вертикального круга, коли візирна вісь зорової труби прямовисна і спрямована в зеніт, а вісь рівня алідади вертикального круга – горизонтальна

(для теодолітів з рівнем при алідаді вертикального круга).

Місцем зеніту називають відлік вертикального круга, коли візирна вісь зорової труби (спрямована в зеніт) і вертикальна вісь обертання теодоліта – прямовисні (для теодолітів з компенсатором відліків вертикального круга).

Зміна М0 (МZ) може бути викликана зміною положення осі рівня алідади вертикального круга, зміщенням сітки штрихів у вертикальній площині, порушенням балансування маятника компенсатора.

Значення М0 і кути нахилу обчислюють за формулами:
М0 =	КЛ + КП ; ν = КЛ−М0	; ν = М0 − КП ; ν =	КЛ − КП .	(12)
	2		2
		6

Цими формулами користуються для всіх типів теодолітів з умовою: до відліків менших 90º додають 360º, а до відліків більших 90º і менших 180º додають 180º.

Значення МZ і зенітні відстані обчислюють за формулами:

МZ =	КЛ + КП ± 360o	; z = КЛ − МZ ; z = МZ − КП − 360				o	КЛ − КП + 360o
МZ =	2	; z = КЛ − МZ ; z = МZ − КП − 360				; z =	2
	2						2
	Для зенітних відстаней формула (6) виглядатиме
		h = S ctg Z + i −l + f ,
де S – горизонтальна проєкція віддалі, i – висота тахеометра; l – висота візування.
	Як і у формулі (6),	f – поправка за кривину Землі kЗ та рефракцію r .
		f = kЗ −r .
			1	S 2
		kЗ =	2		.
		kЗ =			.
				RЗ

(13)

(14)

(15)

(16)

r =	1 S2		.	(17)
r =	2	R	.	(17)
	2	R
		c
У формулі (16) RЗ – радіус Землі рівний 6381 км. Вплив кривини Землі kЗ					на
перевищення визначають достатньо точно за формулою (16).
У формулі (17) R С – радіус кривої розповсюдження світла.				У неоднорідній	за

густиною атмосфері світло від точки B (де встановлена візирна ціль) до точки A (де встановлено тахеометр) розповсюджується не прямолінійно, як це показано на рис. 3, а по деякій складній кривій, як це показано на рис. 4. У результаті, візирний промінь спрямовують по дотичній AC до кривої AB , щоби бачити точку B .

Z			С
			С
			r
ZB			B
	δ		B
ZT	δ	νB
ZT	S	νB	h
	S		h
A	νT		Y
A			Y
	S0		N

Рис. 4. Спотворення вертикальною рефракцією виміряних вертикальних кутів.

Спостерігач вважає, що труба спрямована по хорді AB = S . Насправді труба спрямована по дотичній AC . Тому вимірюють не теоретичні кути νT та ZТ , а спотворені

рефракцією кути νB та ZB . Кут δ називають кутом вертикальної рефракції. Це кут між

дотичною AC та хордою AB . Куту δ відповідає лінійна величина рефракції r . Саме на величину r спотворюється правильне перевищення h між точками A та B .

Врахування впливу рефракції на перевищення є складним, оскільки крива розповсюдження світла може бути обернена опуклістю догори або вниз.

Для визначення δ або r необхідно знати густину повітря в багатьох точках на шляху проходження променя. А оскільки світло розповсюджується досить часто високо над поверхнею землі, то це майже не можливо. Дослідження цього питання виконують майже 400 років.

Спочатку дослідники великі надії покладали на визначення єдиного коефіцієнта рефракції. Під коефіцієнтом рефракції k розуміють відношення

k =

RЗ

(18)

Звідси

RЗ

Отже

S 2

k .

(19)

r =

RЗ

Доведено, що про єдиний коефіцієнт рефракції протягом доби не може бути й мови. Тільки під час нормальної стратифікації температури коефіцієнт k можна вважати

постійним і рівним kн = 0,14 – 0.15.

