2.6.3. Многостадийные планы

Многостадийные выборочные планы обеспечивают более плавный переход от выборочного к сплошному контролю. Они предусматривают сплошной контроль только тогда, когда качество продукции резко ухудшается. Согласно многостадийному плану непрерывного выборочного контроля сначала контролируют все изделия, поступающие на пункт контроля в порядке их производства. Такой контроль продолжают, пока i последовательных изделий в потоке не окажутся годными. После этого переходят на первый уровень выборочного контроля, контролируя только f-ю часть изделий. Если i выборочно контролируемых изделий оказываются годными, то переходят на второй уровень выборки, контролируя f²-ю часть изделий. Если обнаруживается дефект, то переходят к сплошному контролю.

Если во время контроля с уровнем f² i выборочно контролируемых изделий окажутся годными, то переходят на третий выборочный уровень, контролируя f³-ю часть изделий, а если дефект обнаруживается, то возвращаются к выборке на уровне f. Дальше контроль продолжают по аналогичной схеме. Все найденные дефектные изделия исправляют или заменяют годными.

Этот план можно использовать с любым числом уровней, но практический интерес представляют планы с числом уровней от двух до шести.

Для описанного многостадийного плана

, (2.67)

. (2.68)

При k=1 многостадийный план непрерывного выборочного контроля совпадает с первой моделью одностадийного плана. При выборе числа уровней (k) следует учесть, что если средний уровень входного качества q меньше q_L, то с увеличением числа уровней уменьшается объем контроля, а если q больше q_L,, то одностадийный план обеспечивает меньший объем контроля.

3. Система экономических планов

Контроль качества промышленной продукции связан с определенными затратами на оплату труда контролеров, содержание помещений, контрольно-измерительные приборы и т.д. Уровень расходов на контроль зависит от конкретных условий производства (стоимости контрольных операций, требований к качеству и т.д.) и должен определяться соглашением между поставщиком и потребителем. При этом поставщик стремиться использовать наиболее экономичные планы контроля из множества планов, удовлетворяющих потребителя, а потребитель заинтересован так использовать выделенные на контроль средства, чтобы свести к минимуму возможность приемки партий продукции, содержащих недопустимо большое число дефектных изделий.

В этой связи возникает задача построения оптимальных систем планов приемочного контроля с учетом экономических показателей. Система таких планов разработана в Лаборатории статистических методов МГУ.

Рассмотрим основные принципы построения системы экономичных планов (СЭП).

Решение принять или забраковать партию продукции, связано с потерями двоякого рода. Забраковав партию, мы ошибочно бракуем Q=N-D годных изделий, а, приняв ее, имеем потери от эксплуатации D дефектных изделий. Обозначим через Е_бг(D) – ущерб от браковки годных изделий, а через Е_пд(D) – ущерб от приемки D дефектных изделий. Можно предположить, что с ростом числа дефектных изделий D величина Е_бг(D) монотонно убывает, а Е_пд(D) – монотонно возрастает (рис. 16).

Назовем критическим числом дефектных изделий величину D_кр, удовлетворяющую условиям

, (2.69)

. (2.70)

Тогда если D<D_кр, то партию выгоднее принять, а если D>D_кр – забраковать без контроля. На рис. 16 показано, что при известном значении D наименьшие расходы находятся на уровне OAN. Однако реальные расходы будут несколько выше, т.к. значение D обычно неизвестно и оценку D находят по результатам выборочного контроля.

Рис. 16. Зависимость расходов на контроль от числа дефектных изделий в партии

Пусть использование плана П выборочного контроля связано с расходами Е(П, D). Тогда суммарные средние расходы Е_с(П) будут включать в себя как расходы на проведение контроля, так и средний ущерб от браковки годных и приемки дефектных изделий.

, (2.71)

где f_N(D) – оценка распределения числа дефектных изделий D в партиях объемом N, полученная по результатам предварительного анализа.

Задача сводится к поиску плана контроля П, минимизирующего средние расходы Е_с(П). Однако задачу в такой общей постановке трудно реализовать в форме, пригодной для практического использования. Упростим задачу, рассматривая средние расходы при нормальном ходе производства и линейных функциях потерь.

Пусть а – ущерб от бракования годного изделия, а b – стоимость контроля одного изделия. Считаем, что расходы растут пропорционально объему партии, например Е_бг(D)=а(N-D).

Под нормальным ходом производства понимают такое его состояние, когда основные требования технологии соблюдены, а средний уровень входного качества q_н в контролируемых партиях является приемлемым для потребителя и не меняется существенным образом от партии к партии.

