1.4.8. Гипергеометрическое распределение
Определение. Пусть имеется совокупность N элементов, среди которых ND элементов одного типа (дефектные) и N-ND элементов другого типа (годные). Предположим, что из это совокупности наудачу, совершенно случайно, выбирается группа из n элементов. Число Х элементов первого типа, содержащихся в указанной выборке из n элементов, является случайным.
Распределение вероятностей случайной величины Х имеет вид
(1.99)
(z – целое число) и называется гипергеометрическим распределением.
Соответствующие математическое ожидание и дисперсия суть
МХ=ND n/N, (1.100)
DX=σ2=npq
.
(1.101)
При N→∞ и ND/N~q имеет место «биномиальное приближение»:
.
(1.102)
1.5. Теория выборочного контроля
1.5.1. Принцип практической уверенности. Формулировка закона больших чисел
Известно, что если событие имеет очень малую вероятность (отличную от нуля), то в единичном испытании это событие может наступить и не наступить. На практике считается, что событие, имеющее малую вероятность, не наступает, и поэтому им пренебрегаем.
При «практически достоверных» событиях, вероятность которых близка к единице, также встает вопрос о степени такой близости.
Вероятность, которой можно пренебречь в данном исследовании, называется уровнем значимости.
Итак, сформируем принцип практической уверенности: если какое-нибудь событие имеет малую вероятность (например, р<0,01), то при единичном испытании модно практически считать, что это событие не произойдет, а если событие имеет вероятность близкую к единице (р>0,99), то практически при единичном испытании модно считать, что это событие произойдет наверняка.
Таким образом, исследователя всегда должен интересовать вопрос, в каком случае можно гарантировать, что вероятность события будет как угодно близка к 0 или как угодно близка к 1.
Математические законы теории вероятностей получены абстрагированием реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям.
Основной закономерностью массовых случайных явлений является свойство устойчивости средних результатов.
В широком смысле слова под «законом больших чисел» понимают известное с глубокой древности свойства устойчивости массовых случайных явлений. Это свойств о состоит в том, что средний результат действия большого числа случайных явлений практически перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью. Оно вытекает из того, что индивидуальные особенности отдельных случайных явлений, их отклонения от среднего результата в массе своей взаимно погашаются, выравниваются.
В узком смысле слова под «законом больших чисел» понимают совокупность теорем, в которых устанавливается факт приближения средних характеристик к некоторым постоянным величинам в результате большого числа наблюдений.
Различные формы закона больших чисел (ЗБЧ) дают возможность уверенно оперировать со случайными величинами (СВ), осуществлять научные прогнозы случайных явлений и оценивать точность этих прогнозов.