Нормальна стратифікація настає вранці, приблизно через годину після сходу Сонця й під час ясної погоди продовжується біля півгодини. Ввечері нормальна стратифікація настає десь за 1,5 години до заходу Сонця й також продовжується півгодини. Отже, нормальна стратифікація під час антициклонної, ясної погоди продовжується всього біля 1 години на добу. Під час похмурої погоди ці періоди можуть розширитися й сумарно складатимуть не більше 3-3,5 години. Нормальна стратифікація повітря характеризується нормальними вертикальними ґрадієнтами температури. Під час зміни висоти на 100 м температура змінюється майже на 1°С. Спостерігач ці періоди може визначати за майже спокійними зображеннями візирної цілі.

У ці періоди діє нормальна рефракція, яку досить точно можна обчислити за температурою і тиском за формулою

δ	н	= 0,198	Р	S .	(20)
			Т2

Тиск P та температуру T досить знати наближено. Можна прийняти P = 986 мбар

(740 мм рт.ст.); T = 288°К (t = 15°С). Тоді

δн = 0,23 10−2 S (м) .					(21)
Запишемо ще раз формулу (15)
f(м)		= kЗ −rн .			(22)
З рис. 4
	rн	=	δн′′ ,
	S
			ρ′′
тоді
	r	=	δн′′ S	.	(23)

	н		ρ′′

Враховуючи (21), запишемо

r	=	0,23	10−2	S 2 м	м.	(24)
r	=				м.	(24)
н			ρ′′
			ρ′′

Вдень, між ранковими й вечірніми періодами нормальної стратифікації повітря, установлюється термічна турбулентність атмосфери, значні коливання зображень візирної цілі та аномальна рефракція.

В наш час доведена теорема: максимальна амплітуда коливань зображень візирної цілі за час 1-2 секунди дорівнює середній аномальній рефракції за той самий проміжок часу.

Таким чином, якщо виміряти розмах максимальних коливань зображень (частота цих коливань 1-0,5 Гц), візуючи на верхнє та нижнє зображення візирної цілі, що коливається, і супроводжувати наведення труби відліками, то різниця цих відліків дає розмах (подвійну амплітуду) коливань σ′′. Тоді

δан.сер =			σ′′	.		(25)
			max
′′
			2			аномальну

Якщо кутова рефракція δан.сер відома, поправку в перевищення за
′′
рефракцію обчислюють за формулою		−5	′′
rан = +0,4848	10				S .	(26)
			δан.сер.

Зауважимо, що протягом нічного періоду доби, а також в години після сходу Сонця й години до його заходу, зазвичай, діє інверсія температури, збільшується температура з висотою. У ці періоди, під час відсутності вітру, коливання зображень також відсутні. Під час вітру (динамічна турбулентність) діють коливання зображень, але вони зовсім інші, ніж під час термічної турбулентності: коливання “ліниві”, поривчасті, з малими частотами. Досвідчений спостерігач легко відрізнить ці коливання від термічних.

Під час інверсії існує значна додатна аномальна рефракція, яка складається (додається) з нормальною рефракцією (світлова крива обернена опуклістю догори). Для інверсійного періоду поки що не створені кардинальні методи врахування рефракції. Для визначення рефракції в нічні години необхідно виконувати, наприклад, ґрадієнтні вимірювання температури. Тому ми не рекомендуємо виконувати триґонометричне нівелювання під час температурних інверсій.

Зауважимо, що з появою приладів зарядового зв’язку (ПЗЗ), які вбудовані в деякі електронні тахеометри, нівеліри, можуть бути створені методи автоматизованого врахування вертикальної рефракції.

13. Одностороннє триґонометричне нівелювання

Нехай потрібно визначити перевищення між точками А і В (рис. 5). Встановлюємо в точці А теодоліт (електронний тахеометр ЕТ), а в точці В – рейку (відбивач). Вимірюємо нахилену віддаль між точками А і В, і обчислюємо горизонтальну проєкцію АО = S . Вимірюємо висотутеодоліта АJ = і.

Нехай візирну трубу спрямовано на рейку (відбивач) BL' у точку L, яку називають точкою візування. Її висота над точкою В дорівнює v.

Як відомо, промінь від точки L до електронного тахеометра, внаслідок рефракції, йде по кривій LJ і точку L ми будемо бачити по дотичній в точці L'. І тоді спрямовуючи трубу на точку L вимірюють вертикальний кут нахилу ν, а не ν '. Відрізок LL' = r, є лінійним

елементом впливу вертикальної рефракції на визначення перевищення.
Із рис.5 запишемо
hAB + v + r = В'F+ FE + EL',	(1)
де В'F = АJ = i, а FE = p – поправка у перевищення за кривину Землі.
Із урахуванням цих позначень формулу (1) запишемо

hAB = EL' + i -v + p - r.

