2.3.4. Одноступенчатые планы контроля

Поскольку при одноступенчатом контроле решение принимают по результатам проверки только одной выборки или пробы, эта выборка должна хорошо отражать свойства всей партии и для этого быть случайной. Случайную выборку получают отбором единиц продукции из различных частей партии или перемешиванием единиц продукции в партии при отборе.

Планом одноступенчатого контроля устанавливается объем выборки n из партии объемом N и приемочное число с. Партия принимается, если количество дефектных единиц продукции в выборке Х≤с; при Х>c партия бракуется.

При одноступенчатом контроле партия принимается, если наступает одно из несовместных событий: Х=0, Х=1, …, Х=с. Поэтому вероятность приемки партии равна сумме вероятностей этих событий:

. (2.10)

Слагаемые в формуле (2.1.10) зависят от вида распределения случайной величины Х – количества дефектных единиц продукции в выборке из n единиц продукции.

Для малых партий, когда объем выборки превышает 10…25 % партии (наиболее сложный случай), можно использовать гипергеометрическое распределение

(2.11)

где z = 0, 1, 2, …; N_D=qN – целое число.

При таком распределении учитывается зависимость результатов отдельных испытаний от изменения объема малой выборки, поэтому обеспечивается хорошее приближение к действительности. Однако это распределение имеет три параметра (N, n, N_D), поэтому трудно составлять таблицы и пользоваться ими. Чаще применяют биномиальное распределение, согласно которому

. (2.12)

Это распределение имеет два параметра (n, q) и поэтому пользоваться таблицами удобно.

Биномиальное распределение соответствует случаю, когда испытания отдельных изделий независимы, что можно достичь возвращением проверенных изделий в партию. Испытания считаются практически независимыми при n<0,1N, что обычно и бывает в действительности. Поэтому биномиальное распределение применяют чаще гипергеометрического.

Когда не только n<0,1N, но и q мало (т.е. N_D<0,1N – мало дефектных единиц продукции в партии), можно использовать распределение Пуассона с параметром nq:

. (2.13)

Этим распределением пользоваться еще проще, так как оно имеет один параметр.

Подставив в формулу (2.10) одно из выражений для Р{X=z} согласно (2.11), (2.12) или (2.13), получим зависимость Р(q, n, c).

Согласно определениям вероятностей ошибок первого и второго рода имеем

P(q₀, n, c)=1–α, (2.14)

P(q_m, n, c)=β. (2.15)

В (2.14) учтено, что так как α - вероятность забракования партии продукции, обладающей приемочным уровнем дефектности q₀, то (1–α) – вероятность приемки этой партии.

По формулам (2.14) и (2.15) можно вычислить n и с по выбранным заранее q₀, q_m, α, β при определенном виде закона распределения Х. Например, для распределения Пуассона

_(2.16)

_(2.17)

Решение уравнений (2.14) и (2.15) в явном виде обычно получить трудно. Приходиться так изменять с и n, чтобы суммы были равны правым частям уравнений.

Для построения оперативной характеристики обычно достаточно четырех точек: Р(0)=1; Р(1)=0 и значений из уравнений (2.14) и (2.15).

В некоторых планах контроля применяют показатели, отличные от q₀, q_m, α, β. Например, существуют планы, в которых задают кроме q_m, β среднюю долю дефектных единиц продукции в партии . Имеются планы, рассчитанные на основе медианной доли дефектных единиц продукции в партии q₅₀ с характеристикой Р(q₅₀)=0,5. Это означает, что половина партий с уровнем дефектности q₅₀ принимается, половина бракуется (q₅₀ иногда называют точкой контроля). Кроме того, в таких планах используют также относительный наклон h₀ кривой оперативной характеристики в точке q₅₀. при заданных значениях q₅₀ и h₀ рассчитывают параметры плана одноступенчатого контроля (n, c).

Рассмотрим особенность планов одноступенчатого контроля при приемочном числе с=0 на примере биномиального распределения числа Х дефектных единиц продукции в выборке. Подставив в формулу (2.10) значение вероятности Р{X=0} согласно (2.12), получим

Р(q)=(1–q)ⁿ. (2.18)

По аналогии с (2.1.14), (2.1.15) имеем

Α=1–(1–q₀)ⁿ, (2.19)

Β=(1–q_m)ⁿ. (2.20)

При n>20 уравнения (2.19) и (2.20) можно заменить приближенными:

α≈1–exp(-nq₀), (2.21)

β≈exp(–nq_m). (2.22)

При распределении числа Х дефектных единиц продукции в выборке по закону Пуассона сразу получим уравнения (2.21), (2.22).

Сопоставив (2.19) и (2.20) или (2.21) и (2.22), можно убедиться, что рассматриваемый способ контроля имеет смысл лишь при больших отношениях q_m/q₀.

При α=β=0,1 из (2.22) имеем

0,1=exp(-nq_m),

ln 0,1=-nq_n,

откуда

n=-(ln 0,1)/q_m.

Подставив это значение n в (2.21), получим

При малом отношении q_m/q₀ кондиционная продукция будет часто браковаться (т.е. будут больше α). Найдем, например, риск поставщика при q₀=0,02, q_m=0,05, β=0,10, c=0. Согласно (2.22) имеем nq_m=2,30. Отсюда получаем объем выборки

n=2,30/q_m=2,30/0,05=46.

Из уравнения (2.21) имеем

α=1–ехр(-46*0,02)=1–0,3906=0,6094.

Это означает, что качественная продукция будет чаще браковаться, чем приниматься.

При использовании планов выборочного контроля по результатам проверки выборки обычно принимают одно из следующих решений:

1. принять непроконтролированную (оставшуюся) часть партии без дальнейшего контроля;

2. отвергнуть оставшуюся часть партии без контроля;

3. провести сплошной (100 %-ный) контроль оставшейся части партии.

Возможны и другие решения, например снижение сортности, изъятие отдельных частей продукции для последующей переработки и т.д.

В зависимости от принимаемых по результатам выборочного контроля решений будут иметь место различные типы планов. Так, в случае одноступенчатых планов (n, c), которые определяются двумя параметрами: объемом выборки n и приемочным числом с, возможны следующие типы планов: (n, c)₁₂; (n, c)₁₃; (n, c)₂₃. Согласно плану (n, c)₁₂ из партии продукции объемом N отбирают для контроля случайным образом n изделий. Если среди n изделий число дефектных изделий Х окажется больше с (Х>с), то принимается решение 2 и оставшаяся часть партии (N – n) отвергается без дальнейшего контроля; если Х≤с, то оставшуюся часть партии (N – n) следует принять без контроля (решение 1).

Планы типа (n, c)₁₂ обычно используют при разрушающем контроле или когда стоимость контроля велика. Планы типа (n, c)₁₃ обычно используют при неразрушающем контроле, когда требования к качеству продукции очень высокие и велика стоимость контроля. Планы типа (n, c)₂₃ используют для получения дополнительной информации о качестве продукции, а также в случае «очищающего» контроля, когда хотят с помощью контроля уменьшить долю дефектных изделий в продукции.

Указанные планы контроля отличаются по среднему объему проконтролированной продукции, а также по доле дефектных изделий в принятой продукции. В случае неразрушающего контроля выявленные дефектные изделия могут заменяться годными, и тогда объем партии до и после контроля останется неизменным.