Если нормальному ходу производства соответствует априорное распределение с вероятностями f_н(D), то связанные с проведением контроля средние расходы равны

(2.72)

или приближенно

, (2.73)

где α_н – вероятность забраковать совокупность, выпущенную при нормальном ходе производства; n_н – средний объем выборки при нормальном ходе производства.

Тогда средний относительный уровень расходов можно определить как

, (2.74)

где

_(2.75)

- стоимостный коэффициент;

_(2.76)

- среднее число дефектных изделий в выборке;

_(2.77)

- среднее значение доли дефектных изделий в контролируемой совокупности при нормальном ходе производства.

Использование приближенной формулы (2.74) позволяет характеризовать различные планы П контроля двумя показателями α_н и μ_н.

Однако приближенную формулу рекомендуется использовать, когда величина среднего относительного уровня расходов удовлетворяет условию Е(П)<0,1.

Если предположит, что основным показателем для поставщика являются средние расходы на контроль, определяемые (2.72), то с его точки зрения планы, имеющие равные средние расходы (Е_н) на контроль, являются равноценными. Назовем такие планы эквивалентными.

Задача состоит в том, чтобы из множества эквивалентных планов, соответствующих Е_н, отобрать такие, которые гарантировали потребителя от приемки партий сильно засоренных дефектными изделиями. Отбор можно проводить на основе значений оперативных характеристик Р(D, П), равных вероятностям принятия партии, содержащей D дефектных изделий. С точки зрения интересов потребителя наилучшими являются планы, имеющие минимальную площадь под оперативной характеристикой.

При неразрушающем контроле, когда выявленные при контроле дефектные изделия заменяются на годные, основным показателем «фильтрующей» способности планов может служить среднее число D’ принимаемых дефектных изделий, рассматриваемое как функция от D.

На примерах проиллюстрируем возможные методы отбора планов из множества допустимых. Введем функцию фильтрации К_пр(К)=D/D’, равную отношению среднего числа принятых планом дефектных изделий в совокупности, изготовленной при нормальном ходе производства (К=D/D_н). На рис. 17 приводятся графики функций фильтрации семейства эквивалентных одноступенчатых планов (n, c), соответствующих среднему относительному уровню расходов Е=0,01 и стоимостному коэффициенту γ=0,0025, полученных для пуассоновской аппроксимации с параметром λ_н=nq_н, где q_н – средний уровень входного качества при нормальном ходе производства.

Из рис. 17 видно, что наилучший фильтрацией практически во всем диапазоне D обладает план, соответствующий с=9. Функция фильтрации для этого плана проходит около нижней огибающей функции фильтрации всего семейства эквивалентных одноступенчатых планов.

Рис. 17. Графики функции фильтрации для эквивалентных одноступенчатых планов с различными приемочными числами

При отборе планов из семейства эквивалентных можно исходить из оперативных характеристик. На рис. 18 даны оперативные характеристики семейства эквивалентных планов, удовлетворяющих условия: b/a=0,063, Е=0,35, D_н=10.

Из рис. 18 следует, что оперативная характеристика эквивалентного плана с приемочным числом с=5 близка к нижней огибающей. Будем называть такие планы рациональными. Поиск рациональных планов проводится на ЭВМ по минимуму площади под их оперативной характеристикой.

В 1972 г. была издана методика системы экономичных планов (СЭП). Основными управляющими параметрами СЭП 106вляяются средний относительный уровень расходов на контроль Е и стоимостный коэффициент γ. Каждой паре значений Е, γ соответствует три плана: П¹, П², П^П. Для облегчения выбора типа плана построены графики оперативных характеристик и графики, показывающие изменение среднего количества изделий, проверяемых до принятия решения, в зависимости от уровня качества К=q/q_н. Пример таких графиков приведен на рис. 19.

Рис. 18. Семейство оперативных характеристик для эквивалентных одноступенчатых планов контроля

Рис. 19. Оперативные характеристики для планов СЭП (Е=0,1; γ=0,1)

Заметим, что при значениях К в интервале средний объем контроля для последовательных планов часто существенно выше, чем для двухступенчатых и одноступенчатых планов. Однако планы П^П могут оказаться предпочтительными, т.к. риски поставщика α и потребителя β у них меньше, чем у планов П¹ и П² (оперативная характеристика плана П^П более круто падает с ростом доли дефектных изделий).

В методике СЭП приводятся данные о параметрах рациональных планов П¹, П², П^П, вероятностях ошибок α, средних объемах контроля при нормальном ходе производства, площадях под оперативными характеристиками.