(2)

Із трикутника JEL' запишемо

EL' = s tg ν.

(3)

νν

Рис. 5. Одностороннє тригонометричненівелювання.
Кут у вершиніЕ не є прямим, але відрізняється від 900 для s = 2 км лише на 1'.
Підставимо (3) у (2)
hAB = s tg ν + i - v + p –r,	(4)
тут S - горизонтальна віддаль.
Якщо вимірюють нахилену віддаль, то
hAB = D sin ν + i - v + p –r,	(5)
або	(6)
hAB = D cos Z + i - v + p –r,	(6)

якщо виміряно зенітну відстань Z + ν = 900 .

Фактично, через це що відбивач зцентровано по прямовисній лінії, то вона неперпендикулярна до візирного променя, і перший член у правій частині рівняння дорівнює

h =	D cos Z	,
	cosγ	(7)
		(7)
де кут γ, центральний кут між прямовисними лініями теодоліта і відбивача. Для D = 3 км, γ =
97″. І для Z = 80°, перший член	формули (6) зміниться на 0.06 мм. Зазвичай,

триґонометричне нівелювання виконують на віддалі до 600 м, тому формулу (6) можна залишити без змін.

Як відомо, поправку у перевищення за кривину Землі обчислюють

		p =	D2	,
		p =	2R	,	(8)
де R – радіус Землі.			2R		(8)
де R – радіус Землі.
Отже формулу одностороннього триґонометричного нівелювання з урахуванням
кривини Землі можна записати
h = D cos Z +	D2	−r	+i −ν.		(9)
h = D cos Z +	2R	−r	+i −ν.		(9)
	2R

У формулі (9) D – нахилена віддаль між точками визначення перевищення, Z – зенітна відстань між горизонтальною віссю кутомірного приладу і точкою на яку спрямовано центр сітки зорової труби, r – поправка у перевищення за рефракцію, i – висота горизонтальної осі кутомірного приладу над пунктом, v – висота точки на яку спрямовано зорову трубу над пунктом.

Різницю вертикальних кутів

			′
називають кутом рефракції, і, як відомо він є кутом між дотичною (видимим напрямом) і
	=			−
хордою та дорівнює половині центрального кута який досі описаний.
δ	=		D		,
δ	=	2R			,
		2R			(10)
				св	(10)

де RСВ – радіус світлової кривої по якій розповсюджується зображення марки-відбивача. Кут рефракції, зазвичай виражають через коефіцієнт рефракції. Його означують як відношення

k =

RЗ

(11)

Підставивши δ із (12) формулу =

Rсв

Із рис. 5 поправка за рефракцію

, і

(δ – у радіанах)

(12)

(10) отримаємо

r =В ізD2

r =

(13)

= kD2 .

Підставимо у (13) значення

(11) і отримаємо поправку за рефракцію

2RЗ

Тепер формулу (9) запишемо

(14)

h = D cos Z

−

kD2

+i −ν.

І остаточно

h = D cos Z +

1−k

2 +i −ν.

(15)

Для значних кутів нахилу формула одностороннього триґонометричного нівелювання

така

h = D cos Z

sin2 Z −k

Z +i −ν.

(16)

R ctg

2R sin2 Z

14. Визначення коефіцієнта вертикальної рефракції.

Із рис. 4 кут вертикальної рефракції в ґрадусній мірі буде

δ =

Підставивши із (14) значення r

D2 k

D k

Звідси

2RЗ ×D

2RЗ

k =δ

Із рис.4

ρ D

2RЗ

δ = (Z

−Z

) і k

= (Z

−Z

Вим

)

(17)

ρ S

Отже коефіцієнт вертикальної рефракції можна знайти за формулою (17). Таким

методом користуються тоді, коли вважають що

k у всіх напрямках з однієї точки однаковий.

Тоді знаючи точні висоти в одному напрямі можна знайти ZТ і ctgZТ =

−H

P −

за (17)

знайти k та використовувати його для інших напрямів. Такий метод називають методом рефракційного базису.

Якщо k неоднакове у всіх напрямах, то приймаючи обчислений за (17) коефіцієнт за еталонний kет можна знайти коефіцієнт у інших напрямах ki

ki = 0.15 +(kет −0.15)hекв.ст ,

hеквів.s

де hекв – еквівалентна висота вздовж вимірюваного напряму. Еквівалентна висота це

середньоінтеґральна висота променя над підстильною поверхнею. Часто достатньо її обчислити як середню

h			d 2		або		h	h	+h +...+h
	екв	=						≈ 0	1	n
		=		dl				≈ 0
			o	dl			екв		n
			2∫d l	h
				h
Якщо відома температура і тиск в точці вимірювань в також ґрадієнт температури
висотний в точці вимірювань, то						P			dT
			k = 668.7			P	0.0342 +		dT

						T2
						T2			dh
Р – тиск в мм рт.ст; Т – температура за шкалою Кельвіна; dT										- вертикальний ґрадієнт
									dh

температури dT =ТВ −TH .

Наприклад:

Р = 742мм.рт.ст; Т =T 0+ t°C = 2660К; k = 668.72662742 (0.00342 + 0.05)= 0.59

dT	=	0.50		= 0.05 0	м ; T0 = 273.150К
dh		10	м

15. Двостороннє триґонометричне нівелювання

М1 vВ

		DAB
	DBAA	ZВА
	DBAA	TВ
	М2	TВ
	М2	iВ
		iВ
		В
	ZАВ
	dAB	hAB

TА
iА	Рівнева поверхня точки A
	Рівнева поверхня точки A
	А
	sAB
	Еліпсоїд

Рис.6. Двостороннє триґонометричне нівелювання

Двостороннє триґонометричне нівелювання поділяють на одночасне та неодночасне за часом спостережень.

Для виконання двостороннього триґонометричного нівелювання можна виконати одностороннє з початку і кінця спостережуваної лінії. В результаті спостережень отримаємо два перевищення, які запишемо у систему рівнянь:

hAB = DAB cos Z AB +

2 sin2

1−k

+iA −vB

(21)

2 sin2

−k

= D

cos Z

−v

B +i

Виконавши подвійні вимірювання можемо знайти осереднене значення перевищення, так як перевищення по лінії нівелювання мають бути однакові але протилежні за знаком, то запишемо:

hABдв.

= hAB −hBA =

DAB cos Z AB − DBA cos ZBA +

1−k

2 Z

1−k

−v

−i

(22)

2 sin2 Z

2 sin

A −

B +

A .

За умови використання спостережень для незмінних висот підставок для приладів і

відбивачів, формулу (22) можна спростити:

AB (cos ZAB

AB2 sin2 ZAB (kB − kA )

hABäâ. =

−cos ZBA )+

(23)

де

AB =

DAB + DBA

- середнє із значень вимірювання ліній прямо і зворотно.

За однакових умов спостережень: підстильної поверхні та еквівалентних висот проходження променя kB = kA , тоді

hABäâ. =

(cos ZAB −cos ZBA )

(24)

Оцінку точності двостороннього триґонометричного нівелювання запропоновано

виконувати за спрощеною формулою:

−k ) ,

(25)

äâ.òð .í³â .

2ρ"

де m(kAB −kBA ) – с.к.п. визначення

різниці

коефіцієнтів

вертикальної рефракції по

лінії

спостереження.

Аналіз численних експериментальних даних визначених коефіцієнтів вертикальної рефракції на різних об’єктах дозволяє констатувати, що різниці коефіцієнтів вертикальної рефракції між спостережуваними напрямами у періоди встановленої нестійкої стратифікації (з 9h до 17h ) на порядок менші за величини самих значень коефіцієнтів і не перевищують

kAB −kBA ≤ 0.1 . Тобто, неврахування різниці коефіцієнтів вертикальної рефракції із двосторонніх одночасних спостережень не перевищить m(k AB −kBA ) ≤ 0.1 за умови встановлення однотипності атмосферної стратифікації по лінії спостереження.

14. Двостороннє триґонометричне нівелювання без врахування висот приладу та візирних цілей

На сьогодні, основними похибками геометричного нівелювання є похибки пов’язані з рейками та вертикальна рефракція, які складно враховувати. Розглянемо спосіб заміни геометричного нівелювання IV та III класів, двостороннім триґонометричним нівелювання без врахування висот приладу та візирних цілей, електронними топографічними тахеометрами, в якому значно зменшуються похибки визначення перевищень, спричинені рейками та рефракцією в геометричному нівелюванні. Триґонометричним нівелюванням можна значно скоротити час на виконання робіт для прокладання ходів IV і III класів.

	Послідовність виконання робіт:
	так, щоб їхні висоти були у	1АВпрямо	установлюємо на пункти тички з відбивачами
•	для визначення перевищення		установлюємо на пункти тички з відбивачами

межах 1 мм рівні (рис. 7);

•тахеометр встановлюємо над точкою 1, що віддалена від пункту А приблизно на 10 м;

•в меню тахеометра вибираємо опцію – враховувати кривину Землі і рефракцію. Можна було б враховувати тільки кривину Землі, але окремо такої опції у всіх топографічних тахеометрах немає;

•вимірюємо віддаль1(для визначення віддалі від приладу до відбивачів та довжин ходів) та перевищення (між горизонтальною віссю обертання тахеометра2та центром відбивача), наприклад, з КЛ на пункт А, а потім віддаль та перевищення на пункт В. Далі переводимо трубу через зеніт і виконуємо такі ж вимірювання з КП. Такі дії

становлять один прийом, всього виконуємо для IV класу два прийоми, для III – чотири

– шість залежно від віддалей між сусідніми точками нівелювання.



		В
	2	В

А	1
	Рис.7. Схема вимірювання перевищень по лінії АВ
цим похибки за різну висоту ( 2АВ прямо		змінюємо місцями тички з відбивачами, уникаючи
• для визначення перевищення

якщо вона є) тичок;

• тахеометр встановлюємо над точкою 2 (рис. 7), що віддалена від пункту В приблизно на

10 м;	3
• аналогічно вимірюємо віддаль та перевищення		на пункт А, а потім віддаль та
перевищення на пункт В.

Обґрунтуємо кількість прийомів вимірювань вертикальних кутів, залежно від класу

нівелювання.

IV клас. Допустима довжина ходу 20 км, а нев’язка цього ходу – 20√20 = 89 мм. С.к.п. у найслабшій точці після зрівноваження 89 / 2 ≈ 45 мм.

Для триґонометричного нівелювання середні віддалі між відбивачами на станції 500 м. Тобто дві станції на один кілометр. На 20 км – 40 станцій. Отже на одній станції с.к.п. перевищення – 45/√40 = 7.1 мм.

Середня квадратична приладова похибка вимірювання вертикального кута, топографічними ЕТ ≈ 6″. Для двох прийомів – 6/√2 = 4,2″. Похибка визначення перевищення через це 500×tg 4,2″ = 10,2 мм. Для середнього перевищення із двох станцій

– 10,2/√2 =7,2мм.

Нехай різниця між коефіцієнтами вертикальної рефракції з 1-ї і 2-ї станцій, для 500 м,

– 0,4, що для паралельних променів є значною величиною. Реальна різниця коефіцієнтів

сягатиме не	більше	0,2.	Розходження між прямим	і	зворотним перевищенням
А похибка	2 =	2×6380	= 7,8 мм
дорівнюватиме	2	0,4×0,52	.
	визначення одного перевищення як середнє із прямого і зворотного
10.6 × √20 =47 мм, а після зрівноваження 47/ 2= 23.5 7,2				+ 7.8 = 10,6 мм
дорівнюватиме 7,8 / √2. Для двох 500 метрових віддалей (на 1 км) – 7,8/ √2 × √2 =7.8мм.
Разом обидві похибки на 1 км, дорівнюватимутьмм, що2					значно2		На 20 км –
Разом обидві похибки на 1 км, дорівнюватимутьмм, що2					значно2	менше допуску.

геометричного нівелювання 45 мм. Тому, у складних випадках з вибором місць установлення приладу і відбивачів, віддаль між сусідніми точками (відбивачами) нівелювання можна брати і 600 м.

IІІ клас. Довжина ходу 60 км. Допустима нев’язка ходу – 10√60 = 77 мм. Розмірковуючи аналогічно до досі сказаного, приймемо довжину ходу на одній

станції 500 м. Кількість прийомів вимірювання вертикального кута – 6.

Якщо віддаль між точками нівелювання не перевищує 400 м, то достатньо виконувати

чотири прийоми вимірювань вертикальних кутів.
Опрацьовуємо виміри в такій послідовності:
1.	Обчислюємо середні значення довжин і перевищень (тахеометр – відбивач) із
усіх прийомів		1, 2, 3, 4	.	1АВ прямо		+ 2
2.		1, 2, 3, 4		1АВ прямо			(26)
			1АВ прямо = −1
	Обчислюємо перевищення				, отримане з прямого ходуза формулою
				15

3.	Для	визначення		перевищення із 2-ої станції	2АВ прямо , користуємось
формулою:
	Порівнюємо			2АВ прямо = −3 + 4		1АВ прямо і 2АВпрямо ,
4.			перевищення, отримані із двох станцій –			(27)

якщо висоти відбивачів були установлені на одній висоті з точністю 1 мм.

Подамо у таблиці 1 допуски на розходження між прямим і зворотним перевищеннями, яке враховує похибку вимірювання вертикальних кутів і рефракцію для 2-х прийомів вимірювань вертикальних кутів у IVкласі нівелювання.

Таблиця 1 Допустимі розходження між прямими і зворотними перевищеннями

		Віддаль, м
Клас	100	200	300	400	500
Клас	Δk	Δk	Δk	Δk	Δk
	Δk	Δk	Δk	Δk	Δk
	0,1	0,2	0,2	0,3	0,4
IV, мм	2	4	6	8	16
III, мм	1,6	3,4	5,1	7,6	10

5.						значення
	Якщо різниці	перевищень в			допусках, то обчислюємо середнє
перевищення АВ, як середнє із					+
				перевищень1АВ прямо 2АВ,прямоотриманих з 1-ої і 2-ої станцій:		(28)
АВ = − 1+22− 3+4 = −Тах(1)− 1+ 1+Тах(2)+ 1−22−Тах(3)−2+ 2+Тах(4)+ 2−1 =						(29)
Розпишемо поелементно		формулу(28).			2
		АВ	=
− Тах(1)+Тах(2)− Тах(3)+Тах(4)

де hТах(1)	2= h1 – перевищення,		виміряне		тахеометром; решту аналогічно. i1	– висота

тахеометра на першій станції, i2 – висота тахеометра на другій станції. v1 – висота першого відбивача, v2 – висота другого відбивача.

Як бачимо із формули ( 29) висоти приладів і висоти візирних пристосувань у загальному перевищенні вилучаються, і фактично отримуємо формулу (28). Але для польового контролю висоти відбивачів мають бути у межах 1 мм однакові. Це ще раз підтверджує, що похибки пов’язані із рейками (візирними пристосуваннями) у середньому перевищенні вилучаються.

15. Розрахунок точності триґонометричного нівелювання

Запишемо формулу одностороннього триґонометричного нівелювання

h = S ctgZ +	1−k		S 2	+i −ν,
	2R sin2	Z

і продиференціюємо її по S, Z, k, R , і перейдемо до с.к.п. відкидуючи члени які несуттєво впливають на точність обчислень

mh2 S = ctg 2 Z mS2 +... +

m2		=			S2	m2		+...
							Z

h Z					sin4 Z ρ2
m2	=				S4		m2
				4R sin4		Z
h k								k
m2	=				S 4	m2 R
			4sin4 Z			R4
h R

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

mi = mv = ml

(35)

Додавши всі похибки, отримаємо

= ctg2Z m2

+ 2m2

Z +

sin4

Z ρ2

4R2 sin4 Z

4sin4 ZR4

(36)

Похибка у визначенні радіуса Землі на 15 км викликає похибку у визначенні

перевищення на 1 км mh l = 0.25мм. Похибка у визначенні віддалі mS =10 мм, викличе похибку у визначенні перевищення для Z = 1000 і S = 600 м; h = 100 м; mh S = 2.0 мм

mh = f2h = 2002 .6 = 20 20.6 ≈8 мм.

Тепер залежно від того, яку точність перевищення ми хочемо отримати можемо порахувати яка частина цієї точності припаде на mh Z i mh k , а звідси згідно ф-л (31) і (32)

знайти mZ і mk